大隐隐于市之极性涡旋-反涡旋对

笔者很早就想写这篇小文，但一直未能找到一个契机。华南师范大学 IAM 陈德杨团队终于给了笔者这一契机。下笔可能有些自负，恭请读者谅解包涵。

1.引子

笔者因为与 《npj QM》的联系，经常被灌输量子凝聚态中诸多新的物理观念。“拓扑量子态”即为最常见观念之一，虽然刚开始时并不明白什么是拓扑。老人如我这般，向来都是被推着学习新的知识。将这个学习过程，与年轻读者分享，也许是我等能做的少数几件小事情之一。

几乎所有物理人，提到拓扑概念，都从实空间几何开始，可见其神奇与少见。图 1(a) 所示为几个例子，其基本几何特性由所谓的属性 (genus g) 来定义。属性 g 对应物体内部贯穿的空洞数目，因此就有 g = 0, 1, 2, 3 整数定义之说。物理人认为，这样的展开，简单而直观，但也容易拘泥于某种几何印象而不能跳出：一看到“拓扑”，就想起一种几何的总体集合。就几何形状而言，因为不同集合之间没有交会，数学家就以此作为几何体的分类标记，让领域之外的人们认识拓扑几何。

物理人对这种几何形状的分类，当然有点兴趣，毕竟几何也是物理的数学描述。但物理人对纯粹的几何兴趣并不那么大。他们感兴趣的是，这些分类能带来什么新的效应或调控效应的手段？笔者坐井观天，所了解到的，大概有如下两点：

(1) 简单直观的效应是：每一种拓扑结构，有其自身稳定性 (robustness)。

这是那些高端物理人经常说的话，但大多数读者听起来可能如笔者一般，有一愣一愣的感觉、不明觉厉。一类拓扑几何体，它们之间可通过变形互相转化。但是，不同类别的几何形态，为何就难以相互变形、转化？注意，这里是“变形”而非“形变”。笔者理解，形变，会引起很大应变能，特别是对固体。但是，几无应变的“变形”，却不会引起太大的应变能 (这么说物理上不严谨，姑且将就着认可这一说辞)。

笔者尝试从最低层次、从能量角度进行解读。图 1(b) 所示，是一张平铺的白纸，其 g = 0。将其与图 1(c) 所示的一张皱褶纸张作比对，然后进行分析。皱褶纸张，亦有 g = 0，与平铺纸张的拓扑量相同。事实上，如果纸张的皱褶不引起形变，而只是形貌上的变形，则两张纸间的能量差别不大，拓扑态相同并不奇怪。反过来，如果比对是针对图 1(d) 所示、带有空洞的纸张，情形就很不同。空洞纸张，其 g = 1，拓扑属性与平铺纸张已然不同。这种不同在物理上的意涵是，产生这一空洞，需要切割纸张、打断很多纸张分子键能。由此引起的能量变化，不是一个小量，需要周围或外部环境付出“巨大”代价。这里的物理意涵是：抵抗外部能量冲击的能力，才是物理人关心“拓扑”、理解“拓扑”的理由。这一理由，在此处得到很好彰显，给出的结论就是：从一个拓扑类，转变到另一个拓扑类，物理上是困难的，或者说一类拓扑几何具有一定的稳定性 (robustness)。

当然，有读者肯定不信 Ising 声称的这个邪！如果将图 1(c) 的纸张继续揉皱，及至揉成一团，就像被 100 GPa 等静压压实后的形貌，则物理人最终会得到一结实的圆纸球。此时，纸张并未被“开洞”、也未被撕破，几何拓扑没有发生变化，对吧？但，如此付出的能量代价似乎也不小。

如有读者非要较真不可，似乎就有抬杠之嫌，或者说太急于结论。任何物理说辞，都是有前提的。拓扑稳定性 (topological robustness)，是指低能激发下的性质，就如图 1(c) 那种轻微揉皱一般。使那么大力气，去“压纸成球”，就不再是低能物理。更何况，“压成纸球”得到的，已经是三维球体，纸张不同部分早已相互接触粘合、成为一体，拓扑性质原本就发生了巨大变化^_^。

图 1. 拓扑几何 (topological objects) 及其定义。用物体几何属性 (genus) 因子 g 来定义拓扑数，即物体内部空洞的数目。

图片(a) from http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.28398.25928。

