具身连续性探索器：一种基于行动的具身设计，用于动态地实现连续性

Embodied Continuity Explorer: An Action-Based Embodied Design For Enacting Continuity Dynamically

具身连续性探索器：一种基于行动的具身设计，用于动态地实现连续性

https://link.springer.com/article/10.1007/s40751-025-00184-x

摘要

连续性被认为是在学校及更广泛的STEM（科学、技术、工程和数学）研究中处理函数时的一个关键概念。同时，学生们在建立超越直观——且具有误导性——的简化概念（如“画一条没有间隙的线”）之外的可行概念理解方面面临巨大挑战。在扩展他们对连续性的理解并遇到魏尔斯特拉斯连续性定义时，他们会遇到与定义的复杂性及其与先前直观理解不匹配相关的各种障碍。本文承认 − 定义的非实体化和非直观性质，主要呈现为静态，并建议采用一种体验其结构关系的具身化方法。

借鉴激进的具身化和基于行动的具身设计方法，我们提出了一种学习机会的设计和开发，用于实施 − 连续性定义，称为具身连续性探索者（ECE）。它被创建为一个包含约束的电机控制问题，使学生能够通过感知-行动循环探索 − 定义，并旨在实现 − 定义中各种元素之间关系的具身化。我们展示了理论推测如何指导设计以实现期望的学习成果，并提出了一个涉及高中学生的案例研究，以评估设计对学生连续性具身化过程的影响。通过分析一名16岁学生（之前没有连续性知识）的学习轨迹的一部分，发现可以建立 − 定义元素的正确关系，从而在前形式水平上形成有意义的概念化。

关键词 连续性 · 激进具身认知 · 具身设计 · 前形式 · 动态ε-δ定义

引言

在探索数学概念的过程中，连续性往往被证明是一个障碍，正如Tall和Vinner（1981，第164页）所强调的那样，他们将其描述为分析学的“bête noire”（第164页）——即“黑兽”。连续性的概念被公认为在各个学术领域都很重要，而不仅仅是在STEM领域。例如，Neumann及其同事（2021）指出，德国许多大学教育工作者——在STEM领域之外占50%至87%——将连续性的直观概念（“画一条没有间隙的图”）（第27页）视为学生成功毕业的前提条件。有一些著名的理论视角，如概念图像理论（Tall & Vinner, 1981）和基于隐喻的数学具身方法（Lakoff & Núñez, 2000），试图从规范性视角（作为教育框架）和描述性视角（研究学生的个体概念图像和隐喻）来探究连续性概念的教学与学习。使用概念图像理论和隐喻视角对直观概念的研究表明，常用的直观想法缺乏数学严谨性，因此可能“阻碍形式理论的发展”（Tall & Vinner, 1981, 第17页）。出于这个原因，重新评估连续性概念的教学与学习，包括重新考虑现有方法，似乎是合理且必要的。我们正在从激进具身认知的非二元论视角（Baggs & Chemero, 2021; Chemero, 2009; Kiverstein & Rietveld, 2018）出发，研究学生如何形成他们自己对连续性的概念。本文纳入第一作者的博士项目，该项目遵循基于设计的研究方法论，阐述了一个以行动为基础的具身设计流派（Abrahamson, 2014）为根基的学习机会的初步设计与构建，该学习机会以ε-δ连续性定义为中心。因此，提出以下设计问题：

(RQ1) 如何设计一个基于行动的具身设计，以帮助高中生体验连续性/不连续性？

为了说明支撑我们设计的理论主张，并举例说明设计假设和理论假设是如何被评估的，本文呈现了一个案例研究，分析一名学生在我们的设计背景下的部分学习轨迹，以回答这个问题。

(RQ2) 学生在参与基于行动的具身设计后，如何在概念上现象化连续性/不连续性？以及学生学习轨迹的部分内容如何与学习机会的特征相关联？

在接下来的章节中，我们将提供用于刻画连续性和不连续性的数学背景，并对比直观概念与连续性的形式定义。在此过程中，我们将概述学生在遇到（不）连续性时常见的问题及（潜在有问题的）观念。随后，我们将阐明基于行动的具身设计及其理论背景的特点。形式数学ε-δ连续性定义的动态性质以及基于行动的具身设计流派，共同指导了该学习机会的设计与构建。最后，将呈现并分析一个案例研究，聚焦于一名16岁学生在激进具身认知框架内的学习轨迹，该轨迹以推测地图的形式呈现（Bakker, 2018; Sandoval, 2014）。这一实证例证将用于验证我们的设计决策。

文献综述：作为概念理解障碍的连续性直观方法

连续性的直观方法与数学严谨性

尽管形式化的ε-δ连续性定义可能颇具挑战性，但学生和教育工作者仍在寻求关于（不）连续性的直观概念。一种考察学生对连续性概念理解的方法是运用概念图像理论。概念图像（Tall & Vinner, 1981）指的是与某一（数学）概念相关的表征和认知结构，这些结构会随着个人接触新刺激而不断发展和调整。作为概念图像理论的第二个组成部分，概念定义是一种“用于明确指定该概念的文字形式”（第152页）——例如定义1或定义2。概念图像的部分内容与（形式的）概念定义之间可能存在矛盾，从而产生一个冲突因素（Tall & Vinner, 1981）。

连续性的概念图像源于“continuity”一词在日常生活中的使用，例如“雨持续地下着”（Tall & Vinner, 1981）。在数学教育中，连续性被直观地概念化为（参见 Dahl, 2017; Tall & Vinner, 1981）：

(i) 图像上没有间隙。 (ii) 函数的图像是完整的一块。 (iii) 函数由单一公式表示。 (iv) 铅笔连续性（P–C）：这一连续性观念通常由教科书/教育工作者引入（Dahl, 2017），且与欧拉对连续性的概念密切相关：“一条通过自由引导手所描绘的曲线”（Núñez 等人, 1999, 第54页），其含义是连续函数的图像可以一笔画成而不必提起笔。

