凝聚态数学——数学语言会迎来大统一吗？

导语

Peter Scholze 和 Dustin Clausen 拥有雄心勃勃的抱负。他们提出凝聚态集合（verdichtete Menge，英语 condensed set）这一全新框架，试图以更自然、统一的方式重构包括复分析、数论和泛函分析在内的多个数学分支，其影响深远，引发学界广泛关注与期待。

关键词：凝聚态数学、凝聚态集合、数学统一、拓扑空间、Langlands 纲领

Manon Bischoff丨作者

德语原文地址：https://www.spektrum.de/news/verdichtete-mathematik-clausen-und-scholze-revolutionieren-das-fach/2205266 译文地址：https://www.bilibili.com/opus/898338005375254548?spm_id_from=333.1387.0.0 作者：B站Up 筑桥者Hagi

© ROSS TOMEI / GETTY IMAGES / ISTOCK (局部)

尽管凝聚态集合的概念绝对超出了想象，但它可以用一团尘埃云来说明。

"这不对”，声音刺破了沉默。光线穿越壮丽的彩色玻璃窗，粉笔灰在其中闪烁。在波恩这间被深色木板围绕的教室里，大约有十几名学生抬起头，盯着屏幕。讲师吱吱作响地在黑板上涂鸦着神秘的符号 ⸺ 然后停顿下来。在大约 800 公里外的哥本哈根，他挠了挠头，手指划过刚写下的内容。

"其实我想过这个问题……" 他又停顿了一下。你几乎可以听到一根别针掉落的声音。第一排坐着一个捣乱者，他和演讲者长得几乎一模一样：30 岁左右，长而黑的头发，高大而苗条的身材。他们几乎和在场的学生没有什么区别。然而，他们是教授 ⸺ 而且并非无名之辈：Dustin Clausen 在哥本哈根大学讲课，而 Peter Scholze 则在波恩与其他听众一起认真听讲。

“这样不对”，Scholze 说，然后向后靠了靠。接着他脱口而出，Clausen 的陈述需要哪些限制才能成立。Clausen 点点头：“我得考虑一会。” 又是短暂的沉默。“好的，我稍后会修复它，” 他总结道，然后继续讲课：定义，定理，证明。

任何期望在这堂数学课中遇到数字的人都会感到失望。90 分钟内，Clausen 介绍了复分析的基本概念 ⸺ 这是数学本科学位的一个固定部分。然而，学生们看起来并不像刚刚开始他们的学业。相反，他们中的许多人已经在攻读博士学位或者是博士后。实际上，也有教授在线关注课程。

他们感兴趣的原因：这两位讲师，Scholze 和 Clausen，正在颠覆数学的大部分内容。这一系列混合讲座由 Scholze 在波恩和 Clausen 在哥本哈根交替进行，其间两位学者将他们的概念应用到复分析上 ⸺ 并展示了如何用新的基本组件重建熟知的结果。

“跟随进展令人着迷”，数学家 Peter Woit 在他的博客中写道。数学界对这两位科学家将产生什么成果充满了期待。他们被视为这个抽象学科的希望所在。

两种截然不同的性格

尽管他们外貌相似，但两人性格却大相径庭。Clausen 看起来很外向且善于开玩笑。在各种会议上，他的幽默风趣的演讲总能赢得与会者的喜爱，就像苏黎世联邦理工学院的数学家 Mura Yakerson 在她的播客“数学-生活平衡”（Math-Life Balance）中所描述的那样 [Dustin Clausen 访谈：https://www.bilibili.com/video/BV1Fc41157o4/]。Clausen 的家族中不乏数学天才，他的外祖父 John Tate (1925–2019) 在学术界享有盛誉，曾获得阿贝尔奖，数学领域的一种诺贝尔奖。

Clausen 在参加波士顿大学的数学夏令营时，第一次意识到他的外祖父不仅仅是“某个”科学家。当 John Tate 去那里看望他的外孙并听取讲座时，一位通常很自信的教授突然明显紧张起来。

