读懂杨振宁先生的学术贡献，是物理学工作者的修行

杨振宁先生的辞世，物理学界深感悲痛。作为深受杨先生学术思想熏陶的物理学者，本文作者吴从军教授介绍了他在西湖大学开设《杨振宁先生代表作导读》课程的经历与心得；并结合自身学习与研究经历，着重回顾了杨先生广阔研究领域中关于对称性原理和四元数理论方面对其的深刻影响，以此向这位科学巨匠缅怀致敬。
撰文 | 吴从军（西湖大学物理系讲席教授）

惊闻杨振宁先生辞世，心中深感沉重与哀伤。对我们这一代物理学研究者而言，杨先生的影响深远而持久。许多人选择将物理学作为毕生志业，正是受到他那一系列里程碑式成就的感召。

杨振宁先生与李政道先生共同做出的“弱相互作用中宇称不守恒”的工作，从根本上改变了人类对自然基本对称性的理解；他所建立的杨—米尔斯（Yang-Mills）规范场论，为描述基本粒子相互作用奠定了坚实的数学基础；杨—巴克斯特（Yang-Baxter）方程在数学与物理的多个领域持续绽放光彩；而他在磁单极规范理论方面的开创性工作，更为今日拓扑物态的研究照亮了前行的方向。

遗憾的是，我个人与杨先生的直接交流很少。所幸我的博士导师张首晟教授深受杨先生学术思想的熏陶，这份影响薪火相传，也塑造了我的学术视野与研究品味。在此，我愿结合自己的学习与研究经历，回顾一些与杨先生学术思想相关的片段。

一
《杨振宁先生代表作导读》

杨振宁先生的研究领域极为广阔，涵盖高能物理、数学物理、统计物理、凝聚态物理等多个方向。凡是认真研读过他代表作的人，无不为其深厚的学术功力所折服。杨先生的文章往往写得极为精炼，正如他本人评价狄拉克文章风格时所说的那样——“秋水文章不染尘”。然而，欣赏物理学之美的门槛并不低。他的论文不仅对学生而言难度很高，即便是经验丰富的研究者，要把握其精髓也绝非易事。

与许多业余爱好者的想象不同，职业物理学家的日常更多是艰辛与耐心。虽然偶尔也会有“坐而论道”的超然，但那并非常态。研读经典文献的第一步，是克服技术层面的障碍——即能复现文中的推导与计算。否则，再深刻的物理思想也只能是镜花水月。计算的细节在原文中通常被高度压缩，而补全这些细节，恰恰是培养扎实学风、打好研究基础的关键。

我加入西湖大学后，参与物理系的创建。在科研与教学过程中，深切感受到提高学生理论基础的迫切性。除了关注当下的研究热点，我更希望他们能花时间咀嚼经典文献。杨先生的代表性工作兼具深度与广度，且已历经时间的检验。因此，我认为带领他们系统地研读这些著作，是非常值得投入心力的。

自2023年底至2024年8月，我在西湖大学以每隔两到三周一次的频率，利用晚上两到三个小时的时间，围绕一个主题展开讲解。部分难度较高的内容，则分两次讲授。杨先生代表作的精炼程度之高，有时近乎“压缩饼干”。而我的讲解，则试图为大家添上一壶“清茶”，帮助咀嚼吸收，并体味其深意。

对于数学和物理教学而言，还是写黑板的传统方式往往更能让人专注于思考本身。在世界知名大学和研究所中，一个共同的特点是黑板随处可见，老师和学生们拿着粉笔在一起讨论切磋。只有当用沾满粉笔灰的手，把论证和运算过程一笔一笔地写清楚时，才能算是真正理解。

图1. 《杨振宁先生代表作导读》两讲的提纲：η配对和磁单极。参考文献和笔记在本人网页中
https://wucj.lab.westlake.edu.cn/teach/CNYang/CNYang.html

对我个人而言，这不啻为一种挑战，也是一次修行。尽管在读书和研究的过程中，我已经研读过杨先生部分代表作，但主要是和本人研究方向密切相关的那些。我尚未达到通读其大部分代表作的程度。局外人或许会误以为“导读课”是一种高级科普，但内行人都清楚，要理解杨先生的文章，不仅需要具备扎实的研究经验，更需投入大量心血进行系统梳理与阐释——其工作量远超准备一门常规课程。当时我的本职工作已经非常繁忙，准备《杨振宁先生代表作导读》需要挤出时间来完成，甚至占用了大量的休息时间，而且这些是不计入我的教学研究任务量的。

在课程进行中间，也有很多让我感到宽慰的时刻，尤其是在得到朋友们鼓励的时候，让我觉得心血没有白费。例如上海交通大学的蔡子教授，他几乎听了我所有的讲解。他曾是我在加州大学圣迭戈分校任教时的博士后。他说这是我能为中国物理界做的最好的贡献之一，比发顶刊更为重要。他回忆他的学生时代，很多同学也想钻研类似于杨先生代表作这样的经典，往往努力了很长的时间也不得要领。我的讲解对有志于物理研究的年轻人来说，是很及时的。