观念 (i) – (iv) 仅部分正确，因为函数

由于直观概念与形式概念不能很好地契合，Núñez（1998）通过认知语言学的视角分析了连续性，尤其考虑了概念隐喻的相关性（Lakoff & Johnson, 2008），即一种将概念从源域映射到目标域的方式，使得“抽象概念通常通过隐喻，以更具体的概念来理解”（Lakoff & Núñez, 2000, 第38页），从而服务于数学思维和理解。隐喻受到我们日常身体经验（“具体概念”）的影响（Núñez 等人, 1999）。Núñez 认为，不存在单一的连续性观念，而是存在两种不同的连续性观念——一方面是自然连续性，另一方面是ε-δ连续性定义。

根据Núñez的观点，自然连续性植根于允许学习者感知函数静态图像的概念隐喻中，仿佛该图像处于假设的运动状态——这被称为虚构运动（Talmy, 1996）——其典型例子是描画一条曲线的动作。因此，自然连续性基于运动轨迹（Núñez, 1998; Soto-Johnson 等人, 2016）。这一关于连续性的隐喻也缺乏数学严谨性，因为绝对值函数在x=0处没有定义的切线，因而也没有定义的速度。

ε-δ连续性与极限结构

相比之下，对于ε-δ定义，Núñez（1998）识别出两种（静态的）隐喻——一种针对直线（实数线），另一种针对函数。就直线而言，存在“无间隙性”（gaplessness）的隐喻，其含义是实数内部没有间隙。在函数的语境中，存在“保持接近性”（preservation of closeness）的隐喻，它强调当自变量x足够接近x₀时，函数值f(x)可以任意接近f(x₀)。“保持接近性”隐喻被教授者有意使用，也存在于教科书中，但学生的“这种语言的使用并未反映这些预期含义”（Oehrtman, 2009, 第407页）。然而，也有一些隐喻被大学生积极用于数学推导/推理，即“连续性的邻近性隐喻”，该隐喻基于空间距离，并指出：如果两个自变量彼此接近，则相应的函数值也彼此接近（Oehrtman, 2009）。

此外，人们已做出各种努力，旨在创造教育体验，以加深对连续性和极限的ε-δ结构的理解。例如，Cottrill及其同事（1996）基于建构主义APOs（行动、过程、对象、图式）理论，开发了一种六阶段教学策略，旨在促进对极限（或一般意义上的ε-δ结构）的理解，该理论后经Swinyard和Larsen（2012）进一步完善。在此背景下，学生在形式定义方面所面临的挑战已被广泛分析，并归因于定义本身的各个要素（Adiredja, 2021; Cottrill 等人, 1996; Fernández, 2004; Swinyard, 2011; Swinyard & Larsen, 2012; Tall & Vinner, 1981）：Fernández（2004）考察了学生在探索极限的ε-δ定义时的误解，并描述道，学生对引入ε、δ和量词的意义或原因感到困惑。ε和δ在不等式中使用，这对学生来说具有挑战性，因为对他们而言，“从代数上或几何上解释这些不等式……很困难”（Fernández, 2004, 第45页）。此外，全称量词和存在量词构成了一个量化陈述，这通常对学生构成挑战（Dubinsky & Yiparaki, 2000），特别是当存在量词位于全称量词之前时（定义2）。如果两个量词引入的意义和原因得到澄清，那么“时间顺序”（Davis & Vinner, 1986）——指符号ε和δ的顺序——将带来进一步的挑战（Adiredja, 2021）。挑战也可能源于研究函数通常涉及探究不同输入如何影响输出的原因，因此存在一个“先x”的原则（Swinyard, 2011, 第108页）。与此同时，在定义1中，人们需要“[采用]一种先y的视角”（第108页），因为ε用于设定函数值f(x₀)偏差的边界，而合适的δ（数值的边界）则需要被确定。

对直观与形式方法的考量

考虑到上述研究发现，直观概念与连续性的形式定义之间的差异可能源于两个相互交织的方面：动态性与视角。

正如我们所阐述的，几种概念图像以及Núñez关于连续性的隐喻在动态性方面有所不同：P-C（铅笔连续性）或日常连续性概念，以及自然连续性的隐喻，都被视为是动态的；而形式ε-δ连续性概念则被视为静态的（Boero, 2015; Cornu, 2002; Núñez, 1998; Soto-Johnson 等人, 2016）。本文作者同意这一观点，但同时我们认为，通过转换视角，ε-δ定义也可以被视为动态的（正如其他研究者在形式极限定义的语境中所建议的那样，参见 Cottrill 等人, 1996, 第190页）：虽然P-C和自然连续性的概念隐喻聚焦于（虚构）运动的动态性，这种运动创造出一条静态曲线，强调了自身处于图上某位置与下一个将要绘制/移动到的位置之间的关系（个体与对象的关系）。相反，形式定义的动态性植根于函数属性背景下不同类型量词的顺序与关系，因此是一种对象-对象关系。可以将ε-δ定义想象成一场动态游戏（Merkel, 2023, 第131页），其中涉及一个对手和一个主张者，主张者的任务是在给定特定函数或图形的情况下，为对手选择的ε找到一个合适的δ。只要主张者从未被对手的选择所反驳，该函数就是连续的。

正如我们所展示的，直观概念与形式概念之间存在的差异，可能源于不同的动态性和视角。作为旨在解决此问题的学习机会的设计者，我们的目标是使ε-δ定义——我们认为其本质是动态的、可感知的——对学习者而言变得具体可感，同时强调“先y的视角”以及定义中固有的对象-对象关系。基于此，我们将在接下来的章节中介绍这一学习机会，首先概述我们的方法论。

推测地图——为ε-δ连续性定义而设计

遵循基于设计的研究（DBR）的理念（McKenney & Reeves, 2019），我们设计的主要决策和假设——在下文中称为“具身连续性探索器”（ECE）——以推测地图的形式呈现，如图1所示（Sandoval, 2014）。该地图旨在通过提供关于四个关键指导要素及其相互关系的信息，使设计与评估过程以及由此产生的理论知识的生成过程变得透明。正如Sandoval所述，

学习环境的设计始于一些关于如何支持特定情境中我们所关注的学习类型的高层级推测。该推测在特定设计的具体化中得到具体化。这种具体化预期会产生某些中介过程，从而产生期望的结果。研究团队关于设计中的具身元素如何产生中介过程的想法，可以被表述为设计推测。团队关于这些中介过程如何产生期望结果的想法，则是理论推测（第21–22页）。