相比之下，看起来比较内向的 Scholze 是少数在业界之外也知名的数学家。在过去的几年里，由于他的杰出成就，他频繁地出现在公众视野中，例如《明镜周刊》（Der Spiegel）和《图片报》（Bild） 都对他进行了报道。然而，他并不太喜欢大众舞台：尽管有很多邀请，他一直坚决拒绝上电视。

我不知道 Dustin 今天会讲什么。 ——Peter Scholze, 数学家

在课堂上，这种羞怯感消失了。Scholze 毫不犹豫地向他的同事提问或指出不一致之处。两人之间会发展出一场短暂的讨论，参与者们静静地 ⸺ 几乎是敬畏地 ⸺ 倾听。与大多数大学活动的习惯不同的是，这里没有预先准备的两位讲师可以沿用的脚本。实际上，他们才刚刚把某些概念发展出来就在课上展示。“我不知道 Dustin 今天会讲什么”，Scholze 在讲座后说。

这场混合型活动的想法源于他们都想基于他们的新理论介绍复分析。因此，他们决定一起干 ⸺ “最迟自从新冠病毒大流行以来，数字化讲座已经不再罕见”，Scholze 说。跟随两个不同的人发展他们的想法，对于学生来说绚丽多彩。

彻底推翻

复分析并不是唯一一个成为 Scholze 和 Clausen 新概念受害者的领域。实际上，他们的方法影响了几何、数论和泛函分析——可能还有更多的领域。最近，一位日本同事告诉 Scholze，他在动力系统领域（这个领域与物理学密切相关，例如描述行星轨道）遇到了与 Clausen 和 Scholze 引入的结构相似的结构。

这两位学者的工作之所以具有如此广泛的影响，并且引起专家们的极大好奇，原因是：他们用一个全新的量取代了一个基本的数学对象。

我认为，许多人在工作中感觉到人们需要一些新的东西。 ——Dustin Clausen, 数学家

他们两人都对这个想法深信不疑，并且毫不掩饰。然而，他们几乎没有遇到阻力 ⸺ 相反，大多数同事似乎对这个方法非常感兴趣。“我认为，许多人在工作中感觉到人们需要一些新的东西”，Clausen 猜测。此外，Scholze 拥有极好的声誉。尽管他年纪轻轻，但他已经建立了几个有用的概念，因此他的同事们对他信任有加。因此，到目前为止，只有少数数学家对新理论表示了担忧。这些问题主要围绕着这个方法是否真的适合描述特定的问题。但是，即使是最挑剔的声音也没有忘记表达他们对这两位学者可能取得的成就的着迷。

Clausen 和 Scholze 认为，拓扑空间，数学的基本结构之一，不够合适以它们为基础进行数学研究。因此，他们提出了一个 ⸺ 在他们看来 ⸺ 更好的概念，他们希望此基础上建立抽象学科。为了理解这两位科学家对拓扑空间的不满，必须转向相关的领域，拓扑学。

糕点作为直观

为了对这个领域进行直观的解释，人们通常会引用糕点。所以，对于拓扑学家来说，甜甜圈和贝果是一样的（都有一个洞），但是与扭结面包（Brezel）（有三个洞）或面包（没有洞）不同。因为在拓扑学中，人们试图尽可能粗略地对图形进行分类。人们识别一个物体的全局属性，并忽略烦人的细节。面团可以任意揉捏和变形——只要你不撕裂它或把它粘在一起，原始的物体（对于拓扑学家来说）就保持不变。处理几何的数学家肯定有不同的看法。

这个抽象学科的目标是找到合适的参数来区分不同的图形。例如，对于二维表面，这可能是孔的数量：所有具有相同孔数量的对象被视为相同。但是，在更多的维度中，这变得更加困难 ⸺ 始于这样的疑问，高维孔洞形状几何。因此，人们寻找与图形相关的代数量，如数字、矩阵、群或类似的东西，这些在允许的变形下也保持不变（或以特定的方式变换）。

