集智科学家尤亦庄追忆杨振宁先生: 如何界定粒子的全同性?

导语

本文为集智社区科学家尤亦庄在知乎平台上应邀回答“你离物理学家杨振宁最近的一刻是什么时候？对于杨振宁先生你有哪些记忆？”问题所作，并以此感恩和缅怀杨振宁先生。

原文链接：https://www.zhihu.com/question/1962878330744301334/answer/1963973629483161077?share_code=JoHeCJ0PJYl3&utm_psn=1964968671395938662

尤亦庄丨作者

15年前与先生合作的文章

十五年前，我曾在杨先生的指导下解过几个方程，成果发表于《中国物理学快报》。那是我离先生最近的一段时光。能蒙先生提点，实为晚辈之幸。如今先生已驾鹤西去，音容笑貌，仍历历在目。愿在今后的科研道路上，谨记先生教诲，笃志前行，不负期望，以学术之进步告慰先生在天之灵。

借此机会简要介绍一下杨先生和我的这篇工作。这篇文章试图回答一个有趣的问题：粒子的全同性应如何界定。费曼在讲义里写道：

By identical particles we mean things like electrons which can in no way be distinguished one from another.

我们无法分辨处于同一空间中的两个电子——虽然两个电子可能处于不同的空间坐标，但仍被视为全同费米子而不可区分。但有小伙伴要问了：那么电子除了坐标，还有自旋这个内禀自由度。坐标不同的电子是全同的，那么自旋不同的电子是否仍算全同？进一步地，质子和中子虽然带有不同电荷或同位旋，它们能否被视为全同费米子？如此推论下去，是否意味着所有费米子在本质上都可以看作全同？那么全同性的意义究竟何在？初学量子力学的我，曾经被这个问题深深困扰。

何谓“相同”，何谓“不同”？如何从物理而非哲学的角度界定？

全同性的物理意义在于：全同费米子因泡利不相容原理而不能占据同一量子态，从而在空间中体现出一种排斥效应。这种排斥在宏观上表现为简并压——即费米气体即使在零温下也对外施加压力。将 N 个全同费米子置于容器中，容器壁将感受到这种简并压，其大小可定量计算：在一维系统中，简并压与费米子密度的三次方成正比。

如果这些费米子并非完全相同，而是可以分为w类可区分的组分，则在总密度不变的情况下，每类的简并压按密度的三次方减少，体系的总体简并压随之下降。换言之，简并压的大小反映了粒子“全同性”的程度：内禀可区分分量越多（即全同性越低），简并压越小。当分类数w w → ∞ " role="presentation"> → ∞ 时，全同性丧失殆尽，费米子体系的简并压会完全消失，表现得如同玻色子体系一般。本文的主要结果是，通过具体计算验证，这一结论在一维相互作用费米子系统中普遍成立。这说明了，费米子的全同性可通过体系的简并压体现出来，并被实验观测验证，而不仅仅是哲学上的思辨。

也正是在这段研究中，我第一次深切体会到，物理学之美不在于抽象推演，而在于让思想落地于可验证的现象。杨先生常以严谨的态度提醒我：真正的物理问题，必须能在自然中留下印记。这样的影响，至今仍塑造着我对研究的品味与方向。

能得杨先生指导的那段时光，既是幸运，也是挑战。

幸运的是，我们的合作源于一次美丽的巧合。那时，杨先生重新拾起四十年前就思考过的这个问题，想用 Mathematica 数值求解当年列出的方程——或许是当年计算资源有限，未能深入。当时我刚入学，还没有明确的课题，便被安排去协助杨先生。先生向我展示了那些方程，我当场用 Mathematica 演算出了解，先生看后颇为满意，笑着说：“那不如就由你来继续这些数值研究吧。”于是，这段意外而珍贵的合作就这样开始了。

挑战在于，杨先生的思维之深、眼界之广，让我必须全力以赴才能勉强跟上。文章中有一个关键定理是由先生亲自证明的。为了让我得到锻炼，他并没有直接告诉我证明，而是鼓励我自己去思考。经过整整一夜的推敲，我终于找到一个自以为完美的证明，兴奋地写信向先生汇报。第二天，先生回信道：“你的思路正确，不过这里有个小漏洞……我猜到你会在这里栽跟头，所以已经写好了补法，你拿去看看。”那一刻，我真切地感受到大师的卓识远虑与深厚功力，也感念他对后辈那种循循善诱又亲力亲为的教导。

回望往事，既倍感荣幸，又深怀思念。先生的学识与风范，如灯塔般照亮了我科研的方向；他的严谨与慈和，将永远留存在记忆中，化作我继续前行的不竭力量。

附录：杨振宁先生部分手迹文稿选页

附1：杨振宁先生手书信件，嘱咐论文符号修改与数值计算任务（字迹较黑部分为我后加注之笔记）。

附2：杨振宁先生亲笔推导笔记。先生亲自讲解能量密度展开及无量纲化处理的数学推演。字里行间足见先生思路之清晰，亦体现他欲言传身教之思想方法----取近似之法窥物理精微，于极限之中见规律本然。

附3：杨振宁先生亲笔推导笔记（续）。

附4：杨振宁先生在清华大学作报告，介绍我们合作完成的研究成果——关于一维 k 组分费米子与玻色子体系在 N 趋于无穷时的理论极限。图为报告幻灯片首页。

加大圣迭戈分校：量子力学

2022年诺贝尔物理学奖授予了关于量子信息科学的基础性研究。一百多年前，量子革命为我们带来了晶体管和激光，今天，操作纠缠粒子的技术正在让我们进入一个新的量子信息时代。集智俱乐部长期关注量子科学及其在前沿交叉领域的应用，包括量子力学与机器学习、量子生物学、量子因果、量子金融等，并沉淀了一系列相关主题的文章和学习资料，参见 “ ”与“ ” 。欢迎感兴趣的朋友和我们一起探索！

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