在下文中，我们将介绍支撑ECE具体设计案例中每个指导要素的理论思想，并通过追踪学习轨迹为其验证提供论证基础。具体而言，我们将首先陈述我们关于如何支持学生学习连续性概念的高层级推测，然后介绍ECE的设计元素（图1），这些元素区分了任务结构、所使用的工具和材料（如软件或硬件）、参与者结构（涉及人员的关系）以及有关沟通方式的论述实践（Sandoval, 2014）。这些设计元素旨在触发某些中介过程，例如特定的互动方式或学生实际操作的制品，以帮助学生达成预期的学习成果。

高层级推测：在激进具身框架内开展学习与设计

该高层级推测总体上关切如何支持学生学习“连续性”这一概念。其具体化植根于行动生态学激进具身观（enactivist-ecological radical embodiment）这一理论路径——该认知观通过强调身体在思维与学习中的核心作用，挑战了认知科学中传统的身心二元分离（Abrahamson & Sánchez-García, 2016；Chemero, 2009；Kiverstein & Rietveld, 2018；Shvarts & Van Helden, 2023；Varela 等, 1991）；此外，还融合了文化—历史取向（Radford, 2003；Vygotsky, 1978）。

激进具身的行动生态学进路基本主张：（数学）知识产生于持续不断的感知与目标导向行动之间的过程（即感知—行动循环），并整合了具身行动论（enactivism；Varela 等, 1991）与生态心理学（ecological psychology；Gibson, 1979）的思想，以基于个体与环境之间的关系来解释行为。生态心理学家侧重于对某物种所处环境（栖息地）进行刻画，由此描述行动的可能性（即“可供性”，affordances）如何受到环境的约束；而具身行动论者则从个体/有机体自身的视角出发，用以解释个体/有机体如何开展探索与自我调节，以及该个体/有机体所“生成”（enacted）的特有环境（即“环世界”，umwelt）（Baggs & Chemero, 2021）。

基于行动的具身设计

为促进感知—行动循环，基于行动的具身设计流派（action-based embodied design genre；Abrahamson, 2014）可作为一个合理起点。该设计流派以生态动力学（ecological dynamics；Abrahamson & Sánchez-García, 2016）为基础，包含以下三个核心要素：约束引导的非线性教学法（constraint-led nonlinear pedagogy）、促进行动的场域（fields of promoted action）以及注意锚点（attentional anchors；Abrahamson & Sánchez-García, 2016）。

约束引导的非线性教学法强调通过感知—行动循环进行探索与引导式自我发现——通常是通过接触一个互动问题实现的——其引导依据是约束条件，而非直接（线性）教学（Abrahamson & Sánchez-García, 2016）。如前所述，量词及具有ε–δ结构的概念对学生而言颇具挑战，因此我们主张采用以学生为中心的非线性教学路径：在引入数学符号之前，先鼓励学生展开探索与自我发现，以实现不同情境下的灵活适应——即“无重复的重复”（repetition without repetition；Bernstein, 1996）。Shvarts 与 Van Helden（2023, p. 414）将此称为“推迟引入数学术语与符号”（postponed introduction of mathematical discourse and notations）的原则。

如图2所示，约束可分为环境约束、任务约束与机体约束三类，它们彼此相互依赖或关联（Newell, 1986）。环境对行动施加多种限制（环境约束），例如重力、温度，或其他更具体的因素，如完成任务所使用的工具。任务约束由所设定活动及其目标决定，并指导动作应如何执行（Newell, 2014）。借鉴经典力学，我们将任务约束进一步区分为：完整约束（holonomic）与非完整约束（non-holonomic），以及定常约束（scleronomic，即不显含时间）与非定常约束（rheonomic，即显含时间）（Nolting, 2014）。完整约束可用方程描述，而非完整约束则无法如此表达。

机体约束涉及个体身体在特定活动与介质中所具备的潜在能力。作为环境约束的一部分，还可识别出所谓信息反馈（information feedback）——即行动者通过视觉、听觉或其他可感知线索，从自身行动中所接收到的响应（Abrahamson & Sánchez-García, 2016）。

通过设计一个考虑并整合各类约束的运动控制问题，可创设出激发自我探索行为的条件——这些条件依托感知—行动循环（Varela 等, 1991），并导向对文化所重视之行动的实践（Abrahamson & Sánchez-García, 2016）。此类条件被称为促进行动的场域（field of promoted actions；Alberto 等, 2022a, 2022b），并使（重新）发现——或按Freudenthal（1972）的说法，“再创造”——数学对象成为可能。

在感知—行动循环之内（Varela 等, 1991），注意锚点（attentional anchors）得以形成（Hutto & Sánchez-García, 2015）：随着个体技能提升，他们会聚焦于某一特定特征，以更高效地完成任务；注意锚点通过使行动受到感知引导，从而便利动作执行（关于注意锚点的若干实例，参见 Duijzer 等, 2017）。

人工制品的作用

结合文化—历史观，数学人工制品（如符号、草图、绘图及定义等）被整合进感知—行动循环（Varela 等, 1991）之中，从而构成一个扩展的操作单元——恰如进餐时身体延展为手持勺子——此即被理论化为身体—人工制品功能系统（body-artifacts functional system），它使得工具化行动（instrumented actions）成为可能，亦即具身化的工具使用（embodied instrumentation；Shvarts 等, 2021）。此外，数学人工制品承载着个体所“生成”的可供性（enacted affordances），因为它们是“活动在其中被转化并固化下来的产物”（Leont’ev, 1978, p. 18；转引自 Radford, 2003, p. 124）。随着个体对文化相关可供性意识的增强，注意锚点可能随之出现，进而支持后续文化所重视的行动（Shvarts 等, 2024）。

基于上述理论背景，我们提出如下高层级推测：
对连续性定义之性质的学习，可通过一种基于行动的具身化学习机会加以提升；该学习机会旨在促进感知—行动循环，并在行动—感知循环中整合人工制品，以实现工具化的行动。