这门学科的基本组件是拓扑空间。在数学中，空间对应于一组点的集合。例如，一个球体包含了所有距离中心一定距离内的点。如果你知道其中的两个点，你甚至可以确定它们之间的距离。

© ROUZES / GETTY IMAGES / ISTOCK (局部)

甜甜圈和咖啡杯 | 从拓扑学的角度看，甜甜圈和咖啡杯是相同的：它们都有一个洞，因此可以互相变形。

然而，拓扑空间的定义更为一般。人们不必强制给点分配一个精确的距离，而只需要定义哪些点在某种程度上接近。这样做的好处是，只要不改变它们的基本结构，就可以将之变形：在变换后，接近的点必须仍然位于相同的邻域中。此外，它还允许为非数字的对象定义像 "接近" 这样的概念。

数学家们已经使用这样的结构工作了超过 100 年 ⸺ 现在它们几乎出现在每个领域中。其中一个例子是分析学，我们在中学讨论曲线时已经遇到过。但实际上，这个学科的目标是研究拓扑空间之间的函数。现在，三十多岁的 Scholze 和 Clausen 两位声称，人们应该放弃这个概念，而应该使用其他对象取而代之作为基础：即他们发展的“凝聚态集合”。

这就像是想要研究一块蛋糕。 ——Peter Scholze, 数学家

Scholze 坐在波恩大学（Universität Bonn）户外的一个木质长凳上，也用烘焙领域的比喻形象地解释新的结构。温暖的春天吸引了许多学生。在精心维护的草坪上，他们三五成群聚集在木质野餐桌旁。由于他年轻的外表和休闲的服装，这位数学家几乎没有引起人们的注意。

“这就像是想要研究一块蛋糕 ⸺ 这块蛋糕象征着一个拓扑空间”，他耐心地解释道。“ 一位拓扑学家会选择一个点，然后切下蛋糕周围的部分。然后他会试图分析它。是否能找到巧克力碎片、樱桃或杏仁？它是用小麦面粉还是斯佩耳特面粉烘焙的，是否含有鸡蛋，或是不是纯素的？这种方式很难找出这些。"

如果有蛋糕的配方就简单多了，它会说明人们需要以何种方式添加何种配料。这就是凝聚态数学的方法：不是以拓扑空间本身为基础，而是将其分解成单个部分，并提供一个说明，得以将它们再组合成一个大的整体。凝聚态集合就是这个配方，据 Scholze 和 Clausen 说，现在应该被作为基本组件来使用。

Peter Scholze 引发高度期待

由于该学科的几乎所有领域都建立在拓扑空间上，因此这不亚于新建大部分数学。专业社区对 Scholze 报有这般期待。最迟从他 22 岁完成硕士论文，他就被视为数学神童。那时，2010 年，他成功地在只有 34 页的论文中提供了一个证明，而他的知名同事 Michael Harris 和 Richard Taylor 之前用了一本至少 288 页的书来完成。这项工作涉及的数论定理属于所谓的 Langlands 纲领。

仅仅这个领域就让许多专家敬畏不已。它包含了数学家 Robert Langlands 在他职业生涯早期的 1960 年代末提出的几个猜想。它们涉及到数论、分析和几何等领域之间意想不到的联系。60 多年来，专家们试图证明这些预测中的桥梁，并将 Langlands 当时猜想的组件组合起来。他们在一部分工作中取得了成功，但是像所有的巨型建筑一样，每一个解决方案都会产生新的连接点，使得这个领域不断发展壮大。

专家们离证明 Langlands 的所有假设还有很长的路要走。然而，已经存在一些成功的例子。例如，1995 年，Andrew Wiles 通过在数论和几何之间建立联系，最终证明了费马大定理。

