熵力的量子力学 On the Quantum Mechanics of Entropic Forces

On the Quantum Mechanics of Entropic Forces 熵力的量子力学

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/y7sy-3by1

30年前曾有人推测，引力可能源于信息的熵增重组。我们提供了一组微观量子模型，详细实现了这一构想。特别地，我们提出一种简单机制：牛顿引力定律源自一组量子比特或振子自由能的极值化，而非基本场虚粒子交换。我们给出了该构造的局域与非局域版本，并说明如何利用现有观测和近期实验将这些熵模型与普通微扰量子引力区分开来。

研究领域：引力、量子信息、统计物理

I. 引言

自然界中的许多力是通过交换虚场量子来传递的，但也存在一些有效力，它们源于复杂系统驱动热力学自由能达到极值的过程。特别地，有观点提出，引力可能正是这样一种热力学或熵性的相互作用，而非通过某种基本量子场产生［1,2］。然而，在这种设想中，量子化的物质如何与引力耦合尚不清楚。本文通过构建具体的、完全量子力学的模型来研究这一问题，这些模型在热力学极限下能够重现牛顿万有引力定律。

这一思想的核心可通过典型的熵力（如理想气体定律）类比理解。考虑一对大质量活塞，其间填充着无相互作用的气体，如图1所示。我们假设气体通过与热浴相连而维持在固定温度 T。气体的自由能 A=U−TS通过标准的萨库尔-特罗德（Sackur-Tetrode）公式，依赖于活塞间距 x：

该系统在熵驱动下趋向其自由能的极值，这由条件 ∂A/∂x=0 所决定。由于在理想气体中 ∂U/∂x=0 ，这意味着活塞间距是由熵力驱动的。

其中 A是活塞的面积。本练习所展示的是：两个活塞之间感受到一种有效作用力，即压力，该力由气体介导，而非某种基本的量子场。

在我们的模型中，二体牛顿引力相互作用 同样将作为由一个微观系统介导的压力而出现，该系统被驱动趋向其自由能的极值。我们的主要目标是详细展示非相对论性引力如何作为一个受控微观模型的热力学极限而产生。这反过来可以解释在此类情景下引力如何与量子化物质耦合（这一问题在文献［1,2］中仍悬而未决），以及此类情景如何通过实验与普通的虚引力子交换区分开来［3–13］。我们在第 III 节讨论实验预测。

我们强调，我们的构造并不一定涵盖“引力作为熵效应或热效应”这一假说的所有可能实现形式［1,2］。特别地，我们的模型通常同时包含热力学和纯熵成分，这与文献［1］一致，但比文献［2］更一般化。我们还做出了一些具体选择（例如，热浴的谱密度），以便进行详细计算，但我们预期这里发现的定性结构在更广泛的设定中仍然成立。

此处提出的机制也不同于全息模型（如 AdS/CFT）中引力涌现的方式［14,15］，至少表面上如此。在这里，引力作为由热力学系统直接介导的相互作用而出现，而任何 AdS/CFT 的弦理论模型在低能极限下都包含无质量自旋-2 量子（即引力子），它们作为长波长引力的相干量子媒介［16–18］。

总之，我们的目标是提供明确的、概念验证性的例子，在这些例子中，引力以熵效应的形式涌现，其方式不同于传统的引力子图像，也不同于标准的全息原理。然而有趣的是，我们发现这些模型具有一系列自由参数，并且在某些参数范围内，它们与标准的虚引力子交换无法区分。这可能是我们非相对论极限下的一个副产物，也可能具有更根本的意义。我们将这一重要问题留待未来工作解决。

在继续之前，我们指出一些早期关于熵引力［19–21］和熵力量子处理［22,23］的有益研究。本文全文采用单位制。

II. 牛顿万有引力定律

在理想气体的例子中，作用在活塞上的力是通过与一个多体中介系统（即气体分子）耦合而产生的，而该中介系统又与一个热浴相耦合。我们将遵循相同的范式来构建一个引力模型。哈密顿量将具有如下一般形式：