(2) 动量空间的能带拓扑物理是：每一种拓扑结构，都有其对应的量子输运特征。

所谓 k 空间的能带拓扑，大约是将布里渊空间中的一支能带，当成实空间的一曲面几何体。这样的几何体，有无图 1 所示那般几何性质，就代表能带拓扑是否平庸。事实上，包括笔者在内的读者，在各种学术资源库中很难找到一张类似图1一般的能带几何表达图，以便清楚地感受到能带几何拓扑到底是什么。拓扑量子材料人和拓扑物理大家们，一贯以为这样的要求太 low 了，不值得理会，反而形成了一个科普意义上的 gap！

Ising 不妨简单地胡诌一番，填补这一 gap。

图 2(a) 所示，乃一绝缘体在 k 空间布里渊区内能带图。先从拓扑平庸的绝缘体开始，即费米面附近导带与价带的形状在拓扑上是平庸的，其属性 (genus) g = 0。为便于理解，可以粗暴将价带处没有“空洞”，正如绿色箭头所指，当成是拓扑平庸的几何 (g = 0)。现在，假定导带、价带相互靠近，到达图 2(b) 所示之临界点处：导带、价带发生“kiss”、且是一种“狄拉克精神”式的 kiss，特被命名为狄拉克半金属 (Dirac semimetal)。此时，能带拓扑依然是平庸的。再进一步，导带与价带发生交叉，能带宇称随之发生反转，到达一个新的绝缘体态，如图 2(c) 所示。读者看到，价带区出现了“空洞”，意味着能带形状变成拓扑非平庸态，即 g ≠ 0 (> 0，如 g = 1)。这里，体系发生了从 topologically trivial 到 topologically non-trivial 的转变。继续下去，也许会出现多个空洞，如图 2(d) 所示 (如 g = 2, 3, 4…)。总之，图 2(c) 和图 2(d) 处能带的几何构型，与图 2(a) 所示的几何形态，属于不一样的拓扑类别。

目前看，有三种拓扑非平庸的物态，被物理人广泛关注：(1) 如果体态依然是绝缘体，体系就是拓扑绝缘体 (topological insulator)；(2) 如果体态变成了金属，体系就是拓扑半金属 (topological semimetal)；(3) 拓展开去，中间状态有所谓的能带节点、节线，那就是节线半金属 (nodal semimetal)。

特别提示，读者御览时，不必介意如上描画是否缺失严谨性、正确度。这里，只是为了让拓扑物理意涵浅显易懂，如此而已。于 k空间的拓扑话题，笔者就此打住，不再继续发挥。读到这里，读者已有了足够好的知识铺垫，可以转向另外一个拓扑话题。

图 2. 笔者用这幅能带图系列，粗略表示能带拓扑的图景，虽然不严谨。

从布里渊区费米面附近的能带结构看：有“空洞”和没有“空洞”，如图 1 所示，可能展现不同的拓扑形态。绿色箭头指示没有“空洞”，红色和蓝色箭头指向那些“空洞”，意味着图 2(a) 和图 2(c) & 图 2(d) 所展示的能带之拓扑属性不同。图 2(b) 所示能带，正好出现一个狄拉克点。经过此点，能带发生交叉，使得图 2(a) 和图 2(c) 的能带显示不同的拓扑几何形态。它们的拓扑，分别是 topologically trivial 和 topologically non-trivial 的。

From M. Aidelsburger, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 51 193001 (2018), https://dx.doi.org/10.1088/1361-6455/aac120。

2.实空间拓扑结构

与 k 空间拓扑相映成趣，再回到通俗易懂的实空间拓扑物理。在凝聚态物理所关注的体系中，微结构拓扑也是重要方向之一。正如本公号前一篇文章《》提及的，最常被量子材料人讨论的实空间拓扑结构，就是铁性 (包括自旋、极化及铁弹结构单元) 涡旋 vortex 和 skyrmion。感兴趣读者可以前往御览一二。

本文则集中于磁性和铁电 vortex 这一主题，虽然偶尔提及拓扑中心畴和 skyrmion 单元，以重新审视其作为一类实空间非平庸拓扑结构的稳定性意涵，并讨论与其关联的 (也许可资利用的) 物理效应。图 3(A) 插入了描述自旋涡旋的卷绕数 (winding number, w) 的空间几何定义。物理人一般将卷绕数 w 当成平面几何形态的拓扑量。