几年后，这引起了那时 16 岁的 Scholze 的注意。通过参加数学竞赛并取得了一些 ⸺ 至少对他来说是意外的 ⸺ 成功，他认识了一些与他有着共同热情的同龄人。通过这些接触，他发现了 Fermat 的定理。当着手研究它时，他惊讶地发现它已经被证明了。于是，Scholze 决定理解 Wiles 的工作。他很快就发现，这并不是一项简单的任务。毕竟，业界花了超过 350 年的时间才找到一个解答。然而，那时还是中学生的他并没有因此而气馁，而是坚持不懈。“我真地对它很感兴趣”，他解释说。

© VOLKER LANNERT / 波恩大学（局部）

Peter Scholze｜他在 30 多岁时就已经被认为是一位杰出的数学家 ⸺ 并因此获得了无数奖项。

这个问题伴随了他六年，直至他中学生时代结束，以及整个大学阶段 ⸺ 他只用了三年就获得了硕士学位。两年后，他获得了博士学位，并立即被任命为教授：当时是全德国最年轻的。他在仅 30 岁时最终获得了菲尔兹奖，数学领域的最高荣誉之一。

他获得这个受人尊敬的奖项的原因之一是他在博士论文中发展的所谓的“拟完美空间”（perfektoider Raum，英语 perfectoid space），一个极其抽象的概念。它们允许对复杂的结构进行几何观察，例如某些数系。为此，人们必须将它们复制并以某种方式堆叠起来，从而形成一个几何形状完全破碎的结构，就像尘埃云一样。虽然这种方法很复杂，但事实表明，其结果 ⸺ 拟完美空间 ⸺ 通常比原始对象，如数系，更容易研究。

Dustin Clausen 认为，我应该再做一些真正的数学研究。 ——Peter Scholze, 数学家

Scholze 成功地为许多结构构造了这样的空间。借此他极大地推进了多个领域的研究。当他的工作引起了数学界的关注时，这位年轻的学者注意到了一个 ⸺ 他认为 ⸺ 有趣的细节：将一个拟完美空间转化为一种尘埃云的想法可以应用到更一般的空间。

Scholze 称这个过程为投射平展址（pro-étale-Situs，英语 pro-étale site）。在他与密歇根大学的数学家 Bhargav Bhatt 共同发表的结果中，这位年轻的科学家并没有看到大的收益。“写下来确实很有趣，但其实没什么大不了的。” Clausen 也奇怪于他同事的研究内容。“他认为，我应该再做一些真正的数学研究”， Scholze 笑着说。

Dustin Clausen 可怕的研究申请

不久之后，两人开始接触，因为这位德国研究员也对 Clausen 的一个研究课题感兴趣。最后，2018 年 Scholze 在波恩为他提供了一个博士后职位。但由于这是一个临时工作，Scholze 鼓励他的学生申请一个更好的职位。为此，Clausen 必须写一份研究申请。

“阅读后，Peter 告诉我，申请太糟糕了 ⸺ 他见过的最差的之一”，Clausen 回忆道。他在申请中描述了他过去五年的工作 ⸺ 以及他是如何失败的。Scholze 建议他改而谈论他的成就。Clausen 曾经认为，目前为止他几乎没有什么值得一提的东西。但是，当他和他的导师谈论他的研究时，他意识到这并不是事实。

然后，惊喜来了。在谈话中，Scholze 突然发现了一些非常熟悉的东西：虽然表述不同，但 Clausen 自己使用了他之前嘲笑过的投射平展址的概念。“不，绝对不可能！” 当 Scholze 提醒他时，这位博士后不敢相信。然而，经过一些讨论，他最终接受了这个观点。不知不觉中，他以不同的形式使用了 Scholze 发展的，他认为是无关紧要的想法。

