熵驱动的暴胀 Inflation from entropy

熵驱动的暴胀 Inflation from entropy

https://arxiv.org/pdf/2509.23987

我们研究了一种修改引力理论的宇宙学解，该理论源于时空度规与由几何和物质场诱导的度规之间的量子相对熵。真空方程允许暴胀解，暗示暴胀可能具有熵起源。方程还允许一个类幻影（phantom-like）行为的演化区域。假设慢滚参数与CMB观测量之间的关系在熵引力中仍然成立，则该理论预言了一个符合观测的功率谱。

引言

自黑洞熵 [1, 2] 和霍金辐射 [3] 被发现以来，量子信息与其和引力之间的关系一直是理论物理学家关注的核心问题。黑洞熵的发现表明，引力本质上编码了量子信息，因为熵量化了观测者所无法获知的微观态数目。随着全息原理 [4–6] 的提出以及近年来在纠缠熵方面取得的进展 [7–12]，这一联系进一步深化。这些发展挑战了将引力纯粹视为几何现象的经典观念，转而提出引力可能源于量子自由度的集体纠缠熵，从而将引力重新定义为一种热力学或信息论现象 [13]。

一个全面的信息论引力方法有望为早期宇宙宇宙学、黑洞物理 [14] 以及量子引力 [15, 16] 提供更深刻的洞见。近期的一项研究提出，时空度规与由几何和物质场诱导的度规之间的量子相对熵可作为支配引力理论的基本作用量 [17]。量子相对熵 [18] 是信息论中的一个核心概念，针对量子算符进行定义 [19–21]。在该理论中 [17]，时空度规、几何诱导度规以及物质场均被视为量子算符，从而构成一种双度规引力理论 [22, 23]，其中度规被提升为量子算符。这种基于熵的量子引力方法导出了修正的爱因斯坦场方程，这些方程在弱耦合和低曲率极限下可还原为经典广义相对论 [17]。

近期关于熵量子引力中近似史瓦西解的研究指出，尺度远大于普朗克长度的黑洞仍满足熵的面积律 [24]。本文中，我们推导出熵量子引力对应的弗里德曼（Friedmann）方程。这些方程在无需额外物质场的情况下即允许暴胀解。暴胀是宇宙最初极短时间内发生的指数级膨胀阶段 [25]，可解决视界问题和平坦性问题，同时为原初密度扰动提供种子 [26–33]。这些扰动以温度涨落的形式印刻在宇宙微波背景（CMB）上。这些涨落的近似尺度不变谱与标准暴胀模型的预言基本一致。

标准暴胀模型由一种假想的暴胀场（inflaton field）驱动 [34]。迄今为止唯一被观测到的标量场是希格斯场 [35]。希格斯场与引力的最小耦合无法产生标准的慢滚解 [34]，而非最小耦合 [36] 则会导致不可重整的修正项 [37, 38] 和幺正性破坏。实现暴胀的另一种途径是对引力进行修改，通常引入高阶曲率修正项 [39–42]。所有标准暴胀模型都面临精细调节问题以及无法给出唯一测度的问题 [25, 43]。尽管暴胀初始时处于势能高位，但目前尚无初始条件理论能对此加以解释。这一问题与暴胀所需的低熵初态相关，被称为熵问题 [43, 44]。尽管暴胀模型极为成功，但将其与紫外（UV）完备理论相协调所面临的理论挑战，以及其预测能力的不足，促使物理学家寻求早期宇宙的替代理论，例如反弹宇宙模型 [45–51]。

熵量子引力中的FLRW解天然具有暴胀性质，无需引入额外项或物质场。引力源于量子算符的冯·诺依曼熵，使该模型具备紫外完备性并拥有坚实的理论动机。在熵量子引力中，暴胀除牛顿引力常数 G 外不涉及任何额外参数。正如本文后续将看到的，暴胀既可以表现为低熵解，也可以表现为高熵解。高熵解对应的哈勃参数 H 满足 √0.12 M_pl ≲ H < √(1/6) M_pl，预言张量标量比 0.010 ≲ r ≲ 0.012，CMB观测量的谱指数为 0.962 ± 0.002。当 √0.08 M_pl ≲ H ≲ 0.11 M_pl 时，解表现出幻影（phantom）行为，此时慢滚参数 ε 很小且为负值。

本文结构如下：首先讨论熵量子引力，并在无物质场情况下给出类FLRW宇宙的运动方程；随后几节中，我们将求解运动方程，证明时空具有暴胀性质；接着讨论数值解及幻影行为出现的参数区域。

来自熵的引力——文献 [17] 中提出的熵量子引力涉及一种拓扑度规，该拓扑度规由定义在四维流形上的标量、矢量和双矢量之间的度规构成，该四维流形完全由度规 所描述。该拓扑度规的形式为

由几何在真空中诱导的度规被假设为 [17, 52]

方程（9）中的表达式是成立的，因为展平矩阵和里奇张量本身都是对角矩阵。由于展平矩阵和里奇张量均为对角矩阵，我们可以写作：

修正的弗里德曼方程——假设时空为FLRW形式，则方程（12）可简化为一对耦合的常微分方程，称为修正的弗里德曼方程。熵引力的修正弗里德曼方程具有高度非线性，其形式如下：

