哥德尔：世界的意义在于事与愿违

作者刘丽曼 原载《科学时报》2008

库尔特·哥德尔，美籍捷克人，于1906年4月28日出生于布尔诺。其父鲁道夫·哥德尔从事纺织业，由于其出色的能力，最后成为雷德利希大工厂的股东和经理。其母玛丽安娜多才多艺，温柔善良。库尔特在一个富裕且家庭关系极其融洽的家庭长大。虽然他从小并没有表现出天赋异禀，但却酷爱读书，并且对知识的吸收能力强。

6岁时，他在布尔诺新教徒的私立学校上小学；10岁时，他就读于以德语授课的国立中学。该中学以现代语言和自然科学见长。在上小学和中学期间，库尔特学习极其用功，每门课程都取得了很好的成绩，并且对语言、历史和数学表现出极大的兴趣。18岁时，他进入维也纳大学攻读理论物理学位，在学期间受到数学教师哈恩和门格尔的影响转攻数学。在上大学期间，他加入由众多哲学家、数学家和科学家组成的维也纳小组，并且深受维特根斯坦思想的影响。1930年他获得博士学位，其博士论文证明了“狭谓词演算的有效公式皆可证”。之后在维也纳大学工作。

1931年，25岁时，他发表了著名的学术论文“《〈数学原理〉（指怀德海和罗素所著的书）及有关系统中的形式不可判定命题》”。在该论文中他证明了形式数论（即算术逻辑）系统的「不完全性定理」：即把初等数论形式化之后，在这个形式的演绎系统中也总可以找出一个合理的命题来，在该系统中既无法证明它为真，也无法证明它为假。

1938年，他受到邀请到美国普林斯顿高等研究院任职，由于种种原因，直到1953年，他才成为教授。在这期间，也就是1948年，他在爱因斯坦等人的见证下加入了美国国籍。最后，他因绝食，于1978年1月14日溘然长逝。

哥德尔虽然远去，但他的思想与学术成果却经久不衰，深刻地改变了整个科学界，并且迫使人们思考什么是理性思维的界限？他所提出的不完全定理，不仅使数学发生了革命性的变化；而且对哲学、计算机科学以及语言学产生了深刻的影响，并且激发了从神经网络到计算机理论的发现和创新浪潮。

哥德尔的逻辑人生

哥德尔思想的博大精深，“恰是远在天边的一处幽秘风景，虽令人心弛神往却难以身临其境”；所以，要领略那一处风景，“实在得有一种能够顾盼几个世纪的历史眼光才行”。

人们对于爱因斯坦并不陌生，但对于被他视为知己的普林斯顿高等研究院的同事哥德尔却不甚了解。哥德尔无疑是一位智慧巨人，美国《时代》杂志评选出对20世纪思想产生重大影响的100人中，哥德尔列为第四。他的不完全性定理不仅使数学发生革命性的变化，而且改变了整个科学世界和建筑于此定理之上的哲学，还波及语言学、计算机科学、宇宙学，甚至包括法律上的“无罪推定”。对于人类来说，不了解哥德尔就不了解人类已达到的智力水平与人类智力奋斗的历程，也就无法了解我们这个世界在思想观念上已经发生或正在发生的深刻变化。

哥德尔被认为是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。哥德尔定理粉碎了逻辑最终将使我们理解整个世界的梦想，同时也引发了许多富有挑战性的问题：什么是理性思维的界限？我们能够完全理解我们自己造的机器吗？我们能够搞清楚我们心智的内在工作过程吗？当对他们的研究结果缺乏逻辑的确定性时，数学家还怎么继续工作？从逻辑的发展去理解哥德尔是一种适当的方式，因此，《逻辑人生》也是对他一生的一个恰如其分的概括。

自古以来，人类一直在给知识的确定性寻找一个坚实的基础。从亚里士多德使逻辑学成为一个专门的学科开始，甚至哲学上无休止的争论也是源于对我们的知识是否有确定性以及这种确定性的来源的争论。但逻辑学家、数学家与哲学家不同，他们不满足于仅仅给知识的确定性一个形而上学的解释，他们希望用逻辑与数学为人类的知识建立一个严格的、自满自足的、与形而上学无关的基础。科学家们一直坚信，总有一个完备的公理化系统，任何命题在其中或被证明为真、或被证明为伪。有了这样一个一劳永逸的系统，任何知识都可以被证明、被推导或者被确认。

1930年初，信心满满的希尔伯特在自己的出生地哥尼斯堡接受“荣誉市民”的演说时还乐观地说：“我们必须知道，我们必将知道。”但同样在1930年秋于哥尼斯堡举行的科学哲学讨论会上，年方25岁的哥德尔在会议即将结束时宣布了那个革命性的发现——不完全性定理。简单说就是在一个稍微复杂（例如包含算术中的加法和乘法）的形式系统中，存在一些命题，我们既不能证明它是真的，也不能证明它是假的。换言之，一个定理的真假和它的可证性不是一回事。这与我们对数学的传统观念大不相同。

过去对于数学中的一个问题，我们怎样确定说它被解决了呢？要么你给出一个证明，要么你给出一个反例说明这个定理不成立。这两种情形不论哪种都可以使问题得到解决。但这个不完全性定理却大大颠覆了人们对传统数学的观念，打碎了无数人的美梦，数学的“灾难”因此降临了。对此，数学家外尔哀叹道：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性”。

如日中天的哥德尔此后把大部分的精力转移到了哲学思考上面。伟大的科学家成了独步一时的哲学家，是一个既入世又遁世、既雄心勃勃又固执己见的矛盾体。在走向生命终点的最后旅途中，哥德尔越来越多地崇尚某种神秘主义色彩。在他的哲学手稿中留下了这样一句话：世界的意义就在于事实与愿望的分离，即事与愿违。他生命的最后几年，因为妄想人们要毒死他而不吃饭，最终在1971年7月14日因营养不良和身体机能衰竭在美国普林斯顿医院去世。理性的逻辑学家最终却走向了它的对立面。

显然，哥德尔的科学、哲学和生活3个方面紧密地联系在了一起。正如著名的华裔逻辑学家王浩所言，“哥德尔的事迹发人深省，其意境超乎学院天地”，实在是一个值得了解的人物。

哥德尔是幸运的，尽管他是一个孤僻的遁世者、偏执狂和抑郁症患者，但赏识他的仍不乏其人。对于爱因斯坦来说，在普林斯顿高等研究院的日子，最重要的并不是科学研究，而是陪哥德尔散步回家，他们谈论哲学、物理学和政治，“彼此知心得不得了，彼此赏识得不得了”；爱因斯坦赞扬哥德尔是“自亚里士多德以来比任何人都有力地动摇了逻辑基础”的人。

著名经济学家摩根施特恩说“他确实是自莱布尼茨以来，或者说是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。”王浩称哥德尔定理的奠基性贡献“好比弗洛依德的心理学、爱因斯坦的相对论、玻尔的互补性原理、海森堡的测不准原理、凯恩斯的经济学和DNA的双螺旋”。

2002年8月17日，英国著名科学家霍金在北京国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，他说，建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的。这一推测正是基于数学领域的哥德尔不完全性定理。其实，这只是哥德尔思想的巨大冰山的一角，要更深入地认识、理解它，还需要更多的时间与更高的智识。