2.1. 磁性涡旋 - 反涡旋

物理人说过，对一 2D 二维正方磁性点阵，如海森堡形式的 XY 模型。能量最低的铁磁态之上，第一低能激发态就是所谓的“涡旋- 反涡旋 vortex-antivortex”(V - AV) 对。这是严格求解的结果，即所谓的 BKT (Berezinskii-Kosterlitz-Thouless) 相变物理，但却经常被磁学人推广使用到一些不那么严格的场景。渐渐地，物理人就认为，磁性 V-AV 态，就是铁磁走向顺磁相变进程中的一类中间态，虽然未必是唯一途径。

现在，磁性 V-AV 物理，是磁学和统计物理的标准知识，已被理论与模拟计算广泛预言及佐证，虽然“清晰直观”的自旋V-AV微结构观测图像并不多见。这一 V-AV 对背后的物理，简单直接、明晰通透！所谓低能，可从几个不同视角来展现。这里不妨从拓扑视角去刻画，别有味道。

(1) 以低温铁磁点阵为出发点。毫无疑义，其拓扑数 w = 0，即这一体系的基态被假定是拓扑平庸的 FM 铁磁态。理论物理人已经证明这一体系存在拓扑相变，即 BKT 相变。

(2) 伴随铁磁 FM 态失稳，体系在走向顺磁 PM 过程中有低能激发，不断产生涡旋 V。每一涡旋 V 的产生，会伴随拓扑态的转变：从 w = 0 的平庸态到 w = 1 的非平庸态。

(3) 既然拓扑态是稳定态，而相变又依赖低能激发完成，则相变进程中体系的宏观拓扑性质不能改变。低能激发产生的涡旋态 V 之附近，必出现一个反涡旋态 AV (w = -1) 与之对冲，以维持体系宏观总拓扑量 w = 1 – 1 = 0 不变。

(4) 一对一对的 V-AV 涡旋对之所以出现，其拓扑物理观点由此建立起来！图 3(A) 和图 3(B) 展示的，即这一物理基础。读者如果还稍觉生疏，不妨先接受之。

(5) 见到不少物理文献，将逆时针涡旋-顺时针涡旋对 (heterochiral vortices pair, / clockwise vortex – counter-clockwise vortex, CV-CCV)，如图 3(C) 所示，当成 V-AV 涡旋对加以分析。笔者以为这是不准确的，理由很简单：CV 和 CCV，属于同一类拓扑，它们均有 w = 1，因此一 CV-CCV 涡旋对的总拓扑量 w = 2，与 FM 基态的 w = 0 差距很大。这里得到的结论是：图 3(C) 所示的 CV-CCV 涡旋对，不能稳定存在，除非通过内禀或外场施加必要的边界限制。下文还会重新回到这一稳定性话题。

2.2. 小隐隐于峰

必须指出，如上所有围绕磁涡旋 vortex 和磁 V-AV 对的讨论，显示出物理人信心百倍、结论毋庸置疑。然而，稍有遗憾的是，对磁 V-AV 对的实验观测却不尽人意。到目前为止，并不多见三维均匀磁体中清晰明确地观测到磁 V-AV 图像的实验，虽然并非没有 [例如 C. Donnelly et al, Nature Phys. 17, 316 (2021), https://www.nature.com/articles/s41567-020-01057-3]。即便是理论上，要构建出一本征模型，“低能激发”出自发的 V-AV 涡旋对，亦需要考虑诸多物理条件。当前的磁涡旋成像技术，都依赖于局域磁矩的面外分量，亦即面外杂散场的强度。如此，对纳米尺度磁 V-AV 对的观测，尚无可靠结果。

以图 3(B) 的 V-AV 对为例，其中 V 和 AV 中心 (芯、cores) 标注的颜色，代表了此处面外杂散场的正负与强度。在实验探测上，最为简便的，是配置于 TEM 中的洛伦兹成像 (Lorentz imaging) 技术和基于原子力显微术的磁成像 MFM 技术。这些成像衬度，都依赖于面外磁杂散场，只有涡旋中心处 (芯) 才有成像衬度，如图 3(D) ~ 3(F) 所示 (详细描述可见图题)，涡芯之外的磁性细节难以被成像。可惜，目前的洛伦兹成像术，其空间分辨率难以达到 ~ 1 nm 尺度，对 MFM 亦是如此。更进一步，这些技术亦无法提供足够好的面内自旋结构衬度。总而言之，那些具有实际应用价值的纳米涡旋单元，其细节无法被当下先进技术清晰成像。

