杨振宁的统计物理遗产：相变与临界现象

导语

一滴水，在沸腾前的那一刻，内部正酝酿着剧烈而无声的变革。一根树枝，在被压断前的瞬间，承受着即将崩塌的张力。我们的地球，在温室气体持续累积的今天，也正悄然逼近某个未知的“引爆点”。

这，就是“临界点”——一个系统从一种状态向另一种状态发生剧变的门槛。它无处不在，既是宇宙中最基本的法则之一，也是我们这个时代最紧迫的挑战。为了深入理解这一横跨多个尺度的深刻概念，我们将开启一段三部分的探索之旅，从物质的微观世界出发，途经数学的抽象王国，最终抵达我们赖以生存的蓝色星球。

我们将回归物理学的基石，探寻相变与临界现象。 在这里，我们将了解科学家如何描述物质“集体行为”的突变——从水结冰到磁铁失磁。我们将理解什么是相变潜热，什么是连续相变，并领会杨振宁等物理学巨匠如何为我们搭建起理解临界现象的理论框架。

2025年10月18日，一个消息牵动了全球科学界与华人的心：诺贝尔物理学奖得主、中国科学院院士、世纪物理学家杨振宁先生在北京逝世，享年103岁。

当我们回望杨先生波澜壮阔的科学生涯，宇称不守恒的颠覆性洞察与杨-米尔斯规范场的宏伟基石，如同两座最耀眼的灯塔，定义了现代物理学的格局。然而，在这两座丰碑之外，杨先生的工作中还隐藏着一片同样深邃、却较少被公众所知的学术大陆——统计物理中的相变与临界现象。它所揭示的，是宇宙万物从无序到有序的变迁规律，也为解读我们星球的命运埋下了深刻的伏笔。

杨振宁先生曾坦言：“我一生三分之一的工作在统计物理。” 这看似一句轻描淡写的自述，其实是这位科学巨匠对自己学术生涯版图的宣告。杨振宁90岁寿辰时，清华大学模仿“朗道十诫”，送给他一块4个侧面刻满其13项主要物理学贡献的黑色大理石立方体作为寿礼。其中一面展示了杨先生在统计物理领域方面的贡献，第一项便是“相变”，如图1所示。

图1：清华大学赠予杨振宁的“科学立方”

水在寒冷的冬天会结冰、被加热后会发生汽化，这是人们日常生活中常见的现象。物质的状态在物理学中被称为“相”，比如水有固相、液相和气相等，而物质从一种相转变为另一种相的过程就是“相变”。

其实不只是水，自然界中绝大多数物质都存在相变现象。为了更系统地梳理纷繁复杂的相变现象，奥地利物理学家保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）提出了一套基于热力学势的分类方案，用热力学势在相变点处的导数的阶数（随参数变化的“光滑程度”）来区分不同的相变。如果在相变点，热力学势的一阶导数（对应着体积、熵等物理量）出现一个明显的台阶，这就是一级相变。这意味着系统会吸收或放出大量热量（即相变潜热），体积也会发生突变。我们熟悉的水结冰或沸腾，就是最典型的一级相变；而如果一阶导数本身是连续的，没有台阶，但其二阶导数（对应着比热容、压缩率等物理量）出现了一个尖点或趋向无穷，这就是连续相变。这种相变没有潜热，体积变化也是平滑的。如水在临界温度和临界压强之上，会变成超临界水，这个过程没有潜热产生，属于二级相变。

在现代物理学中，我们更常用连续相变这个更广义的词来概括这类没有潜热、状态连续变化的相变，它包含了埃伦费斯特定义的二级相变以及更高阶的相变。因此，区分一个相变是一级相变还是连续相变，往往是相变研究中的首要问题。

与水的三态之间的相变相比，还有一些相变更令人着迷：磁铁在加热到一定温度时，会突然失去铁磁性，即从铁磁相转变为顺磁相，称为顺磁-铁磁相变。1895年，居里夫人的先生——皮埃尔·居里在实验中发现，磁铁加热到一定温度（这后来被称为“居里温度”），会突然失去磁性，实验如图 2所示。这个发现，为理论物理学家提出了一个深刻的挑战：如何从微观的相互作用出发，解释宏观上这种磁性的的突变？

图2：居里温度实验动画，当镍周围温度达到居里温度，会失去磁性。动画中来回摆动的为镍块，蜡烛的左侧为磁铁。镍块在磁铁磁场作用下产生磁性，向磁铁运动，当靠近火焰，达到居里温度后，失去磁性，远离磁铁。此过程不断重复，镍块来回摆动。https://rimstar.org/science_electronics_projects/curie_temperature_ferromagnetism_experiment.htm

面对实验现象提出的挑战，外斯（P. Weiss）在1907年首先尝试了一种看似“粗糙”却极为强大的模型——平均场理论。它的核心思想，好比在分析一场大型选举时，我们不关心每个选民的具体想法，而是假设每个人都受到一个“平均民意”的影响。在磁体中，平均场理论假设每个自旋感受到的，并非其邻居瞬息万变的真实磁场，而是一个由所有其他自旋共同产生的平均的“有效磁场”。