设计要素
我们的高层级推测进一步导出具体的设计要素，可概括为四大类：一般性原则、约束条件、任务结构以及指导者角色（参见图3）。

设计要素1：一般性原则

基于行动的学习原则：连续性的ε–δ定义的各要素被呈现在平板电脑上，作为一道互动问题（Abrahamson, 2014），旨在创造新的感觉运动协调模式（感知—行动循环）。

一致性原则：作为设计者，我们必须确保ECE的设计本身（而非指导者）能够使学生探索并自我发现连续性的性质。因此，该感觉运动问题被设定为允许学生“演绎”ε–δ定义，其一致性已由独立的数学教授使用同一套ECE工具加以确认。

推迟引入数学术语与符号的原则（Shvarts & Van Helden, 2023, p. 414）：在ECE内部，不出现任何数学书写符号，因为我们追求的是学生的概念理解。

我们的尝试植根于将定义1转化为互动问题的理念，即利用函数图像来实际体现（不）连续性的性质（图4）。根据定义1，若一个函数在某一点处可以被认为是连续的，则意味着可以调整垂直的δ区域（图4：垂直黄色区域），使得该区域内所有的函数值也同时位于给定的水平ε区域内（图4：水平灰色区域）。定义1中的量词（ε的全称量词和δ的存在量词）强调，对于连续性的情形，这种对δ区域的调整（采取行动）必须适用于每一个给定的ε值（图4：左侧）。而在间断的情况下——即定义1的否定形式（定义2）——这一陈述并非必然对每个给定的ε值都成立，因为存在某个特定宽度的ε区域（图4：右侧），无论δ区域如何选择，总存在某些位于δ区域内的函数值，却不在ε区域内。

从动态互动问题的意义上讲（Abrahamson, 2014），系统会指定一个ε区域，并动态地缩小其尺寸（从而采用“先y的视角”），此时垂直的δ区域必须以单手或双手的方式进行调整，以便满足ε–δ连续性定义的要求（图4）。

为了将行动的广阔可能性限制在（不）连续性语境下具有文化相关性的范围内，我们实施了约束条件。

设计要素2：约束条件

诱导性动态守恒原则：作为环境约束的一部分，若干信息反馈可诱导产生“动态守恒”（Abrahamson, 2014），即学生从一个“正确”状态过渡到另一个“正确”状态，并最终导向期望结果的过程，可通过系统本身加以诱导。

突出相关可供性的原则：在ECE中，存在一些强调手段（如着色等），旨在帮助学习者“与环境建立联结……”，从而确定栖息地中哪些可供性属于[个体自身的]环世界（Baggs & Chemero, 2021, p. 2186）。这亦可能有助于学习者形成注意锚点（Abrahamson & Sánchez-García, 2016）。

在ECE内部，存在两项任务约束——(a) 将δ区域的中心线对齐至感兴趣的点；以及 (b) 根据给定的ε区域调整δ区域¹——二者具有不同的特性。第一项约束(a)（图5：箭头5）是完整约束且为定常约束，因为它可用一个不显含时间的方程表达，该方程要求点的坐标与中心线重合。第二项约束(b)（图5）是非完整约束且为非定常约束，因为它由一个不等式描述，且随时间变化，因为当δ区域随ε区域收窄时，其尺寸也随之变化。

该互动问题必须在环境约束的语境下解决，该约束具体表现为一个特定函数图像及位于特定位置（用实心圆标记，指示定义1/2中（不）连续性的局部性）（图5：箭头3）。该点通过弹簧同时连接至ε区域的上下边缘。这些弹簧表明，ε区域会像几何序列一样以一个恒定因子0 < r < 1对称地收缩，这是由于施加了一个外部作用力，反映了日常经验中弹簧被拉伸后恢复原长的现象。（备注：设计中实现的弹簧并未被感知为或几乎未被感知为如此。）在图5所示的情形中，两项任务约束均未满足。任务约束的满足情况通过多种颜色信息反馈来指示。所有仅位于δ区域内而不在ε区域内的函数值被着色为红色（图5：箭头7）；当函数值同时位于两个区域内时，则着色为绿色（图5：箭头3和4）。叠加ε区域与δ区域会形成一个矩形——这一点也被特别强调，当互动问题解决后，该矩形的两条边（图5：箭头1）及其面积（图5：箭头2）都会变为绿色。由于第一项任务约束(a)也必须被满足，这一点同样以红/绿颜色高亮显示（图5：箭头5）。一旦两项任务约束(a)和(b)均得到满足，进度条便开始填充（图5：箭头6）。当任务约束持续满足3秒（此时间长度由数学教育专家提供反馈后确定），一颗星会在感兴趣点的x坐标处显示（图5），同时进度条重新开始计时。此过程将持续进行，直至收集到三颗星或时间耗尽，此时该点将出现在下一个位置。这种信息反馈组合服务于多个目的：

1. 进度条的长度与持续时间代表了进展，有助于估算收集下一颗星所需的时间和努力（Sailer, 2016）。

2. 星星允许对表现进行评估和分类（Korn 等人, 2022），并被放置在感兴趣位置的下方，以突出表现上的差异。

3. 上述第1点和第2点的结合遵循“诱导性动态守恒”原则：由于进度条允许获得一颗星，而获得三颗星则代表任务完成，因此我们假设系统可以诱导产生动态守恒（Abrahamson, 2014）。

此外，学习者可以探索不同的图像，并可通过“调查”按钮（图5）从互动问题中“跳出”，静态地修改ε区域的宽度——在此模式下，ε区域不再动态缩小——并将该点移动到不同位置，这强调了连续性仅在函数值有定义的地方才相关。

设计要素3：任务结构与数学事件

自由度逐步增加原则：实施了不同的任务约束，这些约束“否定了可能行动的巨大组合分支”（Abrahamson & Sánchez-García, 2016, p. 216），以引导学生的行动。因此，我们采纳了一种“自由度逐步增加”的原则，强调学生应首先被限制在解决互动问题所需的最少变量或自由度上（例如，Klein 等人, 2012）。

（数学）事件触发反思原则：通过引入不连续/未定义的位置——这一过程被称为“掺杂”（doping；Oberbucher, in press）——可能会引发新的行动—感知循环，并启动反思过程。