Dustin Clausen 迈出激进一步

然而，Clausen 更为激进。他使用这种方法，在某些情况下替代拓扑空间的概念。这帮助他从研究过程中遇到的一些死胡同中摆脱出来。这些都与拓扑空间的定义有关⸺ 他发现，没有简单的方法可以避开它们。所以，他别无选择，只能替换这些结构。

他在本科论文中就已经遇到了类似的情况。那时，他研究了由特定对称性产生的群和它们的表示。当他无法继续时，他怀疑可能需要一种新的语言，以完全不同的方式处理复杂的关系。然后，他发现了 Jacob Lurie 的工作。当时 Lurie 在麻省理工学院，现在在普林斯顿，他发展了这种形式化。因此，Clausen 毫不犹豫地决定在 Lurie 那里完成他的博士论文。

然而，对于拓扑空间，他就没有那么幸运了。到目前为止，还没有人解决这些结构造成的障碍。因此，现在轮到他来发明一种更适合的语言了。

事后看来，凝聚态集合从哲学的角度来看也更有意义。 ——Dustin Clausen, 数学家

当他告诉 Scholze 这件事时，Scholze 立刻欣喜若狂。因为对于这位德国学者来说，好的定义起着重要的作用 ⸺ 他强调，它们有时比定理更重要。两位科学家共同进一步阐述了这个想法，从而发展出了凝聚态数学。

“诚然，一开始我只是使用凝聚态集合来解决一个实际问题”，Clausen 解释说。“但是，事后看来，凝聚态集合从哲学的角度来看也更有意义。” 因为拓扑空间结合了两种不同类型的对象：它们由一个点的集合 M 以及 M 的子集构成的另一个集合组成。它们定义了接近这个抽象概念 ⸺ 靠近的点位于相同的子集中。但是，这两种结构并不真正匹配，因为它们的性质不同。这就像在物理学中将两个具有不同单位的量合并在一起。“实际上，它能工作得这么好真是个奇迹”，Clausen 说。然而，凝聚态集合只关注点，而不包括子集，这使得它们更易于把握。

凝聚态机制可以被理解为一种离散化：人们取一个连续的东西，并通过点来近似它 ⸺ 就像一个实际上由原子组成的液体。事实证明，几乎所有的拓扑空间都可以通过这样的离散近似来构造。如何将组件重新组合的精确指导包含在凝聚态集合中。

这个想法我们在学校就已经遇到过

即使这种方法一开始看起来很抽象，但是我们中的许多人 ⸺ 至少在潜意识里 ⸺ 在学校就已经遇到过，当时我们被介绍了实数。实数包括数轴上的所有值，从素数到分数，再到像 π 或者 √2 这样的无理数。

在课堂上，我们通常通过十进制表示法来定义实数，也就是说，作为小数点后面有无穷多位的数字。作为学生，我们通常不会深入思考这些，但实际上，这个定义是有缺陷的。因为它与实数的一个重要特性相矛盾：实数无缝地覆盖了整个数轴。如果给出两个实数，无论它们离得多近，总是可以找到另一个实数位于它们之间。例如，通过计算它们的平均值。

然而，如果我们考虑 0.999...，那么就会出现一个问题。在这个值和 1 之间有一个缺口，没有其他的数可以填充进去。但是别担心：事实证明，0.999... 就是 1。

然而，如果我们通过十进制表示法来定义实数，我们必须考虑这一点。因此，需要一个额外的规定：所有以无穷多个 9 结尾的数，都被等同于它们的上舍入值。

所以，小数表示法提供了数轴上无穷多个不连续的区间（一种尘埃云）。只有通过识别 0.999... = 1; 0.8999... = 0.9; 0.45999... = 0.46 等等，才能将各个尘埃粒子粘合成一个连续体。实数是一个拓扑空间。十进制表示法对应于这个空间的离散化 ⸺ 而粘合的建造指南就是凝聚态集合。