这一近似取得了成功。它成功地从数学上定性复现了磁性的突然消失。物理学家们似乎找到了解开相变之谜的钥匙。然而，胜利是短暂的——平均场理论就像一幅印象派画作，抓住了神韵，却在细节上失了真。它似乎“抹平”了临界点附近那些至关重要的、剧烈的涨落。

为了捕捉被平均场理论“抹平”的细节，物理学家需要一个更忠实于微观现实的模型。这时，历史舞台的聚光灯打向了德国物理学家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）和他的学生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）。楞次在1920年提出了一个精巧的构想，他把铁磁性材料抽象成由一个个原子构成的晶格，每一个原子都有一个或向上或向下的“自旋”，如图2所示。自旋之间的相互作用使得相邻自旋倾向于同向排列，从而使得整个材料呈现出铁磁性；另一方面，由于热运动的影响，当温度升高时自旋的指向会倾向于变得无序。因此，自旋之间的相互作用带来的有序和温度带来的无序便产生了竞争关系，这种竞争关系最终导致了铁磁体的相变。

图2：伊辛模型示意图：晶格上的自旋，倾向于与邻居保持同向

这个看似简单的模型，被交给了楞次的学生伊辛。伊辛在1925年的博士论文中，极其“不幸”地选择了一维模型求解，并得出结论：一维伊辛模型在任何有限温度下都不会发生相变。这一结论一度让人们认为，这个模型在更高维度可能也过于简单，无法捕捉到相变的精髓。

然而，物理学的革命往往在不经意间发生。1944年，当人们还正在从二战的阴霾中逐步走出时，挪威裔美国化学家、物理学家拉斯·昂萨格（Lars Onsager）（图3）发表了石破天惊的论文。他利用转移矩阵法，给出了二维伊辛模型在零外磁场下的严格解析解。这个解精确地预言了系统的相变点，并计算出了相变点附近的临界指数（描述临界行为的幂指数）。昂萨格的解法之精妙、数学之艰深，在当时被誉为“神来之笔”，它像一道闪电，照亮了统计物理最黑暗的角落，开启了所谓的“昂萨格革命”。更重要的是，昂萨格解的临界指数与平均场理论截然不同，它无可辩驳地证明了，在临界点附近，涨落的作用是决定性的，任何忽略它们的理论都将是错误。

图3：昂萨格

然而，昂萨格的解法并未完全解决伊辛模型的问题。他计算了零外场时的临界指数，却未给出弱外场时自发磁化的临界指数。1949年，他在一个会议上写下了最终公式，却未提供证明过程。历史性的接力棒，交到了当时年仅27岁的杨振宁手中。

1951年，杨振宁发表了论文《二维伊辛模型的自发磁化》，给出了自发磁化强度的完整、严格的推导。这篇论文被誉为“统计物理的典范之作”，是杨振宁先生在理论物理学界的第一个“成名作”。它不仅补全了昂萨格工作的一块拼图，更以其数学上的优美和物理上的深刻，影响了此后数十年的研究。

杨振宁的第二个里程碑式贡献，是与合作者李政道先生提出的“李-杨相变定理”。他们将目光从配分函数（一个描述系统所有可能状态的统计求和，或者说归一化因子）的实数轴，延拓到了整个复平面。他们证明，热力学相变的发生，与复平面上“单位圆”内配分函数零点的存在和分布密切相关。这个定理如同一座桥梁，将统计物理与复分析这两个看似遥远的领域连接起来，为理解相变的本质提供了全新的数学视角。它揭示了相变不仅仅是物理现象，更是一种深刻的数学结构。

昂萨格的严格解和杨振宁的推导，这两项工作共同构成了对平均场理论的突破。它们提供的精确“靶点”，迫使物理学家们重新思考。为什么伊辛模型的临界指数与平均场理论不同？为什么不同的物理系统（磁铁、液体、合金）在相变点附近却表现出相似的“标度行为”？

对这些问题的解答，指向了相变理论的三大核心支柱：标度性、普适性与重整化群。卡丹诺夫因前两者荣获玻尔兹曼奖，威尔逊则因重整化群理论荣膺1982年诺贝尔物理学奖（他亦是首届玻尔兹曼奖得主）。这一系列突破性进展，共同构成了对平均场理论的超越，而其理论源头，可追溯至杨振宁等人在“昂萨格革命”中奠定的基石。

而这场革命的余波，至今仍在物理学界激荡。伊辛模型作为一个“思想富矿”，持续启发着后来的诺奖工作：2021年，乔治·帕里西因对无序复杂系统（自旋玻璃）的开创性研究获奖，其核心正是伊辛模型的推广；2024年，约翰·霍普菲尔德因神经网络模型获奖，其灵感也直接源于伊辛模型。值得注意的是，玻尔兹曼奖仿佛成为诺贝尔物理学奖的重要风向标——从威尔逊（1975年）、帕里西（1992年）到霍普菲尔德（2022年），这一脉络清晰地标示出统计物理与复杂系统研究在当代物理学中的日益凸显的地位。

来源：集智俱乐部

编辑：魏玉鑫

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