此处， S 指的是可观测的非相对论性大质量物体系统，其哈密顿量为：

可以平凡地添加一个外势。标签 M指代下文将详细讨论的多体中介系统，而 B指代热浴。请注意，大质量物体并不直接与热浴耦合。

在理想气体的例子中，热浴代表一个热储库，例如腔壁中的热声子，它们可与气体发生交换。热浴的作用是在足够长的时间尺度上，将中介系统的状态固定在温度 T。我们将在下文对此进行精确说明。引入热浴主要是为了计算方便：人们也可以仅将中介系统视为一个自热化的系统，例如一种自相互作用的气体［24］。

牛顿引力定律将在热力学极限下出现。本文的核心目标之一是展示如何在完整的量子框架内理解这一点，包括大质量物体的量子力学行为。然而，作为起点，我们先考虑质量足够大的极限情形，使得我们可以将其视为经典物体，此时位置 xi为经典数（c 数）。以下是核心思想：中介系统的自由能 A=U−TS将通过耦合项 VSM依赖于质量的位置 )。然后，第 i个质量会感受到一个热力，

在引言中，我们曾提到这种力同时包含热力学和熵成分。更具体地说，从式 (12) 可得中介系统的内能与熵：

因此我们看到，自由能梯度 ∇A同时包含热力学和熵的成分。这与理想气体不同，理想气体中 ∇U=0。

我们关于力的结果——式 (16) ——成立的前提是：质量可被经典处理，并且量子比特处于热平衡状态。若要将式 (16) 视为一条动力学定律，我们必须假设：当物体间距离发生变化时，中介量子比特始终保持热化状态。这就要求大质量物体的运动在某种意义上是绝热的，即其运动速度远慢于系统内热化的特征时间尺度。这类似于理想气体模型中，当活塞壁移动时，气体仍保持热平衡状态的假设；也与文献 [1] 中推导爱因斯坦方程作为物态方程时所采用的近似相同。在第 II C 节中，我们将展示如何通过热浴-中介耦合来实现这一条件。

上述讨论留下了一个开放性问题：如何将这种处理方式推广到完全量子的情形，即质量的位置 x1,2变为算符的情形。利用式 (3) 的完整哈密顿量，我们得到质量的海森堡运动方程：

此处的关键在于，只要质量局域性良好且对中介系统取平均，我们就能在量子海森堡方程中看到相同的热力学力出现。

最后，要推广到 N个质量的情形，有若干可能的方法。最简单的方式是对每一对质量 i,j重复上述构造。具体而言，我们将式 (9) 中的哈密顿量替换为：

这推广了式 (17) 中的二体对应关系。其中仍然只有两个自由参数 T和 L，并受一个方程约束。

这种 N体推广看起来可能相当不简约，因为每一对质量都配备自己的一组（无限多的）量子比特。因此，我们提出另一种方案：仅使用一组量子比特来耦合全部 N个质量。具体写法如下：

B. 局域模型

在上一节中，我们展示了如何通过将质量物体对直接耦合到中介量子比特，从而产生一种涌现的牛顿引力。在此，我们给出另一种构造：每个大质量物体以准局域的方式耦合到一个背景量子比特格点上。

尽管第 II A 节中的非局域模型与本节展示的局域模型在某些元素上是共通的，但它们并非同一模型的两个版本。特别是，不同于通过积分掉光子以获得非局域库仑力的做法，在此处无法通过对局域中介系统积分来恢复第 II A 节形式的有效描述。这两个模型在定性上存在差异，并受到不同的实验约束，我们将在下文讨论。