反思被视为学习数学的关键，因为根据Freudenthal（1972）的观点，反思过程应在游戏式参与之后开始，是数学学习的起点。否则，解决互动问题的过程只能被理解为从专家视角出发的数学知识。正如先前研究（Shvarts & Van Helden, 2023）所指出的，反思通常由指导者引发，他们能识别何时进行反思是有益的。通过一种称为“掺杂”（Oberbucher, in press）的方法论扩展，反思过程被主动诱发。“掺杂”被定义如下：在一系列旨在学习特定概念（在本例中即连续性的定义）的任务中，当学习者的目标导向感知—行动循环已稳定后，再引入该概念的“杂质”（不连续性、未定义点），目的是为了探索该概念的边界，因为“掺杂”是一种触发事件（Chemero, 2003）的方式——在本例中即一个数学事件——它被描述为“动物-环境系统可供性布局的变化”（p. 25）。因此，事件的核心作用在于它们能够唤起个体与环境之间关系的反思（Baber 等人, 2019; Oberbucher, in press）。Chemero (2003) 用一个实验对此进行了说明：人们需要决定面前不断增大的间隙是否可跨越。在那一刻，当人们的感知从“可跨越的间隙”转变为“不可跨越的间隙”时，他们便感知到了一个事件——即可供性布局的变化。因此，“可跨越”与“不可跨越”的区分对应着“什么是连续的？”和“什么不是连续的？”。

因此，遵循“自由度逐步增加”原则和“（数学）事件触发反思”原则，ECE的任务结构如下：为了每次只引入一个任务约束，ECE的第一项任务仅依赖于任务约束(a)。满足此条件的函数是一个常数函数（图6：图像1）。在五个不同位置（图6中的方块所示）各解决第一个互动问题五次后，环境约束变为一个线性函数（图像2），要求学生同时满足任务约束(a)和(b)。在线性函数之后，接着是一个连续但不一定可微的分段定义函数（图6：图像3），因为学生常常将这类函数因其切线未定义（不可微）或其分段定义（非单一公式）而归类为不连续函数（Klinger, 2019; Tall & Vinner, 1981）。前三个图像在求解过程中表现出一定的对称性（图6：图像1–3关于δ区域中心线对称）。强调这种对称性并非解决互动问题所必需，随后会引入一个三次多项式函数（图6：图像4），它缺乏这种对称性。因此，图6中的图像旨在作为“关键过渡性示例”（Zazkis & Chernoff, 2008），引导学生从朴素或有限的概念——这些概念在特定图像的语境下可能是正确的，但并非普遍适用——走向数学上正确的概念。此外，以下函数（图6：图像4、5、6、7）遵循“（数学）事件触发反思”原则，包括：图像4中的可去间断点（Ponnusamy, 2012, p. 93）、图像5中的跳跃间断点（Ponnusamy, 2012, p. 78）、一个函数未定义的感兴趣的点（图像6）以及另一个可去间断点（图像7）。

设计要素4：指导者（导师）

学生在个体化的、基于任务的临床访谈中被鼓励以自己的方式重新发明（reinvent；Bamberger & Schön, 1983；Freudenthal, 1972）该概念——这为学生提供了以个性化方式“生成”（enact）该概念，以及形成个性化“耦合”（coupling；Baggs & Chemero, 2021）过程的可能性。

指导者尽可能保持被动，避免在对话中主动“凸显相关可供性”，以免干扰学生在与ECE互动过程中自主建构对现象的理解。因此，访谈者主要进行以下两类行为：一是澄清学生对任务本身的疑问；二是提出非指导性的、探索性与元认知性质的问题，例如：

“你能再多说一些你刚刚发现的内容吗？”或围绕学生在ECE环境中的行动目标与意图展开提问（Goldin, 2000）。

中介过程

我们的设计要素应导向（相互关联的）中介过程（图7），这些过程是通向预期成果的“中介性手段”（Vygotsky, 1978）（Sandoval, 2014）。

感知—行动循环与可供性：为了理解ε–δ定义，学生必须识别那些伴随其行动同时出现的关键特征，从而形成目标导向的感知—行动循环。在此语境下，学生生成了自己的“环世界”（umwelt），由此产生了解决后续任务的新可供性（Abrahamson & Sánchez-García, 2016; Baggs & Chemero, 2021）。

具身化工具使用与反思：在ECE内部，由数学事件触发的学生身体—人工制品功能系统，作为将人工制品纳入感知—行动循环的一种形式（具身化工具使用；Shvarts 等人, 2021），它“作为一种反思工具，以扩展连续性概念的范围”（Oberbucher, in press），帮助学生通过运用先前已实践的协调模式，在未掺杂的任务中区分连续性与不连续性。因此，具身化工具使用与反思紧密交织。

注意锚点：随着对文化相关可供性意识的增强，注意锚点可能会产生，这有助于后续具有文化价值的行动（Shvarts 等人, 2024）。由于身体—人工制品功能系统的形成具有自发性（Shvarts & Abrahamson, 2023），学习者可通过“凸显文化相关可供性”（第225页）（参见设计要素2）来辅助其协调。在与学习机会的互动过程中，目标导向的行动变得更加流畅、稳定和一致，同时人工制品与感知—行动循环的整合也得以实现；新的可供性以及注意锚点亦可能随之涌现（Shvarts 等人, 2024）。

学习成果

最终，学习轨迹旨在达成某些可被测量或评估的成果，并与推测地图中所描述的中介过程相联系。ECE的学习目标（即预期成果）是让学生能够：(1) 在概念上现象化（Abrahamson, 2014）互动问题的解决策略；(2) 利用该策略来刻画函数语境下所生成的性质；(3) 运用所生成的性质对连续/不连续函数进行分类（图7）。

案例研究：追踪一条趋向于现象化连续性的学习轨迹

由于推测地图“捕捉了在一个设计好的学习环境中所体现的假设性学习轨迹”（Cobb 等人, 2003）（Sandoval, 2014, p. 24），我们需要评估所陈述的设计推测是否得到满足，而这只能通过分析个体与设计之间的互动过程、识别预期的中介过程并将其与设计要素相联系来实现。如果当中介过程发生时，预期成果得以实现，则理论推测成立，但这需要合适的工具来衡量此类成果。就ECE而言，这种衡量并非定量的，因为与连续性这一数学主题相关的学习成果并未以直接方式吸引学生的注意力。此外，学生所提出的具身化现象（例如引导他们与环境互动的注意锚点）是否涉及连续性数学主题的结构特性，必须通过对学生互动中所反映的可观察的意义建构现象进行定性识别与解释来决定。

