新证明揭示了肥皂膜奇点——Quanta Magazine

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数学家们突破了“极小曲面”研究中长期存在的障碍，极小曲面在数学和物理学中都发挥着重要作用。

多孔螺旋面（Gyroid，一种三重周期性极小曲面TPMS）是一种面积极小化的曲面，已被用于材料设计和药物输送。

Gyroid最早由Alan Schoen于1970年发现。 它具有无穷多的连接面，并且不包含任何直线。 Gyroid结构在自然界中广泛存在，例如蝴蝶翅膀的微结构，还有细胞内膜的形态，也被应用于现代科技中，如3D打印、石墨烯结构等领域。

图源：Paul Nylander

作者：Steve Nadis（量子杂志特约撰稿人） 2025-11-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-11-13

19世纪中期，比利时物理学家约瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）——他自幼便开始设计和进行科学实验——将金属丝环浸入肥皂溶液中，并研究其形成的薄膜。当他将金属丝弯成圆环时，肥皂膜会覆盖在圆环上，形成一个扁平的圆盘。但当他将两个平行的金属丝环浸入溶液中时，肥皂膜会在两个环之间延展，形成一个沙漏状——数学家称之为悬链旋转面（catenoid，悬链线绕轴线旋转生成的极小曲面）。不同的金属丝框架会产生各种各样不同的薄膜，有些形状像鞍形或螺旋斜坡，有些则复杂到难以描述。

普拉托认为，这些肥皂膜应该始终占据尽可能小的面积。数学家称它们为面积极小曲面（area-minimizing surface）。

数学家们花了近一个世纪才证明他是对的。1930年代初，杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和蒂博尔·拉多（Tibor Radó）分别独立地证明了“普拉托问题”的答案是肯定的：对于三维空间中的任何闭合曲线（你的线框），总能找到一个与其边界相同的二维极小曲面（你的肥皂膜）。这一证明后来为道格拉斯赢得了首届菲尔兹奖。

此后，数学家们不断拓展普拉托问题，希望更深入地了解极小曲面。这些曲面在数学和科学领域随处可见——在几何学和拓扑学重要猜想的证明中，在细胞和黑洞的研究中，甚至在生物分子的设计中。“它们是非常优美的研究对象，”斯坦福大学的奥蒂斯·乔多什（Otis Chodosh）说道，“非常自然、引人入胜、令人着迷。”

数学家现在知道，普拉托的预测在七维以内都是绝对正确的。但在更高维度上，情况就有所不同了：形成的极小曲面可能并不总是像圆盘或沙漏那样光滑平整。取而代之的是，它们可能会在某些地方折叠、收缩或相交，形成所谓的奇点（singularities）。当极小曲面存在奇点时，理解和处理它们就变得更加困难。

因此，数学家们想要了解这种非光滑极小曲面的普遍程度，以及它们可能具有哪些性质。如果奇点在给定维度中很少见，只在人为设定的条件下出现，那么只要你稍微调整一下线框，它们就会消失。你将得到一个光滑的极小曲面，更容易对其进行研究，从而有机会深入了解该维度中此类曲面的性质。

肥皂膜在金属丝框架内拉伸，形成面积极小化的曲面。

图源：卫斯理大学

1985年，数学家们证明，在八维空间中，奇点确实可以被消除。但在更高维度中，乔多什说“一切都乱套了”。奇点的分析变得更加困难。近40年来，这个问题一直没有取得实质性进展。

这一障碍终于被打破了。2023年，乔多什（Chodosh）与莱斯大学的克里斯托斯·曼图利迪斯（Christos Mantoulidis）和华威大学的费利克斯·舒尔茨（Felix Schulze）合作，证明在九维和十维空间中，光滑的极小化曲面是常态 https://arxiv.org/abs/2302.02253 。今年早些时候，该团队与康奈尔大学的王志涵（Zhihan Wang https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html ）合作，证明了在十一维空间中同样如此。

这项研究标志着在理解更高维度中可能出现的奇异极小曲面方面取得了重大进展。数学家们现在可以利用这一成果来解决许多其他长期以来仅限于八维或更低维度的数学问题——这使得这些定理更加强大。

一段奇异历史

1962年，数学家温德尔·弗莱明（Wendell Fleming）证明，所有二维极小曲面——普拉托可能研究的任何肥皂膜——都必须是光滑的。具有奇点的二维极小曲面根本不存在。

这些二维曲面存在于我们熟悉的三维空间中。但当我们进入更高维度时会发生什么呢？那时问题就更难可视化了。例如，在四维空间中，我们线框的对应物是一个二维曲面，而普拉托问题要求我们找到一个三维形状，用尽可能小的体积填充这个曲面。这个形状会是什么样子呢？斯坦福大学的布莱恩·怀特（Brian White）说，就我们所知，“它可能非常糟糕——像分形一样，或者极其不规则。”

Christos Mantoulidis（左）、Felix Schulze（中）和 Otis Chodosh 证明，在九维和十维空间中，大多数极小化曲面都是光滑的。

图源：Alison Law | Christos Mantoulidis | Gregor Fels

在弗莱明证明之后的几年里，数学家们证明，这种情况在四维、五维、六维或七维空间中永远不会发生。极小曲面总是光滑的。但在1968年，数学家吉姆·西蒙斯（Jim Simons，参阅）在八维空间中构造了一个七维形状，该形状仅在一个点处存在奇点。次年，数学家们证明了这个形状是一个极小曲面，从而确定了八维空间中的极小曲面实际上可能是奇异的。