考虑一个晶格常数为 a的三维晶格。在每个格点 α上，放置一个固定于该位置的量子比特，其粒子数算符仍记为 Nα，如图 3 所示。我们取量子比特的哈密顿量为：

让我们研究自由能中各项的作用。
式 (29) 中的第一项是关于 xi 的常数函数，不会对大质量物体产生任何力。
第二项也是常数：我们有

此处的讨论再次处于质量可被经典处理的极限情形。推广到完全量子的情形遵循第 II A 节非局域模型相同的步骤。特别地，我们仍需以某种方式将中介量子比特与热浴耦合，以确保中介系统状态在足够缓慢的时间尺度上保持热化。我们将在接下来的两节中展示如何实现这一点。

C. 完全微观动力学

在前面几节中，我们展示了如何构造一个中介系统 M以及它与质量体的耦合项 VSM，使得在假设中介系统处于热平衡的前提下，它们能在质量体上产生有效的牛顿引力。接下来需要做的是：明确一种动力学机制，使中介系统在质量体运动时仍能保持热化。

此处出现的林德布拉德（“跃迁”）算符的形式在局域模型与非局域模型中略有不同。我们在此直接给出结果，并在附录 B 中回顾详细的推导过程。

在第 II A 节所述的非局域模型中，林德布拉德算符为

在局域模型中，牛顿项具有类似的形式：

这与标准微扰量子引力截然不同，在后者中，牛顿势能算符是唯一相关项，导致可逆的、幺正的演化定律。因此，本文提出的熵模型与普通的微扰量子引力在可观测上是可以区分的，我们将在下一节讨论这一点。

III. 可观测效应

在过去十年中，人们提出了两类主要的实验方案，用以检验引力场的量子性质［3］。其基本思路是：区分标准微扰量子引力的预言（其中低能引力相互作用由引力子交换介导）与一系列替代理论模型的预言。

其中最为人熟知的一类实验旨在检验引力相互作用是否能在两个大质量物体之间产生量子纠缠［4–10］。虚引力子交换（或等价地，一个相干的牛顿二体势）确实会使质量体之间发生纠缠［3,18］。相比之下，在许多“经典”引力模型中，引力相互作用以经典方式耦合到量子化的物质，这类模型通常预言质量体之间不会产生纠缠［6,34–40］。因此，这类实验可以区分上述两类模型。我们将在下文看到，它们也能在某些熵引力模型的自由参数范围内，将引力子情形与熵引力情形区分开来。

另一类实验最近被提出，其依据在于：所有非引力子机制的模型似乎都会预言某种反常噪声，例如将引力场视为一个随机变量［37–39］。这与标准的、由引力子介导的微扰量子引力形成鲜明对比——如前所述，后者产生的是本质上无噪声的（幺正且可逆的）相互作用。因此，这类实验旨在直接检验引力相互作用的噪声特性［5,11–13］。正如我们前文所述，熵引力模型具有内禀噪声，因此可以通过这些实验进行检验。

本文将分析自旋熵引力模型在这两类实验中的预言。这一分析也使我们能够通过与现有实验结果的对比，对模型中的各种自由参数加以约束，如图5所示。

A. 引力中的噪声

在非局域和局域的熵引力模型中，引力均由一个趋于热化的中介系统产生，因而伴随着热驱动的涨落。然而，这两种模型中噪声的表现形式不同：在非局域模型中，只有当至少存在两个质量体时才会出现噪声；而在局域模型中，即使单个孤立质量体也会受到来自环境中介量子比特的噪声影响。

在式 (38) 所描述的含噪演化下，动量算符 p的动量方差将随时间增长而变得非零：

非局域模型。首先考虑非局域模型，并假设我们有两个初始距离为 d的质量体 m1和 m2，如图 4 左侧面板所示。将式 (45) 中明确给出的噪声算符代入，我们可以轻易求解式 (48)，从而得到方差的线性增长：

