黑洞力学的四大定律The Four laws of black hole mechanics

The Four laws of black hole mechanics

黑洞力学的四大定律

https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-31/issue-2/The-four-laws-of-black-hole-mechanics/cmp/1103858973.pdf

《The Four Laws of Black Hole Mechanics》（黑洞力学四定律）一文的核心在于建立黑洞动力学行为与经典热力学四定律之间的深刻类比，并在此基础上提出一套形式上平行、内涵上更严格的“黑洞力学四定律”。以下是本文的重点概述：

摘要

推导出了包含被物质环绕的黑洞的爱因斯坦方程的定态轴对称解的质量表达式，以及两个相邻此类解之间质量差的表达式。这些表达式中出现的两个量，即事件视界的面积 A 和黑洞的“表面引力”κ，分别与熵和温度有密切的类比关系。这种类比提示了可以提出四条黑洞力学定律，它们对应于热力学四定律，并在某些方面超越了热力学四定律。

1. 引言

人们普遍认为，一个引力坍缩的物体会形成一个黑洞，而这个黑洞最终会稳定到一个定态。如果黑洞是旋转的，则其定态必须是轴对称的 [1]（该定理的一个改进版本涉及较弱的假设，在 [2] 中概述，并在 [3] 中详细给出）。已经证明，事件视界外为空的定态轴对称黑洞解属于离散族，每个族仅依赖于两个参数：质量 M 和角动量 J [4–6]。对于 M⁴ > J² 的克尔解就是这样一个族。似乎不太可能存在其他族。同样，合理地假设，对于 M⁴ > J² + M²Q² 的纽曼-克尔解（其中 Q 是电荷），是除电磁场外事件视界外为空的唯一定态轴对称黑洞解。另一方面，将存在一个无限维的定态轴对称解族，其中存在围绕黑洞运行的物质环。在本文第 2 节和第 3 节中，我们将推导出此类解的质量公式，以及两个相邻解之间质量差的公式。这些公式

推广了斯马尔 [7] 和贝肯斯坦 [8] 对克尔解和纽曼-克尔解所发现的表达式。我们证明，公式中出现的量具有明确的物理诠释。特别值得关注的是事件视界的面积 A 和“表面引力”κ，它们共同出现。它们分别与熵和温度有很强的类比关系。沿着这一类比，我们在第 4 节中推导出四条黑洞力学定律，它们类似于但不同于热力学四定律。

1. 积分公式

在一个定态轴对称渐近平坦的空间中，存在一个唯一的类时平移 Killing 矢量 Kᵃ，它在无穷远处是类时的，且满足 KᵃKₐ = -1；还存在一个唯一的旋转 Killing 矢量 K̃ᵃ，其轨道是参数长度为 2π 的闭合曲线。这些 Killing 矢量满足方程

右边第一个积分可被视为视界外物质对总质量的贡献，而第二个积分则可被视为黑洞本身的质量。类似地，可对式 (4) 进行积分，从而得到从无穷远处渐近测得的总角动量 J的表达式，

1. 微分公式

在本节中，我们将利用积分质量公式推导出两个略有不同的定态轴对称黑洞解之间质量差 δM的表达式。为简化起见，我们仅考虑视界外物质为围绕黑洞作圆周运动的理想流体的情形。不包含黑洞项的旋转恒星的微分质量公式在 [12] 中讨论。包含电磁场、允许物质为弹性固体的处理方法在 [6] 中给出。

理想流体可由能量密度 ε来描述，而 ε是粒子数密度 n和熵密度 s的函数。温度 θ、化学势 μ和压强 p定义为

这就是微分质量公式。

如果一个无穷小的环被缓慢地添加到一个黑洞上，且不允许任何物质或辐射穿过事件视界，那么黑洞的面积和角动量保持不变，而方程 (34) 中的物质项给出了添加该环所需的净能量。由于 ΩH和 κ会随环的质量一阶变化，因此在积分质量公式（方程 (13)）中必须考虑 的变化。

1. 四条定律

在本节中，我们将探讨黑洞与热力学之间的类比，并提出四条定律，它们对应于热力学四定律，并在某些方面超越了热力学四定律。我们从最明显的类比开始：

第二定律 [1]

每个黑洞的事件视界面积 A不会随时间减小，即

若两个黑洞并合，则最终事件视界的面积大于初始两个视界面积之和，即

这确立了事件视界面积与熵之间的类比。黑洞力学第二定律比相应的热力学定律稍强一些：在热力学中，熵可在不同系统之间转移，仅要求总熵不减少；然而，黑洞之间无法转移视界面积，因为黑洞不能发生分叉（[1, 2, 3]）。因此，黑洞力学第二定律要求：每一个单独黑洞的视界面积均不得减少。

第一定律

任意两个相邻的定态轴对称解——其中包含作圆周流动的理想流体及一个中心黑洞——满足如下关系：

第零定律

定态黑洞的表面引力 κ在整个事件视界上为常数。
这一点已在第 2 节中得到证明；在稍有不同的假设下，其他证明见文献 [6, 2]。
若将该类比进一步延伸，可提出如下假设：

第三定律

原文链接：https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-31/issue-2/The-four-laws-of-black-hole-mechanics/cmp/1103858973.pdf