这一点将通过一个案例研究，围绕第二个研究问题予以说明。

研究背景与数据收集方法

本案例选自一项整体研究，该研究以个体化的、基于任务的临床访谈形式（diSessa, 2007；Goldin, 2000）开展，对象为某学术型中学（AHS）两个六年级班级共六名学生（四男两女），年龄为15–16岁。

在临床访谈中，包含两项明确的活动（见图8）：
(a) “什么是函数”任务；
(b) 具身连续性探索器（ECE）。

由于连续性是函数的属性，因此在“什么是函数”任务中（图8a），向参与者解释了函数的概念及其定义性特征——尤其因为学习者常仅将那些可用封闭表达式（closed-term representation）描述的函数视为“合法”的函数（Klinger, 2019）。特别强调了利用实心圆（表示端点包含在定义域内）与空心圆（表示端点不包含）来表征定义域边界处的函数值（图8a：青色圆圈）。

所有学生均未曾接触过“连续性”这一概念，且在ECE环节中亦未向其透露所涉及的具体数学概念。

随后，向学生介绍该学习机会的交互可能性（图8b）及所面临的任务（Abrahamson, 2014），即：
(1) “尽可能多地获得绿色反馈！”
(2) “尽可能多地收集星星！”

并未对具体任务要求或环境约束作进一步说明。

学生与ECE的互动过程及伴随的访谈均进行了视频与音频录制，以便后续分析学生在ECE情境中对连续性概念的现象化过程。

分析：艾米及其连续性现象

以下片段展示了学生艾米（A）学习轨迹中的部分过程，从最初的接触开始，直至在前形式水平上完成对连续性的概念现象化。这些片段为理论上合理的设计特征与原则提供了实证例证。

在评估设计推测与理论推测时，我们将把设计要素与预期成果相关联，同时识别其与环境互动过程中产生的中介过程。

片段1：诱导性动态守恒原则与基于行动的学习原则

在第一个片段中，艾米处理的是图像1（图6）。该片段说明了新协调模式的形成，包括人工制品（基于行动的学习原则），以及第一项任务约束(a)的引入，同时也体现了诱导性动态守恒原则。

1. A: （反馈条出现后，艾米将δ区域向右移动。反馈条的进度被中断。手指离开平板。艾米将δ区域一路移至最右侧。）[图A]

在第1段中，艾米通过感知—行动循环（“反馈条被中断”）与行动（“手指离开平板”）参与ECE，她单手将黄色的δ区域向右移动（图A），试图寻找系统的理想状态，并在此过程中形成了身体—人工制品功能系统——她的手指仿佛被δ区域的边缘所延伸。

2 T: [... ] 并且为了接收反馈，你必须持续触摸平板。（A：啊，好的。）所以你可以进行调整，但你必须始终与平板保持接触。（艾米重新开始操作。）

3 A: 啊，我明白了。（艾米围绕该点对称地调整δ区域，并将其宽度保持固定。反馈条变为绿色，星星出现。）啊哈，好的。（第三颗星出现。该点出现在下一个位置。艾米将手指从平板上抬起。）[图B]

（艾米将δ区域向右移动，并围绕该点对称地调整其大小。反馈出现。）[图C]

在第1段中，艾米通过感知—行动循环（“反馈条被中断”）与行动（“手指离开平板”）参与ECE，她单手将黄色的δ区域向右移动（图A），试图寻找系统的理想状态，并在此过程中形成了身体—人工制品功能系统——她的手指仿佛被δ区域的边缘所延伸。

随着艾米对系统目标状态的意识增强，她能够维持该目标状态足够长的时间，使得屏幕上出现三颗星，随后兴趣点/位置从屏幕更左侧移动至更右侧（第3段）。因此，动态守恒是由系统诱导产生的（图C）。她大声说出的“啊哈，好的”（第3段）可以被解读为对系统目标状态意识的增强。当δ区域被整合进感知—行动循环，形成一个身体—人工制品功能系统时，艾米便在该情境下完成了任务（第3段）。

接下来，艾米旨在通过感知—行动循环发现可供性（第4段：“艾米[...]在保持中心线位于该点上的同时，改变δ区域的宽度。”），这些可供性可能存在于栖息地（habitat）中，但尚未成为艾米自身环世界（umwelt）的一部分；而她在成功持续解决互动问题的过程中，也促进了所实践协调方案的稳定性。

身体—人工制品功能系统的成功构建以及对可供性的意识，最终引导艾米通过对系统（当前）目标状态进行概念现象化来完成任务。她通过口头强调一种关系——“中间的这条线必须精确地位于该点上”（第6段）——以及运用手势（图F/G）来实现这一点。此外，她将这种约束类型描述为一种完整约束，并通过使用“精确地”一词加以强调。

片段2：自由度逐步增加原则与凸显文化相关可供性

在片段2中，环境约束变更为图像2。当艾米尝试解决互动问题时，她起初失败了，这促使她重新开始。此外，她的首次尝试总是专注于任务约束(a)，即确保δ区域的中心线与该点对齐，同时试图达到满足任务约束(b)的正确状态。在探索过程中，她使用了“调查”按钮，这使她能够主动调整ε区域的大小并移动该点。以下是接下来的片段。在此片段中，艾米实践了动态的任务约束(b)，她陈述了ε区域与δ区域之间存在关系，并形成了一个以兴趣点为中心的正方形注意锚点。可以假设，该注意锚点的产生是由于“凸显文化相关可供性”的原则所致。