为获得该数值，我们取 λ=0，并基于一类测量毫米距离下两个毫克级谐振器间引力的光力学实验［42］对实验参数进行了基准设定。这一水平的噪声在现代超高灵敏度力测量技术下已接近可观测范围。例如，文献［42］中的测量使用了一个扭摆振荡器，它被放置在约1毫米处的一个驱动振荡源质量体旁，两者质量均在毫克量级，且其间设有超导屏蔽层，以确保引力相互作用主导于两质量体之间的电磁相互作用。这是图4左侧面板示意图的一个具体实现。为了确定此类实验中观测到的噪声是否源于引力，而非其他技术性噪声，可以通过改变距离 d和质量 来验证，因为式 (50) 中的引力信号依赖于这些参数的特定组合，这与其他典型噪声源不同。

局域模型。在局域模型中，即使一个孤立的质量体也会感受到来自本地中介量子比特热涨落所产生的噪声背景力。考虑一个孤立的质量体 m。根据式 (48) 并代入式 (47) 中明确给出的林德布拉德算符，该质量体的动量方差将再次随时间线性增长，其表达式为：

B. 空间叠加态的退相干

熵引力中的噪声力的一个推论是：它会导致处于空间叠加态的物体发生退相干。考虑如下形式的密度矩阵元：

在第二行中，我们取了 λ = 0。然而，由于组合项 λ/ℓ² 出现在分母中，我们可以通过选择 λ/ℓ² ≫ 1/d 来降低退相干速率，而不会影响牛顿力的涌现。

方程 (64) 可以与实验结果进行比较，并对自由参数 λ/ℓ² 施加约束。第二行中的数值是基于地球表面原子干涉仪实验得出的，其中原子云的叠加位移可达 δx ≈ 0.5 m [43,44]。未来的实验目标是实现 δx ≳ 100 m [46,47]。现有实验的结果表明，铯原子（m_Cs ~ 133 GeV）能够在约秒量级的时间内保持相干叠加态，因此排除了 Γ_min ≳ 1 Hz 的情况。这已足以完全排除 λ = 0 的模型。我们在图 5 中展示了通用的数值约束。

局域模型。现在考虑局域模型。假设我们有一个单一的大质量物体，处于两个位置的叠加态 |ψ⟩ = (|x⟩ + |x′⟩)/√2。与非局域模型类似，这种叠加态会因该质量与中介量子比特的相互作用而发生退相干。与非局域模型不同的是，无论是否存在其他质量，这种退相干都会发生。

退相干速率可以类似地估算，如同非局域模型一样。从方程 (60) 和 (61) 可知，相关的非对角密度矩阵元将以速率 Γ = Γ₊ + Γ₋ 衰减，其中

此处，我们使用了方程 (47) 中的显式林德布拉德算符，取了通常的连续极限，并假设 x′ = x + δx，且满足 a/δx ≪ 1。

两个项 Γ± 仅通过比值 η = T(1 − σ∗)/γ_th 依赖于模型的自由参数，其关系形式与我们之前所见的倒数关系相同。这意味着当 η = η∗ = 2√2 时，该模型预言存在一个最小退相干速率：

这为可能的 a 值设定了一个下限。我们在此使用了前一节中相同的铯原子干涉仪参数，由此得到一个界限 a ≳ 10⁻²⁷ m。这个界限比从第 III A 节中的异常加热所获得的界限要弱得多，因为此处的噪声 ~1/a，而力噪声 ~1/a³。

C. 质量之间的纠缠产生

最后，考虑图4右侧面板所示的实验，其旨在检验引力相互作用是否能使两个大质量物体发生纠缠[7]。许多该基本测试的替代版本也已被提出[8–10,13]，我们预计此处的结论可以以直接的方式推广到这些设置中。

具体而言，假设我们有两个质量均为 m 的物体，它们自由下落且适当分离，使得它们的相互作用主要由彼此间的引力主导。我们进一步选择一种几何构型，使得 |R⟩₁|L⟩₂ 路径对相比其他三对路径更短。我们还将继续假设，相对于引力相互作用，我们可以忽略动能项 p²/2m。在文献[7]的具体提案中，这种叠加态应通过利用纳米金刚石内部自旋空位上的斯特恩-盖拉赫型效应来制备，该效应将外部磁场耦合到金刚石质心自由度上。

