数学图解——James Propp教授专栏

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可视化图解是数学科普最需要的演绎手段之一，虽难而有意义，且听马萨诸塞大学James Propp教授的见闻和观点。

作者：James Propp（麻省大学教授，数学家）2025-10-18

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-11-12

我非常相信低技术含量的数学。我不喜欢依赖计算机告诉我的东西；如果代码里有bug怎么办？我更喜欢相信自己能检查的东西。同时，我非常清楚自己的想象力是有限的，即使借助纸笔。有时我需要一台电脑来向我展示一些我能想象但看不到的东西。

一起图解数学

2016年，位于罗德岛州普罗维登斯的布朗大学数学计算与实验研究所（ICERM https://icerm.brown.edu ）举办了一场名为 “图解数学” 的研讨会 https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im ，希望能够汇聚像我一样研究数学抽象概念的研究人员，让他们能够通过合适的视觉效果将其变为现实。研讨会催生了一个社群，该社群不时在ICERM举行会议 https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z ，并从2023年开始举办一系列网络研讨会 https://illustratingmath.org 。

我在网络研讨会上发言过两次。在2024年，我曾为才华横溢的数学探索者罗杰·安东森（Roger Antonsen）做过简短的数学颂词。如今，他不幸去世了（虽然从他的网站上看不出来 https://rantonse.org/about ），他拥有一种独特的天赋，能为我们讨论过的每个话题创作出精彩的视觉效果。

下面这张引人注目的图形，只是他在我们邮件交流中创作的数十张图形之一，，源自我提出的一维气体确定性模型。

2025年10月10日，我第二次在网络研讨会上发言，时间更短：我做了一个五分钟的“展示与提问”式演讲，作为杰出数学讲解员/动画师格兰特·桑德森（即 3Blue1Brown https://3blue1brown.com ）的暖场表演。我的简短演讲题为“福特球的演变横截面” https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf ，旨在试探网络研讨会听众的胃口。

我当时想：如果我描述一个引人注目的数学对象，而这个对象至今无人能以一种完全令人（或至少没有令我）满意的方式进行图解，并且与其他网络研讨会参与者分享我的愿景：如何让这个数学对象更容易被大脑通过眼睛感知，那么我能否说服那些在计算机辅助绘图领域比我更熟练的人，将我的愿景变为现实？

答案是响亮的“是的！”罗伊斯·尼尔森（Roice Nelson，我以前和他通信过）是几位表示感兴趣的人士之一，我和罗伊斯已经推进了这个项目。可以说我不应该把时间花在这样的地方——我没打算写任何关于福特球的研究文章。我只是觉得它们很酷，如果更好地宣传，其他人也会觉得它们很有趣。它们就像一首朗朗上口的曲子一样萦绕在我的脑海里。

87岁的分形

我相信你一定听说过分形（fractal）——它在1980年代曾风靡一时，至今仍未消退。分形不仅渗透到科学和极客文化领域，也深入到流行文化中，并在2013年迪士尼电影《冰雪奇缘》

Frozen

福特球构成了一种三维分形，尽管莱斯特·福特（Lester Ford）早在1938年就曾在一篇名为《分数》

Fractions

实际上，现在有很多种被称为福特球排列（Ford sphere arrangements）的排列方式，但福特本人描述的排列方式是这样的：

这张图片是Sam Wells和Aidan Donahue制作的视频截图 https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI 。视频对分形进行了一些直观的理解，但（引用另一位迪士尼电影女主角的话 https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1 ）“我还想知道更多”。

福特球为何值得研究？从研究角度来看，它们是福特在1938年的文章中提到的更著名的二维分形的衍生。福特圆 https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle 是有理数的几何替代，而这些圆相互依偎的方式恰恰反映了数论中的重要事实。

按理说，类似的三维分形也应该有秘密可以教给我们。

到处都是，但几乎无处可寻

福特球值得一提的另一个原因是，它让热爱数学的非数学人士有机会体验可数稠密集的反直觉行为，让他们大开眼界。此类集合的原始例子是有理数集：作为实数轴的元素，有理数无处不在，但又几乎处处不在。

我的措辞略带挑衅和自相矛盾，但在某种数学意义上，这的确是事实：实数里面几乎都不是有理数，但实数轴上的每一小段都包含有理数。如果你放大（比如说）2的平方根，无论放大到什么程度，你都会看到分子和分母越来越大的有理数。福特圆赋予了这种“大”的几何意义：分子和分母越大，对应的圆就越小。

所有福特圆都与一条水平线相切。理解福特圆的一种方法是，把它想象成你试图在那条水平线上方尽可能多地塞满圆时得到的结果。首先，在点 ……，-2，-1，0，1，2，……处画出与数轴相切的等距圆。我只画出在0和1处与数轴相切的两个圆，之后忽略它们左侧或右侧的所有圆：

然后添加一个圆来填补0-圆和1-圆之间的空隙，与 1/2 处的线相切：

然后添加更多圆来填充新的间隙，切点位于 1/3 和 2/3 处：

然后添加更多圆来填充新的间隙，切点分别为 1/4、2/5、3/5 和 3/4：

如果继续这个过程，你画出的圆就正是福特圆，全部与数轴相切，并且切点都是有理数，没有其他数。

现在想象一下，画好福特圆（或者尽可能多地画一些圆），然后在图片上添加一条与我们之前提到的那条线平行但略高于它的水平线。这条新的线会与一些圆相交。如果你稍微向下移动这条新的线，它会与更多的圆相交。随着你继续向下移动这条新线，越来越靠近原来的线（我称之为“极限线”），你会开始与越来越多的圆相交。

