计算dy/dx=(2x^3+3xy^2+x)/(3x^2y+2y^3-y)的通解

求dy/dx=(2x³+3xy²+x)/(3x²y+2y³-y)的通解。

解：第一步：微分方程基本变形：

dy/dx=(2x³+3xy²+x)/(3x²y+2y³-y),

右边分母分子分别提取公因式x，y，则：

dy/dx=x(2x²+3y²+1)/y(3x²+2y²-1),

将右边提出的x，y移动到等号左边。

ydy/xdx=(2x²+3y²+1)/(3x²+2y²-1),

左边凑分分别到dy、dx中，得：

dy²/dx²=(2x²+3y²+1)/(3x²+2y²-1)。

设：

(2x²+3y²+1)/(3x²+2y²-1)

=[2(x²+m)+3(y²+n)]/[3(x²+m)+2(y²+n)].

由对应项系数相等得方程：

2m+3n=1,且3m+2n=-1。解方程得m=-1,n=1.

代入微分方程得：

dy²/dx²=[2(x²-1)+3(y²+1)]/[3(x²-1)+2(y²+1)].

设：u=(y²+1)/(x²-1),则：

u(x²-1)=y²+1,两边求全微分得：

(x²-1)du+udx²=dy²

dy²/dx²=u+(x²-1)du/dx²，回代微分方程得：

u+(x²-1)du/dx²

=[2(x²-1)+3u(x²-1)]/[3(x²-1)+2u(x²-1)]

=(2+3u)/(3+2u)。

用分离变量积分法，对变形后的微分方程积分如下：

(x²-1)du/dx²=2(1-u²)/(3+2u)

(3+2u)du/(1-u²)=2dx²/(x²-1)

3∫du/(1-u²)-1*∫d(1-u²)/(1-u²)=2∫dx²/(x²-1)

3/2ln|(1+u)/(1-u)|-1*ln|1-u²|=2ln|x²-1|+ C₁

[(1+u)/(1-u)]³/(1-u²)²=c₂(x²-1)⁴.

(1+u)*(1-u)^(-5)=c₂(x²-1)⁴。

第五步，回代换元变量，得方程通解

(1+u)=c₂(x²-1)⁴*(1-u)⁵.

[(x²+y²)/(x²-1)]

=c₂(x²-1)⁴*[(x²-y²-2)/(x²-1)]⁵,

即：(x²+y²)=C(x²-y²-2)⁵。