《杨振宁先生代表作导读》一共进行了12次讲授（编注：在“返朴”视频号里搜索合集《杨振宁代表工作导读》可查看这12讲视频），其中一次关于量子力学创立的内容与杨先生工作无关，属于“编外”，其余11讲覆盖了杨先生学术成果中的8个主题：

1. η配对；

2. 硬核玻色气；

3. 非对角长程序；

4. 李—杨相变定理；

5. 弱作用中的宇称不守恒；

6. 磁单极和磁单极球谐函数（两讲）；

7.杨—米尔斯规范场（两讲）；

8.杨—巴克斯特方程（两讲）。

其中第1个主题包括一部分杨先生和张首晟老师的合作；第2个主题是他和李政道、黄克孙两位前辈的合作；第4个和第5个主题是他和李政道先生的合作；第6个主题是他和吴大峻先生的合作；第7个主题是他和米尔斯的合作。

这一系列选题涵盖了凝聚态物理、统计物理、数学物理与高能物理等领域，基本反映了杨先生研究的广度与深度。限于个人学识，准备这些内容已让我感到颇为吃力。我对粒子物理了解有限，所以除宇称不守恒外，并未选取杨先生在该领域的其他工作。

此外，杨先生还有一些经典成果，如伊辛模型自发磁化临界指数1/8的计算、自对偶规范场、热力学Bethe Ansatz等。对于这些主题，我尚未掌握，因此也未将其纳入课程。我计划在未来继续深入学习杨先生的这些工作，并希望能够在后续的讲授中补充进来。

二
对称性

在杨振宁先生的诸多贡献中，对称性原理始终是贯穿其间的一条主线，这也成为他独特的风格。在我读博士学位期间，导师张首晟教授引导我学会欣赏对称性原理所蕴含的深邃美感。如今，对称性原理及其在凝聚态物理与冷原子物理中的应用，已成为我主要的研究方向。

杨先生的“η配对”的工作，是体现对称性的优美和力量的很好的例子，对我的研究有直接的启发和影响。在杨先生的成果中，这个工作不算突出，但它对凝聚态物理的影响是很大的。它是杨先生和张首晟老师在高温超导机理研究的大背景下开展的，很直观也易于理解。因此，我将其选作《杨振宁先生代表作导读》第1讲。

这项工作创造性地指出：凝聚态物理中的两种常见物态——电荷密度波态与超导态，可以通过对称性将它们统一起来。超导序参量取复数值，相当于2个分量，加上电荷密度波的1个分量，在这3个分量之间转换的对称性，称为SO(3)，可以由η配对的算符生成。电荷密度波态是绝缘性的，和超导态在表观上截然不同，很难想象它们可以通过对称性来彼此对应。然而，杨先生与张首晟老师敏锐地抓住了二者之间的内在联系。

运用对称性来统一表观上不同的物理现象，是物理学的核心主题之一。在高能粒子物理中，这一思维方式取得了丰硕的成果，电弱统一理论正是其中的典范。杨先生与张首晟教授的这项工作，正是将这一思想引入凝聚态物理的一次重要尝试。

图2. 我为杨先生百岁寿辰所写的文章的摘要。该文收集在A Festschrift in Honor of the C N Yang Centenary, Scientific Papers一书中。

张首晟老师将η配对的思想，继续在铜氧化物高温超导领域进行发展。他试图把反铁磁（自旋密度波）态和超导态统一起来，因为它们是相图中最稳定的两种物态。反铁磁序有3个分量，加上超导复数序参量的2个分量，一共是5个分量，所以该理论被称为高温超导的SO(5)理论。铜氧化物高温超导体的中子散射实验中，经常出现非弹性散射的共振峰。这些共振峰可以很自然地被解释成从超导态出发转换成反铁磁态而产生的自旋共振态，行话叫赝古德斯通模（pseudo-Goldstone mode）。高温超导的SO(5)理论取得了一定的成功，虽然这个对称性并不严格，仍不失为一个好的唯象理论。

近年来，胡江平师兄提出在铁基高温超导体中由于其独特的对称性，η配对可以很自然地被实现，目前已经有不少铁基超导的实验发现了支持η配对的证据。这为杨先生η配对的思想划上了精彩的一笔。

在我读博士期间，超冷原子领域发展迅速，对光晶格中费米原子物态的研究方兴未艾。费米原子的自旋F（更准确地应该称之为超精细自旋），是电子自旋、电子轨道角动量、核自旋等的总和，因此费米原子的自旋可以很大。一般认为，在凝聚态体系中，自旋越大，其量子涨落会越发被压制。

我从2003年起开始研究大自旋费米原子系统的独特性质，这是我博士阶段的主要工作之一。我们发现该系统中的量子涨落恰恰是非常强烈的。在杨先生和张老师的工作的启发下，我们认为对该系统的研究，应该采用高对称性而不是大自旋的观点，包括SU(N)、Sp(N)，以及SO(N)等。

