《人类科学技术史-085》阿波罗尼乌斯与《圆锥曲线》

阿波罗尼乌斯与《圆锥曲线》

阿波罗尼乌斯(约公元前262～前190)是与欧几里得、阿基米德齐名的大数学家，他们三人被称为亚历山大前期的数学三大家。阿波罗尼乌斯在青年时代曾跟欧几里得的门人学习过几何学，以后就留在亚历山大城与当地的数学家们合作研究，使他成名的工作是他关于圆锥曲线理论方面的建树。在阿波罗尼乌斯之前，很早就有人研究圆锥曲线了，欧几里得和阿基米德也都写过这方面的书。但是，阿波罗尼乌斯还是做出了他独特的贡献。由于他曾接受过欧几里得几何学的训练，因此他按照欧几里得的方法和精神写出了经典之作《圆锥曲线》。在这本书中，他综合前人的成就，去粗取精，并加进了自己独到的创见材料，使圆锥曲线理论系统化。后人对此给予了高度评价，"除了综合前人的成就之外，还含有非常独到的创见材料，而且写得巧妙灵活，组织得很出色。按成就来说，它是这样一个巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的登峰造极之作。"

《圆锥曲线》一书的内容分为8篇，共计有487个命题，可惜的是第8篇已经失传。

第1篇给出了圆锥曲线的定义并讨论了它的性质。阿波罗尼乌斯推广了梅奈克莫斯的方法，第一个依据同一个圆锥的不同截面，分别研究了椭圆、抛物线和双曲线。在他之前，梅奈克莫斯等人是分别以三种不同的圆锥，即锐角圆锥、直角圆锥和钝角圆锥的同一截面，来发现和研究圆锥曲线的。椭圆(原名亏曲线）、抛物线(原名齐曲线）和双曲线(原名超曲线）的名称就是阿波罗尼乌斯引入的，取代了梅奈克莫斯的锐角圆锥曲线、直圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称，他还是第一个发现双曲线有两支的人。在阿波罗尼乌斯研究这些圆锥曲线的性质时，他还引入了共轭直径的概念。考察椭圆中与FG平行的一组弦，这些弦的中点都在一直线AB上，AB则被称圆锥曲线的直径。阿波罗尼乌斯证明了若过AB的中点C作直线DE平行于FG，则DE将平分所有平行于AB的弦，DE就叫做AB的共轭直径。对双曲线，AB的共轭直径DE被定义为AB与双曲线的正焦弦的比例中项，它与双曲线并不相交，如对抛物线，由于它的任一直径总是平行于对称轴，而平行于直径的每根弦都是无限长，因此，抛物线没有共轭直径。阿波罗尼乌斯通过直径及共轭直径来描述圆锥曲线的一些性质，可以认为这里已含有坐标的思想萌芽。

第2篇首先描述了双曲线渐近线的性质，阿波罗尼乌斯不仅指出双曲线渐近线的存在，而且还指出在定的长度。在这一篇，阿波罗尼乌斯还说明了如何求圆锥曲线的直径以及有心圆锥曲线的中心和轴的方法。最后，阿波罗尼乌斯给出了怎样做满足给定条件的圆锥曲线的切线。

第3篇首先论述了关于圆锥曲线的切线与直径所成图的面积定理，接着又论述了极点和极线的所谓调和性质。但这一篇没有讲到抛物线的焦点，也没有讲到圆锥曲线的焦点一准线的性质。据说，欧几里得已经知道这些知识。

第4篇讲述了极线的其他性质，还讨论了圆锥曲线相交的问题。

第5篇论述了从一特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线。阿波罗尼乌斯先以有心圆椎曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点为例，作出这些点到曲线的最大距离与最小距离。然后他又证明了，如果O是圆锥曲线内的任一点，OP是由O到圆锥曲线的极大距离或极小距离，则在P处垂直于OP的直线是P点的切线；又如O′是圆锥曲线外OP延长线上的任一点，则O′P是从O′到圆锥曲线的极小线。这些极小线或极大线就是现今所说的法线。在这一篇里，阿波罗尼乌斯还考察了任一圆锥曲线的法线性质以及相关的作图和计算。第5篇被看作是阿波罗尼乌斯的刻意之作，是全书最富独创性的部分。

第6篇讲述全等圆锥曲线、相似圆锥曲线以及圆锥曲线弓形的问题。

第7篇讲述有心圆锥曲线两共轭直径的性质，并将这些性质和轴的相应性质加以比较。

阿波罗尼乌斯对圆锥曲线的创造性研究及理论的系统化工作是极有价值的，特别是对后来天文学、力学的发展起到了积极的作用。对此，英国科学家贝尔纳高度评价道："他的工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。"

阿波罗尼乌斯除了《圆锥曲线》这部巨著之外，还有其它一些数学著作。其中二本书中，各有一个对后世有较大影响的问题。一个是在《论切触》这本书中，阿波罗尼乌斯讨论了作一个圆与三个给定圆相切的问题，这在当时算是一个比较难的问题，以致成为一道历史名题，称之为"阿波罗尼乌斯问题"。这个问题引起许多数学家的注意，像韦达、欧拉和牛顿这样著名的数学家都给出过这个问题的解。另一个是在《平面轨迹》这本书中，阿波罗尼乌斯给了一个定理："如果A和B是两个固定点，K是一个给定的常数，则使AP／BP＝K的点P的轨迹是一个圆(如果K≠1)或是一条直线(如果K＝1)。这个定理中的圆，在有些教科书中被称为"阿波罗尼乌斯圆"。

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