我们将两个质量制备为初始直积态，其形式为

该态是未纠缠的。我们假设各个 |L, R⟩ 态的位置宽度足够窄，以至于它们之间没有重叠，即 ⟨L|R⟩ = 0。问题是，在引力相互作用下的时间演化是否会使该态变为纠缠态。为了量化这一点，考虑可观测量 [7]

其中这些是在赝自旋基矢下的泡利算符，基矢定义为 ∣0⟩:=∣L⟩，∣1⟩:=∣R⟩。该算符被称为纠缠见证（entanglement witness）。可以很容易地证明，只有在纠缠态中才可能出现 ∣⟨W⟩∣>1［48］。因此，如果我们从一个直积态初始化系统，经过含时演化后测量到 ∣⟨W⟩∣>1，那么我们就知道引力相互作用产生了纠缠。

对于两个质量在 ∣L⟩,∣R⟩基矢下的一般密度矩阵，稍作计算即可得到 W的期望值为：

那么问题就在于，在各种引力模型中，这个纠缠见证量如何随时间演化。在图6中，我们展示了在微扰量子引力理论和我们的熵引力模型中，纠缠见证量 ∣⟨W⟩∣随时间变化的行为。

在普通的微扰量子引力理论中，时间演化由纯粹的牛顿势能算符产生，是幺正的，且没有噪声。初始的直积态 ∣ψ(0)⟩会演化为如下形式的纠缠态：

因此，特别是在引力相互作用持续足够长的时间后，有 ∣⟨W⟩∣>1。因此，微扰量子引力理论在可观测上是明确且可证明地能够产生纠缠的。

在我们的熵引力模型中，情况则更为微妙。由于我们处理的是一个由方程 (42) 中林德布拉德演化所支配的开放系统，初始态 ∣ψ(0)⟩现在会演化为一个混合态 ρ(Δt)。原则上，这个混合态仍可能具有纠缠性。特别是，方程 (42) 中的有效牛顿相互作用可以像通常意义下那样产生纠缠。问题是，噪声项在多大程度上破坏了这种纠缠。

非局域模型：在非局域模型中，编码纠缠的相同密度矩阵元也会发生退相干。纠缠产生的速率与微扰引力计算中的结果相同，因为它由相同的势能算符控制；而退相干速率已在第三节 B 中计算过。将这两者结合起来，我们得到

非局域模型中明确的退相干速率 Γ 如上文方程 (63) 所给出。第二行指数中的系数 4 是几何因子；参见图 4。综合起来，这给出了纠缠见证量的演化：

我们看到纠缠效应与退相干效应之间的竞争。这种竞争是可调节的，因为纠缠与自由参数 λ 无关，而当 λT² → ∞ 时，退相干 Γ → 0。在图6中，我们看到当 λ = 0 时，没有可观测的纠缠量；而当 λ 足够大时，退相干可以被完全消除，模型变得与标准微扰引力无法区分。如果我们采用与当前原子干涉仪实验一致的最小值 (λT²)ₘᵢₙ ~ 10⁻¹⁴ J（如图5所示），则退相干可忽略不计。

局域模型：在局域模型中，方程 (69) 中出现的所有项都会演化。原因是此时退相干是局域的，因此即使像 |LL⟩⟨RR| 这样的密度矩阵元也会发生退相干，尽管并未产生引力相位。一般而言，密度矩阵元按如下方式演化：

在叠加尺度远小于晶格尺度及平均间距的极限下，这些退相干速率由方程 (65) 给出。当叠加尺度或晶格尺度与两质量之间的距离 d相当时，表达式会变得更加复杂。由于文献 [7] 中所提出的实验方案原则上属于后一种情形，我们将完整的表达式记录在附录 D 中。