既然目前磁成像只能勉强给出磁涡芯衬度，物理人就无法确立涡旋的手性 (顺时针、逆时针)，亦无法确立涡旋的尺寸 (边界)。于磁 V-AV 对，如果不考虑杂散场正负、只管强度，V 和 AV 的芯处 (cores) 之杂散场就像两座山峰。相对于山峰，V 芯与 AV 芯之间的联结区域，因为不存在面外杂散场，其结构细节难以被探测而被“隐藏”，给本文标题“大隐隐于市”提供了一段前奏：“小隐隐于峰”。磁性 V-AV 的两座山峰明明在那里，但若要看到山峰之间的景色，就有难度。

事实上，即便未来的磁成像技术之分辨率足够高，亦必须进行地毯上搜索和精确定位，才能找到那一对一对的 CP (V-AV)！

OK，无法表征与无法“成像定位”，亦就无法提及这些铁性拓扑结构的可能物理效应与应用。既然如此，有无突破之法或“曲线救国”之路？！

图 3. 磁体中涡旋结构、拓扑性质及实验观测的一些讨论。

概念与机制部分：(A) 2D 面内涡旋 (vortex) 和反涡旋 (antivortex) 单元的形貌。假设每个自旋与 x 轴夹角为 ϕ，θ 为自旋极坐标角，则涡旋单元的拓扑量 (genus) 可以用几何卷绕数 (winding number w) 定义。由此得涡旋的 w = 1、反涡旋的 w = -1。(B) 以铁磁性 2D 平面基体为基础，讨论其中一对 V-AV 对。基体的 w = 0，乃拓扑平庸结构。低能激发产生的涡旋 V，必有一近邻的 AV 出现，即 V-AV 须成对而邻，方为正理：这一 V-AV 对所在区域，总的卷绕数 w = 1 – 1 = 0，与基体相同，因此能稳定存在。注意，图中的颜色代表此处面外杂散场的强度，是实验探测的信号源，就像两座强度的山峰。山峰之下的世界，被遮挡而难以“看见”，即小隐隐于山。(C) 由逆时针涡旋和顺时针涡旋组成的“一对”涡旋对，其覆盖区域总的卷绕数 w = 1 +1 = 2，与基体不同，不能稳定存在。文献中充斥的大量笔者认为“不确”的认知：将顺时针涡旋当成反涡旋看待。

实验探测部分：(D) 对一直径 2.0 μm、(111) 取向的软磁 NiFe 薄膜 disk，微磁学模拟得到的磁涡旋衬度像：(a) 磁涡旋示意图；(b) 磁涡旋模拟 MFM 衬度像；(d) 两对 V-AV 模拟 MFM 衬度像。可以看到，衬度来源于面外杂散场，但很弱。(E) 模拟得到的 V-AV 磁结构和 MFM 衬度像。在自旋箭头辅助示意下图像还算依稀可辨。(F) 展示了室温下实际观测到的衬度像，信号很弱。很显然，当涡旋尺寸下降到 10 nm 以下时，当前的 MFM 和洛伦兹成像技术，不再能得到有效衬度信号。

(A) From https://dqmp.unige.ch/news/the-apparent-inner-calm-of-quantum-materials/。(B) From T. M. Klapwijk et al, IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology 7(6), 627-648 (2017), https://ieeexplore.ieee.org/document/8086223。(C) From https://physics.stackexchange.com/questions/431058/vortex-anti-vortex。(D) & (E) & (F) from S. S. P. K. Arekapudi et al, PRB 103, 014405 (2021), https://doi.org/10.1103/PhysRevB.103.014405。

3.铁电涡旋结构

有的。凝聚态物理中，磁学总有一位亦步亦趋的追随者，即铁电。铁电和磁性，微观上具有截然不同的物理机制，但有意思的是它们在唯象上却相似。有关它们的唯象理论，似乎已成为铁性物理的所谓范式，是佐证 more is different 最好的注解之一。

铁电基本单元是电偶极子 (electric dipole)，在经典意义上，源于原子点阵发生空间反演对称破缺，因此与自旋很不同。多铁性物理讨论电子云畸变对铁电极化的贡献，因为太小，在此不值得渲染。铁电极化依赖原子点阵，自旋是量子效应，能标上差距也很大。电偶极子携带的静电能，比自旋携带的静磁能大 ~ 1000 倍。因此，当环境条件在动力学上允许自旋翻飞自如时，电偶极子却依然背负多重枷锁、难以伸缩。

