2025-10-22：填充特殊网格。用go语言，给定非负整数 N，要求构造一个边长为 2^N 的方阵，用 0 到 2^{2N}-

2025-10-22：填充特殊网格。用go语言，给定非负整数 N，要求构造一个边长为 的方阵，用 0 到 这 个整数恰好一次地填满整个矩阵。把矩阵沿中线分成四个等大的子方阵（左上、右上、左下、右下），需要满足：

• • 右上子方阵内的任意元素都小于右下子方阵内的任意元素；

• • 右下子方阵内的任意元素都小于左下子方阵内的任意元素；

• • 左下子方阵内的任意元素都小于左上子方阵内的任意元素；

• • 并且这四个子方阵本身也要满足同样的性质（对更小尺寸继续递归）。

当 N=0（即 1×1 方格）时，条件自洽。输出满足上述所有条件的 方阵。
0 <= N <= 10。

输入： N = 2。

输出： [[15,12,3,0],[14,13,2,1],[11,8,7,4],[10,9,6,5]]。

解释：

在这里插入图片描述

每个象限的数字如下：

右上角：3, 0, 2, 1

右下角：7, 4, 6, 5

左下角：11, 8, 10, 9

左上角：15, 12, 14, 13

max(3, 0, 2, 1) < min(7, 4, 6, 5)

max(7, 4, 6, 5) < min(11, 8, 10, 9)

max(11, 8, 10, 9) < min(15, 12, 14, 13)

这满足前三个要求。此外，每个象限也是一个特殊网格。因此，这是一个特殊网格。

题目来自力扣3537。

分步骤描述填充特殊网格的过程

填充特殊网格的过程基于分治策略和递归实现，核心思想是将大网格不断划分为更小的子网格，并按照特定顺序填充数字，以确保满足题目中的大小关系条件。以下是详细步骤：

1. 1.初始化阶段：

• • 创建一个大小为 (2^N \times 2^N) 的二维矩阵（方阵），所有元素初始值可设为0或占位符。

• • 初始化一个全局计数器val（起始值为0），用于生成待填充的数字（从0到 (2^{2N}-1)）。

2.递归填充函数的设计：

• • 定义递归函数dfs，参数包括当前处理的子网格（通过行、列边界隐式定义）和当前层级的列偏移量l（用于定位子网格的起始列）。

• •终止条件：当当前子网格大小为 (1 \times 1)（即仅一个单元格）时，将计数器val的值填入该单元格，并执行val++。

• •递归划分：若子网格大小大于 (1 \times 1)，则计算当前网格边长的一半 (m = \text{len}(a) / 2)，将网格划分为四个等大的象限。

3.递归填充顺序（关键步骤）：

• • 按特定顺序递归处理四个象限，确保填充后满足“右上 < 右下 < 左下 < 左上”的约束：

• • •第一步：填充右上象限
    对右上子网格（行范围：当前网格的前m行，列范围：从l + m开始的右半部分）递归调用dfs。

  • •第二步：填充右下象限
    对右下子网格（行范围：后m行，列范围：从l + m开始的右半部分）递归调用dfs。

  • •第三步：填充左下象限
    对左下子网格（行范围：后m行，列范围：从l开始的左半部分）递归调用dfs。

  • •第四步：填充左上象限
    对左上子网格（行范围：前m行，列范围：从l开始的左半部分）递归调用dfs。

• •为什么此顺序有效：全局计数器val从0开始递增。先填充的象限获得较小的数字，后填充的获得较大的数字。因此，右上象限数字最小，右下次之，左下较大，左上最大，自然满足大小关系。每个象限内部继续递归应用相同规则，保证递归性质。

4.填充示例（以 (N=2) 为例）：

• • 初始网格为 (4 \times 4)，第一次划分后 (m=2)。

• • 填充顺序：

1. 1. 右上象限（行0-1, 列2-3）填充数字0-3。

2. 2. 右下象限（行2-3, 列2-3）填充数字4-7。

3. 3. 左下象限（行2-3, 列0-1）填充数字8-11。

4. 4. 左上象限（行0-1, 列0-1）填充数字12-15。

• 最终矩阵如题目示例所示，每个象限内数字也递归满足相同条件。

5.终止与回溯：

• • 递归最终到达 (1 \times 1) 网格时直接赋值，无需进一步划分。

• • 所有递归调用完成后，矩阵填充结束。

• •时间复杂度：(O(4^N))
  算法需填充整个 (2^N \times 2^N) 网格的每个单元格，总单元格数为 (2^{2N} = 4^N)。每个单元格仅被访问一次并赋值，因此时间复杂度为 (O(4^N))。

• •额外空间复杂度：(O(N))

• • • 主要来自递归调用栈的深度。每次递归将网格尺寸减半，递归深度为 (N)（因为 (2^N) 需经过 (N) 次划分才能到达 (1 \times 1)）。每层递归使用常数空间存储参数（如边界信息），因此栈空间复杂度为 (O(N))。

  • • 全局计数器val占用 (O(1)) 空间。

  • • 注意：输出矩阵本身占 (O(4^N)) 空间，但此为问题要求，不计入“额外”空间。

package main import (     "fmt" ) func specialGrid(n int) [][]int {     val := 0     var dfs func([][]int, int)     dfs = func(a [][]int, l int) {         if len(a) == 1 {             a[0][l] = val             val++             return         }         m := len(a) / 2         dfs(a[:m], l+m)         dfs(a[m:], l+m)         dfs(a[m:], l)         dfs(a[:m], l)     }     a := make([][]int, 1<      for  i :=  range  a {         a[i] =  make ([] int ,  1 <     }     dfs(a,  0 )      return  a } func main()  {     N :=  2     result := specialGrid(N)     fmt.Println(result) }

Python完整代码如下：

# -*-coding:utf-8-*- def special_grid(n):     val = [0]  # 使用列表来模拟引用传递，以便在递归中修改          def dfs(a, l):         if len(a) == 1:             a[0][l] = val[0]             val[0] += 1             return                  m = len(a) // 2         dfs(a[:m], l + m)  # 右上         dfs(a[m:], l + m)  # 右下           dfs(a[m:], l)      # 左下         dfs(a[:m], l)      # 左上          size = 1 << n     a = [[0] * size for _ in range(size)]     dfs(a, 0)     return a def main():     N = 2     result = special_grid(N)     for row in result:         print(row) if __name__ == "__main__":     main()

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