尤其在数论领域，凝聚态机制工作得很好。这并不奇怪，因为 Scholze 从这个领域推导出了这个新想法。此外，他在波恩大学指导了几个博士生研究这个主题，从而取得了一些进展。起初，他们只限于一个特定的数系，即所谓的 进数，它们通常比实数更容易研究。

不可能的证明

但为了做分析，Scholze 和 Clausen 必须证明凝聚态形式化也适用于实数和复数（额外包括负值的根）。两位研究员相信这应该是可能的。

然而，他们第一次试图证明这一点时失败了。然后，他们削弱了他们想要证明的命题，并再次尝试。证明比预期的要困难得多。本来应该建立在复变函数论（Funktionentheorie，英语 complex analysis）的方法上，但当 Scholze 尝试向该领域的专家解释他的思考时，他们感到无法应对。

这是我见过的最惊人的数学成就。 ——Dustin Clausen, 数学家

Clausen 和他一步一步地前进，遵循着可能给出证明的自然路径。然而，不知何故，感觉它正朝着一个完全错误的方向发展。“突然之间，一切都只与算术有关，尽管最初的陈述一开始与它没有太大关系”，Scholze 解释说。这是一项艰巨的任务，但最终，这位德国数学家成功地完成了它。

“这是我见过的最惊人的数学成就”，Clausen 告诉《自然》（

Nature

“凭良心，我不能基于空中楼阁建立一整套理论”，Scholze 解释说。他目前与 Clausen 在波恩大学和哥本哈根大学教授的内容也基于这个定理。“我们在讲座的一开始就把它作为一个黑匣子交给了学生：他们可以使用它，我们会省去通向它的细节。”

计算机检查证明

因为没有人能够检查他们的工作，但这两位学者必须确保没有隐藏的错误，所以他们采取了一种不寻常的方法。在 2020 年 12 月的一篇博客文章中，Scholze 挑战计算机科学家使用算法证明助手来检查他的证明是否正确。

这样的软件并不新鲜。几十年来，样的计算机程序一直存在，它们可以根据逻辑原理验证数学论证。为此计算机需要大量数据：它们需要一个证明所基于的形式基础。然后，必须将论证转化为计算机可以理解的形式。所有这些都需要大量的工作。根据逻辑规则，算法可以逐步检查证明的所有内容，并检查最后的结论是否正确。

等待半年后 Scholze 的请求就有了答复，这让整个业界感到惊讶。结果证明，证明是正确的。所以，现在没有理由再怀疑结果了。然而，Scholze 并不喜欢这个结果。“也许将来会有几位同事一起努力，找到一个更漂亮的方式来展示它。”但他自己将暂时停在这里。

同时，凝聚态数学已经被证明在各种情况下都有用，尽管它还处于起步阶段。Fargues-Fontaine 曲线，这是 Langlands 纲领在过去几十年中的最大进步之一，是由 Scholze 和他的来自索邦大学的法国同事 Laurent Fargues 用凝聚态集合推导出来的。此外，Clausen 和他还有许多其他的想法，关于这种新的形式化能如何带来优势。然而，正如两位数学家所强调的，他们并不擅长写东西。

但这正是至关重要的：一方面，通过清晰的表述，人们有时才能意识到一些以前没有考虑过的困难，另一方面，通过这种方式，人们可以与业界分享他们的知识。否则，几乎不可能让更多的同事参与到他们的研究中来。其他人的专业知识不足，是他们在过去不得不求助于计算机的最终原因。

“我们想要分享我们的发现，这也是我们正在做的事情“，Scholze 强调。比如通过入门性讲座，像在 2022 年夏季学期在波恩大学和哥本哈根大学进行的那样。这两位学者希望这样不仅能够接触到有经验的同事，而且还能接触到年轻的学生。“对我来说，最大的目标是，凝聚态数学在某一天被如此接受，以至于人们会认为它几乎是平凡的”，Clausen 说，“在这种情况下，人们甚至不会再提到它是问题解决的一部分，即使它在所有地方都被隐匿地使用。”

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