在第7与第8段中，艾米通过感知—行动循环（观察进度条→调整δ区域）尝试满足任务约束(b)。她将系统的目标状态维持了足够长的时间，使得该点出现在下一个位置（第7段）。（程序漏洞：仅显示了一颗星，而非三颗。）在第8段中，艾米将δ区域的中心线与该点对齐，但所选δ区域的宽度过小，导致反馈未出现。在注视进度条位置（感知）的同时，艾米再次静态地增大了δ区域的宽度（行动），从而使进度条增长，系统目标状态得以实现（感知—行动循环）。因此，约束(a)起到了锚点作用，限制了为满足约束(b)而可能采取的行动数量。可推测，由于任务约束(a)已被持续践行（通过自由度逐步增加原则），艾米完成任务约束(b)变得相对容易。当进度条停止增长时，艾米开始动态调整δ区域的宽度，并“在整个延展的时间过程中持续地预备着采取那些她预期将有助于更牢固掌控当下动态展开情境的行动”（Kiverstein & Rietveld, 2018, p. 157），从而使进度条得以持续增长。此时，艾米不仅满足了任务约束(b)，还把握住了其时间依赖性——她从对δ区域的静态调整（第8段）过渡到了动态调整（第9段）。如第7与第8段所示，艾米将δ区域这一人工制品整合进了感知—行动循环，从而构建了一个身体—人工制品功能系统。这种身体与人工制品的统一体现在艾米流畅、自如地调整δ区域以达成系统目标状态的过程之中，同时也表现在她对ε区域与δ区域之间关系的意识上（第9段与第11段）。这种关系在艾米进行概念现象化时亦清晰可见（第11段）。

艾米在解决互动问题时，其注意力集中于ε区域与δ区域交集的边长——这形成了一个注意锚点——该焦点也遵循了“凸显文化相关可供性”的原则。确保边长相等的动作（图L/M：动态手势）固化为一个正方形/方框的人工制品，因为它保留了被实践的可供性。艾米陈述了ε区域与δ区域之间的关系，指出它们的宽度应大致相同。然而，参照ε–δ定义而言，这种描述仍不完整，因为ε区域与δ区域的宽度并非必须相等；此外，在进行这一概念现象化时，艾米并未考虑具体的函数形式，但可以通过践行其他（关键过渡性）函数（Zazkis & Chernoff, 2008）来精确化此理解——这一点在设计过程中已被考虑，并且也是将环境约束改为非对称图像（如图像4）的原因。

片段3：（数学）事件触发反思原则与具身化工具使用

在探索图像2之后，艾米继续处理图像3和图像4（图5），这使她得以实践函数、ε区域与δ区域之间的关联。本片段展示了当艾米面对一个不连续点（图5：图像4）时，其个人意义建构的过程。该不连续点触发了一个数学事件，通过“（数学）事件触发反思”原则，引发了反思过程，并导致了可供性布局的变化（Chemero, 2003）。此外，该片段不仅说明了ε区域与δ区域之间的关系，还通过具身化工具使用，展示了它们与函数本身的关联。

在第12段中，艾米认为该互动问题在当前关注位置上不可解；因此，由于设计所采用的“（数学）事件触发反思”原则，艾米的可供性布局（即艾米与环境特征之间的关系）发生了改变（Chemero, 2003）。

在第14段中，通过具身化工具使用——她将近期已稳定的协调模式及人工制品（δ区域）应用于原本连续性的任务中，用以“解决一个不可解的数学任务”——她指出：自己的任务是调整（协调模式）δ区域（人工制品的使用），使得函数图像与关注点均呈现绿色。

或许由于缺乏专业术语，艾米在指代二维区域时总是用“region”（区域）一词。因此，第15段中“But there’s no region, where I can have my region, where the function is green everywhere”（“但这里根本没有一个区域，让我能放置我的区域，使函数处处为绿色”）这句话可被解释为：“但这里根本没有一个位置（即无论δ区域如何摆放），让我能放置我的δ区域，使函数在其内部处处为绿色。”

此外，与前一片段不同，艾米此时不仅讨论了ε区域与δ区域之间的关系，还纳入了对函数本身的考量。她进一步强调了ε与δ区域的交集、关注点本身，以及该点的位置：

• “ because within here, where the point is, there is green [注：实际为红色；推测为口误] on the outside ”（第16段）——“因为在这里，即该点所在之处，外部呈现绿色［实指：外部是红色］”；

• “ if I go over here so that everything is just green then the point is gone ”（第16段）——“如果我移到此处，使一切全是绿色，那么该点就消失了”。

再次地，借助具身化工具使用这一中介过程，δ区域成为艾米用以论述函数性质的工具。据艾米所言，在该点邻近处可以获得绿色反馈，但在该点本身的位置却无法做到。

在第18段中，艾米明确指出：当图像同时位于δ区域和ε区域内时，它才呈现绿色。这一点通过单手手势（图W/X）得以佐证——与前一片段类似，这些手势成对出现（图N/O）。值得注意的是，她首先展示的是δ区域；目前尚不清楚这是否违背了“先y视角”，抑或出于其他原因。

与前一片段相比，艾米所建构的关系已扩展至包含关注点与函数图像（以及δ区域和ε区域），而不再将“方框”的边长视为解决互动问题所需的关键属性。

在连续性主题的语境下，片段1至3追踪了艾米学习轨迹的部分过程：始于目标导向的感知—行动循环的发展，进而将人工制品纳入其协调模式中，从而形成身体—人工制品功能系统；并通过具身化工具使用，对所实践的性质进行反思。这一过程最终促使她在前形式水平上建立起各相关人工制品之间的正确关系。她积极投身于抽象化过程，正如Boonstra等人（2023, p. 1）所述：她“通过发展并运用数学人工制品，来描述、解释并组织其在经验世界中的感觉—运动行为”。

帮助高中生具身实践连续性/不连续性的基于行动的具身设计原则

我们提出了一种植根于生态—行动主义激进具身观（ecological-enactivist radical embodiment；Baggs & Chemero, 2021）与文化—历史取向（Radford, 2003；Vygotsky, 1978）的设计与开发方案。该设计将连续性的ε–δ定义转化为一个动态互动问题，并实现为平板应用程序（Abrahamson, 2014）：通过函数图像来具身呈现（不）连续性的性质（图3），具体表现为——系统设定一个ε区域，并动态缩小其尺寸，学生需相应调整垂直方向的δ区域，以满足ε–δ连续性定义的要求（图3）。

作为一种基于行动的具身设计，ECE与现有同类设计（如用于具身化比例推理的Abrahamson, 2014，或用于具身化三角函数性质的Shvarts 等, 2021）保持一致，我们也同样遵循“推迟引入数学术语与符号”的原则（Shvarts & Van Helden, 2023）。