图（1）描绘了 ε 和 η 随 e 倍数（e-folds）数量变化的函数关系。这些解属于暴胀解，且处于慢滚区域之内。假设慢滚参数与宇宙微波背景（CMB）观测量 r 和 ns 之间的关系在熵引力中仍然成立，则 x ~ 0 的解被观测结果所排除。观测给出的张量标量比上限为 r ≲ 0.036，谱指数为 ns ~ 0.96 ± 0.0042 [53]。

对于更大的 x 值，方程（19）中的近似不再有效。然而，从附录 III 中给出的 ε 的完整表达式可知，该方程允许在 x = 1/6 附近存在暴胀解。

图（2）展示了在经历 50 个 e 倍膨胀后，不同 0 < x < 1/6 取值下的慢滚参数 ε 和 η。从图中可以清楚看出，当 0.08 < x ≲ 0.12 时，解表现出类似幻影（phantom-like）的行为；而当 0.12 ≲ x < 1/6 时，解仍为暴胀解。当 x > 1/6 时，作用量变为复数，熵量子引力的方程也不再适用。

令人难以置信的是，当 0.12 ≲ x < 1/6 时，暴胀解产生的张量标量比远低于观测上限 r ≲ 0.036，且谱指数满足 0.96 ≲ ns ≲ 0.964，与观测结果一致。由于宇宙正经历慢滚暴胀，我们假设标准结果 r = 16ε 和 ns = 1 - 4ε + 2η 在熵量子引力中依然成立。

图（3）是在假设经历 55 个 e 倍膨胀的前提下，针对 0.12 ≲ x < 1/6 区间绘制的张量标量比与谱指数的关系图。ns 与 CMB 观测结果相符，而张量标量比 0.000142 ≲ r ≲ 0.012 在实验上可被 SO 或 CMB-S4 等实验潜在检验。

r 的下限取决于暴胀的 e 倍数：若暴胀经历 60 个 e 倍，则 0.010 ≲ r ≲ 0.012，此时对应的 ns 值落在观测范围内。

将 ε 的方程在 x = 1/6 附近展开，我们得到：

我们尚未研究熵量子引力中的扰动，本分析基于背景解。在此背景下，本文所讨论的关于CMB观测量的结果需谨慎对待。要最终确定观测量的数值，还需进一步分析，这将留待未来工作完成。

数值解——我们对 x ≪ 1 的情况数值求解方程（17）。在图（4）中，我们给出了初始条件为 H(0) = 10⁻⁹ 和 H′(0) = 3/16 × 10⁻⁹ 时修正弗里德曼方程的数值解。第二个弗里德曼方程设定了导数的初始条件。如图所示，哈勃参数最初增加，但很快趋于一个常数，并随时间略有下降。参数 ε 为正值、很小，且在几个 e 倍膨胀后变为常数。

数值分析证实了我们关于慢滚暴胀的解析结果。然而，对于 x ~ 1/6 的情况，数值结果难以获得，我们不得不依赖解析近似来得出结论。

熵导致的幻影行为——当 0.08 ≲ x ≲ 0.11 时，慢滚参数 ε 为负值，表明状态方程 w < -1，类似于幻影暗能量情景 [54]，或某些修改引力理论中的情形 [55, 56]。这一结果在新兴观测证据（如 DESI 和 Planck 数据集）的背景下颇具意义，这些证据暗示早期宇宙偏离标准暗能量范式 [57]。该解的幻影行为可能对早期暗能量具有启示意义。为简洁起见，我们将其留待未来工作探讨。负的 ε 也意味着违反零能量条件，尽管由于场方程中存在非正则动能项，这并不令人意外。

早期宇宙的熵——熵量子引力的作用量本身可自然地导向一种类似玻尔兹曼熵的信息论解释。该理论的拉格朗日量为

其中，W(r) “计数”（一般而言，此处定义的 W(r) 是实数，不一定是整数）几何的自由度数目 [24]。对于包含 n 个宏观子系统的系统，玻尔兹曼熵为 S = Σᵢ₌₁ⁿ log(Wᵢ)，其中 Wᵢ 是第 i 个子系统的微观构型数目。类似地，在熵量子引力中，我们有

因此，量子相对熵计量了度规的自由度数目。对于FLRW宇宙，熵由尺度因子 a(t)和空间体积 V决定。对于前几节所讨论的慢滚近似范围内的解，

结论与讨论：本工作在熵量子引力的框架下推导并求解了修正的弗里德曼方程，其中引力源于时空度规与几何-物质诱导度规之间的量子相对熵。指数膨胀是该理论固有的性质，无需引入额外的标量场或其他奇异物质场。该框架为暴胀阶段提供了紫外完备的起源，且仅需极少量参数。我们的分析识别出一个高熵暴胀分支（0.12 < x = GH² < 1/6），其预言张量标量比满足 0.000142 ≲ r ≲ 0.012，谱指数满足 0.962 ≲ nₛ ≲ 0.964，与当前CMB观测约束一致；同时还存在一个幻影类分支（0.08 ≲ x ≲ 0.11），对应状态方程 w < -1，并违反零能量条件，可能与早期暗能量情景相关。

熵的诠释表明，暴胀分支对应的几何自由度数目高于幻影类解。能量条件的违反暗示在此框架内可能存在反弹或循环宇宙学模型。要最终确定CMB和引力波（GW）观测量的预言，尚需系统性地研究标量和张量扰动。总体而言，结果表明，暴胀及早期宇宙的奇异行为均可纯粹从熵引力中自然涌现，从而为标量场驱动的暴胀提供了一种具有预测能力且理论动机充分的替代方案，值得进一步深入研究。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2509.23987