在图 6 中，我们绘制了局域模型下的 ∣⟨W⟩∣。即使采用与第三节 A 中反常加热限制相一致的最小退相干速率，我们仍发现局域模型中的退相干显著地将纠缠见证量压制到纠缠阈值以下。因此，若在此类实验中观测到引力诱导的纠缠，将完全排除局域自旋熵引力模型所剩余的全部参数空间。

IV. 展望

我们在可及长度尺度上观测到的引力相互作用，原则上可能以多种方式从普朗克尺度（ρ ~ mₚₗ / ℓₚₗ³ ~ 10¹⁰⁴ J/cm³）的物理中涌现。或许最简单的一种方式是将引力扰动量子化为引力子，即如同自然界中其他基本力的规范玻色子一样，作为一种新的量子场论。这是一种非常优秀的有效量子场论；原则上没有任何理由迫使我们放弃这一图景，除非能量接近普朗克尺度 [50–52]。然而，考虑替代性的可能性是有趣的，特别是考虑到我们或许能够通过实验对这些可能性加以约束。

本文中，我们提出了一种现象学模型，其中引力作为由多体系统介导的熵效应而涌现，该模型建立在文献 [1,2] 的开创性思想基础之上。这一图景在本体论上与简单的引力子场景截然不同，并且至少对于定义模型的自由参数的某些取值，其预测也完全不同。然而，我们也发现，对于某些自由参数值（例如，在第二节 A 的非局域模型中 λ → ∞），这种熵相互作用也能重现普通虚引力子交换的预测，至少在本文所研究的非相对论极限下如此。理解 λ 是否存在某个根本性的上限将非常有趣，但我们尚未能确定这一点。

虽然我们为了具体化而提出了一套基于热化自旋的特定模型，但我们预期本文所发现的定性现象学可以推广到更广泛的“熵”引力模型类别中。特别地，此处的核心思想是：如果一个相互作用是由某个热中介系统产生的，那么它就应当产生可观测的力的热涨落。

这一结论似乎具有相当普遍的适用性；例如，它既适用于正文中的基于量子比特的模型，也适用于附录 A 中用振荡器取代量子比特的模型。特别地，即使在第二节 B 的局域自旋模型的特殊点处——此时力纯粹是熵性的且没有内部能量变化——我们仍然会发现此类涨落。更一般地，许多结果已表明，不产生纠缠的引力模型具有最小水平的噪声 [5,53,54]，因此很自然地可以预期，像我们这样的熵相互作用模型（会产生某种程度的纠缠），同样必须产生某种最小量的噪声。当然，全面厘清这些结论的普适性是一个关键的开放问题，尤其是在相对论背景下。

本文中，我们聚焦于具有严格热力学极限的模型，并且在近似热平衡得以维持、质量缓慢运动的参数区域进行研究。考虑对这些极限的修正将非常有趣，例如，采用有限维的中介系统，或考察远离平衡态制备的初态。这或许有助于阐明 Jacobson 关于“非平衡时空”的概念 [1]。尽管对该主题的全面探索仍需留待未来工作，但我们强调，第三节的结果提供了一个具体的分析框架，用于研究如何通过将源质量置于空间叠加态来制备处于非热平衡状态的时空。

在所有旨在产生区别于标准引力子物理可观测量的模型（[34–40]）中，本文提出的模型具有一项显著优势：它服从量子力学的通常规则——微观尺度上的幺正性本质上是成立的，态的演化是线性的，且不存在基本的经典随机变量。特别地，人们应当能够使用标准工具研究该模型中的重整化，我们将此留待未来工作。

前进的方向是明确的。其一是消除热库的累赘，即用某种更简单的自热化系统取代热化中介和热浴。其二是寻找本文所提构造的相对论版本。第三点，也是迄今为止最重要的，是继续推进这些场景的实验检验。

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/y7sy-3by1