我们的设计基于以下若干原则：

• 基于行动的学习原则

  与 推迟引入数学术语原则 （Shvarts & Van Helden, 2023）；

• 一致性原则

  ：确保预期概念真正通过感知—行动循环转化为可体验的经验；

• 自由度逐步增加原则

  ：鉴于ε–δ定义（如极限与连续性）包含多个要素，该原则确保概念以循序渐进的方式变得可及，从而引导学生重新发明该概念（Freudenthal, 1972）；

• 诱导性动态守恒原则

  与 凸显文化相关可供性原则 ：旨在减少指导者在学习过程中的介入；

• （数学）事件触发反思原则

  ：用于精炼学生的概念理解，并界定其所生成图式（enacted schemes）的概念边界（Oberbucher, 即将出版）。

上述原则指导了ECE的设计与构建，并最终应导向通向预期学习成果的中介过程——这一点将在下文加以讨论，从而回应研究问题RQ2。

在形式定义与ECE语境下的概念现象化

学生艾米在使用ECE后于第15–16段中最终形成的概念现象化，与不连续性的形式定义（定义2）高度相似。这是因为在片段3中，给定ε区域的特定宽度时：

“不存在任何区域（移动δ区域的边缘以保持一定距离[图Q]），我能将我的区域（对称地向内或向外移动δ区域的边缘[图R]）置于其中，使得函数处处为绿色，因为在此处（指向ε区域与δ区域交集的位置[图S]），即点所在之处，外部呈现绿色[注：应为红色；口误]（指向δ区域内红色图像的部分[图U]）”（第15–16段）。

换言之，可以这样重新表述：

无论为δ区域选择何种宽度（“不存在任何区域，我能将我的区域置于其中”），总存在一些位于δ区域内部、但处于ε区域外部的函数值（“外部呈现绿色[注：应为红色；口误]（指向δ区域内红色图像的部分[图U]）”）。

艾米在前形式水平上反思了不连续性的定义，这似乎为ECE的进一步发展以及数学话语中所用符号的整合奠定了坚实基础。艾米的概念现象化过程由一个反思过程引导，该过程以具身化工具使用为特征——即包含人工制品的协调模式。这两个相互交织的过程被界定为中介过程，并由“掺杂任务”所引发，而“掺杂任务”的引入正是基于“（数学）事件触发反思”原则。因此，正如数学教育领域外多篇论文所论证的（Baber 等, 2019; Chemero, 2003），数学事件正在改变可供性布局，从而重组个体（艾米）与环境特征之间的关系；先前已实践的动作不再能解决互动问题。这表明，数学事件可作为区分“某一类数学概念”与“另一类数学概念”的初始步骤（Oberbucher, 即将出版）——尽管在激进具身观框架下，仍需澄清“概念”一词的具体含义。我们还证明，通过实施包括进度条和徽章在内的反馈机制组合，系统能够诱导产生动态守恒——这一点在现有基于行动的具身设计中通常由指导者诱发（Abrahamson, 2014）。这一方法为方法论创新提供了潜力。当设计用于学生与指导者比例更高的课堂环境时，系统诱导的动态守恒具有特殊意义。此外，我们已证明，在“自由度逐步增加”原则下，当存在多个任务约束时，首先引入限制动作可能性更少的那个约束，使其成为锚点（见片段2），并在成功实践后转化为一种教学上富有成效的约束，从而促进已实践的协调模式，同时改变感知—行动循环（Abrahamson & Sánchez-García, 2016; Alberto 等, 2022a, 2022b）。因此，当一个任务约束被实践时，它便变得富有教学成效。此外，正如艾米从“初始的（朴素、错误或不完整的观念）”过渡到“适当的数学观念”（Zazkis & Chernoff, 2008, p. 198）时，所使用的图像如预期般发挥了关键过渡性示例的作用。

比较片段2与片段3可以发现，在片段2中，艾米的关注焦点在于ε区域与δ区域的交集——即“方框”（第11段）——并未考虑函数本身；而在片段3中，一方面，她“[指向] ε区域与δ区域的交集[图S]”（第16段），另一方面则讨论了两个独立的“区域”（第18段）。在本设计语境下，这自然引出了一个问题：关注“方框”的倾向源于（1）底层函数图像的对称性，（2）遵循“凸显文化相关可供性”原则的强调，还是（3）其他原因？因此，从我们的角度来看，这种对ε区域与δ区域交集的有意强调究竟带来了何种教学效益尚不明确，因为它也可能偏离了预期的学习目标。

结论

本研究表明，在引入形式定义之前（Fernández, 2004），在前形式水平上开展工作可能是有益的——这一点已通过“推迟引入数学术语与符号”的原则得到强调（Abrahamson 等, 2011; Shvarts & Van Helden, 2023）。这也符合“根基化”（grounding；Nathan, 2012, 2022）或隐喻（Lakoff & Núñez, 2000）的理念，即强调（感官/具体）经验应与符号相联系，否则符号本身可能无法与任何意义相关联。本研究通过在前形式水平上直接与定义互动（Edwards & Ward, 2004），代表了理解ε–δ连续性定义语境下此类经验可能呈现何种形态的第一步。此外，直接与ε–δ定义互动，提供了揭示其动态特性的机会，并强调了对象—对象关系——即ε区域、δ区域与函数之间的关系，该关系作为环境约束发挥作用。

另一个值得注意的问题是，ε–δ定义避免了无穷小量（infinitesimals）（Cornu, 2002）。正如我们所见，艾米以一种动态方式实践了该概念（第9段），这种过程可以无限延续下去。这种“潜在无限过程”的理念确实在激进具身观中提出了关于概念化的疑问。此外，研究人员（Bakker 等, 2019）还提出了一个问题：双手协调是否对于基于行动的具身设计流派而言是必不可少的。根据我们的实证数据，艾米在片段1中以单手启动协调模式，而在片段2/3中则切换为双手协调模式。正如我们所展示的，ECE的设计、创建与实施引发了一系列问题，这些问题应在未来的研究中加以解决。

原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s40751-025-00184-x