《人类科学技术史-081》古希腊的数学成就（下）

古希腊的数学成就（下）
4.柏拉图与欧多克斯的工作

柏拉图(公元前427～前347)是希腊非常有学问的人，他早年曾想从事政治活动，但是，由于他所信奉的哲学家苏格拉底被处死刑，使得柏拉图对政治心灰意冷。他从小受过很好的教育，具有多方面的才能。

公元前387年，他在雅典办学园开始从事教育。学园对数学，特别是几何学十分重视。据说，学园门口挂有"非几何学家不得入内"的牌子，也有说牌子上写的是"不懂几何者不得入"。总而言之，几何学是这个学派的主要研究内容。

柏拉图曾从几何学的角度，构造了一个宇宙模型。他认为要靠数学来了解自然。尽管他本人不是数学家，但他倡导对立体几何的研究。特别是，柏拉图作为第一个把严密推理法则加以系统化的人，十分关心数学的严谨性，在他的学园教学中坚持准确的定义和演绎的证明。毕达哥拉斯学派对点的定义是：点是有位置的单位，柏拉图认为毕达哥拉斯学派对点的定义不够明确，而另立定义：点是直线的开端。

柏拉图关心推理过程的方法论，有两类推理方法被认为是他的学派的贡献。第一类是分析方法，用这种方法时，先假定要证明的结果是对的，然后由此推出一些结论，直至推出已知的真理或与已知真理相矛盾的结论。如果由待证命题推出已知真理，那么只要把推理的步骤倒过来，就可以做出证明；如果由待证命题推出与已知真理相矛盾的结果，就证明待证命题是错的。第二类是归谬法，用这种方法时，也是先假定要证明的结果是对的，只不过由此能够得出与要证明的结果相矛盾的结论，这就证明待证结果是谬误的。柏拉图认为数学采用分析推理方法是十分自然的事，他说："研究几何和算术之类学问的人，首先要在这一学科里认定奇数和偶数、各类图形、三类角以及诸如此类的东西，把它们当成大家都承认的公设，认为不必再为自己和别人作出什么说明，谁都明白。然后他们由此出发，通过一系列的逻辑推论，最后达到他们所要证明的结论。"至少可以说，柏拉图学派使数学，特别是几何学具有了明确的思维方式。从这个意义上说，柏拉图学派为古希腊最负盛名的欧几里德几何学奠定了基础。

柏拉图学派的欧多克斯是成果颇丰的数学家，他的一个重要贡献是建立一个纯粹几何性的比例理论。欧多克斯引入"量"的概念，用来表示可以连续变化的线段、角、面积、体积等。量与数是不同的，数是跳跃的，如从1到2到3等等；而量则是连续变化的，欧多克斯引入的量是不指定数值的。然后，他定义了两个量的比，相等的比彼此是成比例关系的，这样，就把可公度比与不可公度比都包括在内了。欧多克斯对线段的长度、角的大小以及其它的量和量之比，都不给出数值，就是为了避免出现无理数(不可公度比）。这对几何学的发展起到了积极的推动作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的对应边成比例的命题，就是在欧多克斯的比例理论建立以后才被证明的。但是，欧多克斯的比例理论实际上是硬性将数与几何分开，虽然是通过建立比例理论使几何学能够处理不可公度问题了，却避开了代数和无理数，从而造成希腊人在运算能力上的不足，与几何学的高度发展形成鲜明的对照。

欧多克斯的另一重要贡献是对穷竭法的发展。穷竭法通常是以欧多克斯命名的，因为后人认为欧多克斯尽管不是提出穷竭法思想的第一人，但穷竭法确是在他那里得到补充、完善、发展和推广的。欧几里德《几何原本》第十篇的第一个命题就是作为穷竭法基础的重要引理，这个引理的意思是：如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，再从余下的部分中减去不小于这个余量一半的部分，等等，到最后将留下一个小于任何给定的同类量的部分。这个引理被认为是欧多克斯曾经证明而由欧几里德在《几何原本》中表述出来的。在此基础上，欧多克斯用穷竭法证明了两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的1／3，圆锥体积是同底同高圆柱体积的1／3等。

5.亚历山大前期的算术和代数

从毕达哥拉斯学派开始，到欧多克斯将数与量加以区分，古希腊的数学偏重于几何学，古希腊的几何学产生了巨人和巨著。与几何学相比，算术和代数的发展是相当缓慢的。

记数制在亚历山大前期有了一些发展，阿基米德和阿波罗尼乌斯发明了两种记大数的方法。阿基米德在《数砂术》中，提出了一种写大数的方案。他取当时希腊数学里最大的数"万万"，即108作为记数的一个新单位，由此出发又可以往下记出一系列大数，可到1024。这样不断增大，可以记下去表示出任意大的数。阿基米德估计宇宙间砂粒数目要小于他能写的最大数。阿波罗尼乌斯也有类似的方法，只不过他是取104为一个记数单位。但这还没有能达到10进位的位值制。这一时期，古希腊的天文学家则在分数中分母用60进制。

在亚历山大前期的数学家之前，古希腊的数学家只把分数当作整数之比，实际的分数只是在商业上才有意义，那是为了表示钱币或度量单位的若干部分，这种数学的实际应用被排斥在数学研究的范围之外。但是，到了亚历山大前期，情况有了一些变化。一些数学家开始从追求完美而转向注意实际应用，并使这种转变体现在数学的研究中。欧几里得在《几何原本》中，对分数给出了定义，但没有给出运算方法。阿基米德在他的《圆的度量》中，对大数和分数进行了运算，他得出3的开方很好的近似值。

古希腊代数著作是纯粹用文字形式写出的，到亚历山大前期，代数的重大进展是产生了代数符号。欧几里得在《几何原本》中曾用字母表示一类数，阿基米德在讨论运动时也曾经用字母表示一段时间或一段距离。但是，他们并未认识到字母表示对于代数进一步发展的重大意义。因此，他们的工作停留在初步和零散的状况。真正系统地提出代数符号，那已是公元3世纪的事了。

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