这些高对称性通常是在高能物理的范围内研究的。有趣的是，尽管在能标上面存在着巨大的不同，我们的研究展现了超冷费米原子和高能物理在对称性层面上可能存在联系。该方向在2010年以后得到了广泛的关注，尤其是实验上的发展很快，已经成为超冷原子领域的重点研究方向之一。

特别地，我们把杨先生关于η配对的SO(3)对称性做了很大的扩充。我们在超导序的2分量和反铁磁自旋四极矩序的5个分量之间，设计了SO(7)群将其统一起来。此外，SO(7)的伴随表示是21维的，还可以用来统一自旋五重态超导、电荷密度波、反铁磁，以及反铁磁自旋八级矩等众多的序参量。值得一提的是，这样的高对称性可以在自旋3/2的非相对论费米子模型系统中，被严格地构造出来。

在杨先生百岁寿辰时，应朱邦芬老师的邀请，我写了篇在凝聚态物理中对称性原理的综述，其中一部分就是从高对称性来研究超冷原子物理。这篇文章被收录在A Festschrift in Honor of the C N Yang Centenary, Scientific Papers一书中。我在《杨振宁先生代表作导读》中也提到了η配对的SO(7)推广，以此向杨先生致敬。

三
四元数

杨振宁先生除了众多经典工作以外，也有一些并不成功的尝试。例如，他和李政道先生曾经尝试去建立一套超越通常理论的四元数理论，而不是仅仅把已有的物理理论用四元数进行重新表述。

在Selected Papers (1945-1980) with Commentary一书中，杨先生回顾道：“1954至1955年间，我们未能成功，……在后续岁月中又多次尝试，我也未能实现这一目标。然而，我相信这个基本方向是正确的……。我们一再认识到，自然在基本层面上从不随意行事。……四元数代数本身是一种优美的数学结构。……她怎会拒绝使用这唯一另存的完美代数体系，来构建宇宙间所有复杂对称性的根基呢？”（根据英文原文翻译。）

杨先生对四元数的热情，对我的研究产生了深刻的影响。

我来介绍一下背景。量子霍尔效应是拓扑物理的研究焦点之一，其中电子在磁场下的运动由朗道能级来描写。相应的波函数简单优美，具有复解析性，对构造分数量子霍尔效应的研究起到了关键作用。胡江平师兄和张首晟老师在2001年把朗道能级推广到4维紧致球面上，这个工作开启了拓扑绝缘体研究的先河。他们所依据的数学基础正是杨先生和吴大峻先生的SU(2)规范场磁单极的工作。
我在加州大学圣迭戈分校任教的时候，发现可以通过简单的简谐振子，再加上自旋轨道耦合，就可以把朗道能级推广到三维甚至更高维的平直空间。在和吴咏时老师的一次讨论中，他建议我们思考一下四元数和这个工作可能的关系。由此，我找到了杨先生前面的那些话。在和孔良老师的一次讨论中，孔老师介绍了一篇重要的四元数文献。

我和学生重新审视了我们构造的三维朗道能级波函数，并和二维的情况做了类比。复解析性，用物理的语言来说，就是手征性。手征性由磁场来进行选择，因为电子在磁场中只能绕着一个方向打转。朗道能级的非平庸拓扑由此而生，但是复解析性仅适用于二维。手征性在高维的对应是螺旋性，而螺旋性由自旋轨道耦合选择。我们领悟到，三维朗道能级的波函数，可以被映射到陀螺的位形空间上的非平庸结构。陀螺的位形空间是SU(2)群空间，正好等价于四元数空间。由此，我们证明了三维（或者四维）的朗道能级具有四元数函数的解析性，其闵可夫斯基形式对应于表面态的螺旋狄拉克方程，或者外尔方程。这样就非常简洁地建立了体态和表面态之间的对应。

在文章发表之后，我发送给了杨先生，在电子邮件中说明四元数函数的解析性对于高维拓扑态研究的潜力。杨先生的回信饱含鼓励。我和杨先生之间的直接交流仅限于此。

因为四元数的代数结构不对易，我在后续研究中遇到了很多困难。尽管如此，杨先生的鼓励始终是我在该方向上继续探索的动力。希望以后能有好的结果向杨先生致敬。

四
结语

杨振宁先生曾说，他一生最重要的贡献，或许是让中国人收获了这样一种心理上的自信——我们同样能够做出世界一流的科研。这句话在我心中，激起的共鸣尤为深切。

依照传统，杨振宁先生的籍贯算是安徽合肥。根据刘秉钧《杨振宁家世述略》（载《合肥文史资料第1辑》）中的考证，杨家先祖原籍安徽凤阳府城，在清末战乱中，迁徙到合肥。我来自凤阳县淮河岸边的小镇。当地经济文化并不发达。历史上，淮河流域文化灿烂，诞生了以庄子、管仲为代表的杰出人物，但是近代以来，经济文化发展尚不如人意。他的成就对我们这些淮河流域的后辈而言，更显得亲切。他也是淮河儿女的杰出代表，也仿佛一束光，鼓舞我们做出更好的成绩。

“云山苍苍，江水泱泱，先生之风，山高水长！”

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