从二维到三维

福特也描述了一种类似的高一维的分形。我们有无数个球体，它们都与 x , y 平面相切，并且切点恰好对应于点 (x,y)，其中 x 和 y 为有理数。这是福特绘制的草图，其中显示了无限多个球体中的四个：

（是的，四比无穷小得多，但对福特应宽容些：毕竟这是在计算机出现之前。）

我想通过二维的横截面来描绘这个复杂的三维物体。这是Roice几天前发给我的动画之一，这是我们正在进行的工作的一部分：

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

它展示了当你将福特球与一个移动的平面相交时会得到什么，这个平面接近但从未达到与所有福特球相切的极限平面（类似于与所有福特圆相切的极限线）。

随着视频中时间的流逝和移动平面的移动，我们看到了不断增长的圆盘和不断收缩的圆盘的混合；收缩的圆盘是平面已经穿过其中心的球体的横截面，而不断增长的圆盘是其中心仍然位于我们前方一点的球体的横截面。画面变得越来越模糊。

当然，视频在达到无限分形模糊之前就停止了；一旦圆圈变得太小而看不见，时间就会逆转，切割平面就会改变方向，直到我们回到起点。

这段视频只是粗剪，但我已经看到了一些意想不到的特征：或许可以称之为光晕和太阳拱门。也许你们中有人能找到方法，用严谨的数学方法解释眼睛所看到的东西，但即使没有，我也希望这段动画能给你们带来视觉上的享受。

我为何要煞费苦心

如果这篇文章能激发大家参加“图解数学”网络研讨会的月度会议，请访问网络研讨会链接 https://illustratingmath.org/node/42 。或者，如果你足够勇敢，想要提出一个想法或进行任何形式的五分钟演讲，请访问 “展示并提问”注册表单 https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7 。或者，如果你只是想看看 Roice 创作的其他精彩视觉效果，请访问他的网站 https://www.roice3.org 。

我在发表这篇文章前不久意识到，这与我的研究有某种联系，尽管并非直接联系，但这可能潜意识地驱使着我去探索福特球。二十年前，我研究过“转子路由器斑点”，它产生了像托拜厄斯·弗里德里希（Tobias Friedrich）和莱昂内尔·莱文（Lionel Levine）生成的这种图像：

如果你像我一样，你的眼睛和大脑会看到幽灵般的圆圈（或近似圆圈），形成由橙色火焰线隔开的带状区域。问题是，这些近似圆圈很大程度上是你的眼睛和大脑的产物，由一个叫做 ImageMagick 的软件介导。我无法弄清楚究竟是哪些像素级细节在我的大脑中产生了幽灵般的近似圆圈。

这就是“数字点画法”（digital pointillism）挫败我的地方：当我们放大时，我们往往会忽略我们试图理解的东西！这是巨幅画作的创作者面临的问题：你必须站在画布附近才能绘制你的笔触、点或其他东西，但当你站得太近时，很容易真的看不到画面的全貌。我希望有一天，当我拥有比过去更有效地“审视”这些图片的工具和技能时，能再次尝试观察这些斑点。

我的技能差距在福特球上体现得更为明显。那些光晕和太阳拱门存在于我的大脑中（我希望也存在于你的大脑中），但它们在像素层面上对应什么？我不知道该如何让图片告诉我，但我希望我能学会。

最后，我想提一下将福特球从幻想世界带入感官世界的最后一个原因：像这样的视频可以向非数学家传达文字和符号无法做到的事情，即为什么数学对我们这些热爱数学的人来说如此具有吸引力。

感谢David Jacobi和Roice Nelson。

参考资料

https://mathenchant.wordpress.com/2025/10/18/picturing-mathematics/

L. R. Ford， 《分数》 https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/ford.pdf ，《美国数学月刊》，45，586-601。

S. Northshield， 《福特圆和福特球》 https://arxiv.org/abs/1503.00813 ，2015年。

C. Pickover，《美与高斯有理数》，第103章（第243-247页），载于：“数字奇迹：数学、思想和意义的冒险” Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning ，牛津大学出版社，2001年。

S. Wells 和 A. Donahue， 《福特球》https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI ，2021年。

https://icerm.brown.edu

https://icerm.brown.edu/program/topical_workshop/tw-16-im

https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09962-z

https://illustratingmath.org

https://rantonse.org/about

https://3blue1brown.com

https://faculty.uml.edu/jpropp/ford-spheres.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=L0MK7qz13bU&list=RDL0MK7qz13bU&start_radio=1

https://www.youtube.com/watch?v=FHzPgarTkqI

https://www.youtube.com/watch?v=SXKlJuO07eM&list=RDSXKlJuO07eM&start_radio=1

https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

https://youtu.be/bMiG5VVluNU

https://illustratingmath.org/node/42

https://forms.gle/L2T4L9RVurMPEATe7

https://www.roice3.org

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