于是问题就变成了：这些奇点到底有多糟糕？它们是罕见的还是常见的？能否通过稍微调整线框的形状，以恰当的方式消除它们？“如果你想弄清楚一个曲面的特性，奇点会使分析变得更加困难，”怀特说道。但如果奇点出现的频率很低，而且你可以轻松地调整它们以获得光滑的曲面，那么事情就会变得容易得多——例如，你可以使用微积分的工具。

1985年，罗伯特·哈特（Robert Hardt）和莱昂·西蒙（Leon Simon）证明了八维空间中的极小曲面具有一种优良的性质，数学家称之为一般正则性（generic regularity）。但没有人能够找到如何将他们的方法应用于更高维度，以证明这种性质是否存在。

这种情况持续了几十年——直到Chodosh、Mantoulidis和Schulze介入。

进入陌生领域

这三位数学家想要探索未知的更高维度领域，并了解其极小曲面的本质，就像生物学家试图了解新发现岛屿上的动植物群一样。于是，他们开始着手研究能否消除这些奇点。

悬链旋转面（catenoid，左）和Costa（科斯塔，右）曲面都是面积极小曲面。

其中Costa曲面，由巴西数学家Costa科斯塔于1982年发现，是一个完备的极小嵌入曲面，具有亏格为1和三个孔洞。它是一个有限拓扑曲面，平均曲率为零，广泛应用于数学和计算机图形学中。

图源：Wikimedia Commons

他们首先在八维空间中重新证明了哈特和西蒙几十年前得出的结论，这次他们采用了一种不同的方法，并希望检验这种方法的有效性。首先，他们假设了与他们想要证明的相反的情况：当你对定义曲面的线框进行微小扰动时，奇点（单个点）始终存在。每次进行扰动，你都会得到一个新的极小曲面，该曲面仍然具有奇点。然后，你可以将所有这些极小曲面堆叠在一起，使得奇点所在的点构成一条直线。

但这不可能。1970年，数学家赫伯特·费德勒（Herbert Federer）发现， n维空间中极小化曲面上的任何奇点，其维度至多为n-8。这意味着在八维空间中，任何奇点都必须是零维的：一个孤立点。直线是不允许的。乔多什、曼图利迪斯和舒尔茨将费德勒的证明推广到八维空间中的曲面堆叠。然而，在他们的证明中，他们却构造了一个包含这样一条直线的曲面堆叠。这个矛盾表明他们最初的假设是错误的——这意味着，你最终还是可以通过扰动线框来消除奇点。

王志涵和他的同事证明，当11维空间中的极小化曲面上形成奇点时，可以通过调整使其消失。

图源：Yueqing Feng

他们现在觉得可以着手解决九维问题了。他们的证明方法与之前相同：他们假设最坏的情况，进行一系列扰动，最终得到一个无限堆叠的极小曲面，这些曲面都存在奇点。然后，他们引入了一种名为分离函数（separation function）的新工具，用于衡量这些奇点之间的距离。如果任何扰动都无法影响奇点，那么这个分离函数应该始终保持很小。但三人组证明，有时这个函数的值会很大：某些扰动可以使奇点消失。

数学家们证明了九维空间中极小曲面的一般正则性 https://arxiv.org/abs/2302.02253 。他们能够将同样的证明应用于十维空间——但在十一维空间中，奇点的处理变得更加棘手。他们的方法对一种特定的三维奇点失效了。“奇点的类型多种多样，”曼图利迪斯说，“任何成功的证明都必须足够宽泛，能够处理所有这些奇点。”

团队决定与曾深入研究过这类奇点的王志涵合作。他们共同改进了分离函数，使其也能适用于这种情况。他们已经解决了11维空间中的这个问题 https://arxiv.org/abs/2506.12852 。

“他们将我们的理解拓展了几个维度，这真是太棒了，”怀特说。

但他们可能需要找到不同的方法来处理更高维度的问题。“我们需要一种新的成分，”舒尔茨说。

与此同时，数学家们期望这项新成果能够帮助他们在数学和物理的其他问题上取得进展。几何学和拓扑学中许多猜想的证明——例如关于具有特定曲率性质的形状的存在性和行为——都依赖于极小曲面的光滑性。因此，这些猜想此前仅被证明到八维。现在，其中许多猜想可以推广到九维、十维甚至十一维。

广义相对论中的一个重要论断——正质量定理（positive mass theorem）——也是如此。该定理粗略地指出，宇宙的总能量必然为正。1970年代，理查德·舍恩（Richard Schoen）和丘成桐（Shing-Tung Yau）利用极小曲面证明了七维及以下维度的正质量定理。2017年，他们将结果推广到所有维度。如今，普拉托问题的最新进展为验证九维、十维和十一维的正质量定理提供了一种新方法。“他们提供了一种更直观的推广方法，”怀特说，“不同的证明会带来不同的见解。”

这项研究也可能带来许多意想不到的后果。普拉托问题已被用于研究各种其他问题，包括冰川融化机制 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/ 。数学家们希望该团队的新方法能够帮助他们更深入地理解这些联系。

至于普拉托问题本身，现在有两种前进的方向：要么数学家们继续证明更高维度上的一般规律性，要么他们会发现，在11维以上，奇点就无法再被消除。舒尔茨说，那也将“算是一个奇迹”——又一个待解之谜。“无论哪种结果，都将令人兴奋。”

参考资料

https://arxiv.org/abs/2302.02253

https://arxiv.org/abs/2506.12852

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html

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