反过来，正因为铁电单元是电偶极子，原则上只要能对晶格原子 / 离子位置进行准确成像，就能将电偶极子的信息提取出来。高分辨透射电子显微术 TEM，特别是球差校正的 TEM 技术，使得原子位置成像分辨率达到 ~ 10-3 nm。幸运的是，典型铁电体的极化对应原子位移，已大于这一分辨率。其次，铁电涡旋和类似拓扑单元的尺度大约在 ~10 nm，而基于原子力显微术 FIM 的 piezo-force microscopy (PFM) 也已能半定量提取极化分布信息。就这一点，自旋与之争锋的机会不大。也因此，当自旋成像那么困难时，铁电极化的定量测量却成为可能。此乃上苍对铁电物理一直落后于磁学的一种眷顾：铁电终于有一项超越磁性的功能，即可以直接成像。

3.1. 铁电涡旋的实现

然而，铁电物理人刚刚高兴片刻，笔者在此就要泼物理的冷水了。

铁电极化是极矢量，自旋是赝(轴)矢量。当后者将横向力场，如洛伦兹力和 SOC，玩得风生水起时，铁电极化尚显愚笨，只会直通通地向前、向前，无法转弯。其中有什么物理意涵呢？即均匀的铁电点阵，没有一个产生横向力场的微观机制。不能驱动电偶极子横向偏转、并通过多个偶极子实现 collective motion，就免谈铁电 vortex！如上节所述，磁性就完全不同：一者，磁矩是轴矢量，磁力是横向力；二者，磁性存在自旋-轨道耦合 SOC，也是横向力。更进一步，自旋能标较小，易于被激发驱动。磁体多为金属或半金属，电流可携带自旋力矩去驱动磁体内自旋的运动。

事实上，铁电人做梦都想整出铁电 vortex、antivortex、vortex-antivortex (V-AV)、skyrmion 等拓扑结构单元。怎么办呢？只好退而求其次，看看有无机会先通过结构约束来实现横向等效场，从而迫使电偶极子转向。

这样的思路是可行的，虽然未必源于本征铁电机制、且付出的能量代价可能很大。结构约束产生铁电涡旋的机制可以有很多，其核心物理是能够产生某种横向力，迫使电偶极子这一纵向极矢量发生横向偏转。图 4 展示了一种机制，即挠曲电效应，其细节可见图题，正文不再详细展开。与这一机制相关，笔者曾撰写过一篇科普小文章《》。感兴趣的读者可前往御览端详。

图 4. 结构约束产生横向内电场或横向电极化的机制之一，挠曲电。

以铁电微纳圆盘为例来展示铁电涡旋的产生机制。这里的核心，是圆盘受边界条件约束：边缘处，电极化径向分量P┴(r= R)= 0，而圆盘内部的极化P≠ 0，即便这极化是完全圆周切向的。因此，圆盘极化的大小沿径向形成梯度分布。因为铁电极化必定有晶格畸变伴随，意味着沿径向存在不断增大的晶格畸变，即存在径向的挠曲电效应。注意到，挠曲电 (flexoelectricity) 效应是普适的，只要绝缘体系内存在应变梯度，就会产生电极化。在晶格不完全匹配的衬底上生长外延薄膜，薄膜弛豫导致面外方向的应变梯度，就会诱发面外电极化。

按照这一路线图，铁电人过去若干年积累了不少铁电涡旋的认知与心得，总结如下：

(1) 众所周知，加州伯克利那位大牌铁电人 R. Ramesh，在 PbTiO3 (PTO) / SrTiO3 (STO) 超晶格首先实现了铁电涡旋 vortex。这里，选择超晶格设计，即是为了在空间上约束铁电层 PTO，而 STO 层起到的是隔离层作用 (STO 作为隔离层选择其实是双刃剑)。球差校正 TEM，提取到 PTO 层中铁电 CV-CCV 阵列，如图 5(A) 所示，时间大约是 2016 年。此图非常有名，让很多人都认定这就是铁电 V-AV 对。而笔者猜测，Ramesh 他们其实就是想实现铁电 V-AV 阵列，只是未能得到而已。他们得到的，是铁电 CV-CCV 涡旋阵列。注意到，CV-CCV 阵列的每个涡旋之卷绕数 w = 1，与铁电 V-AV 对的卷绕数 w = 1 / w = -1 不同。也就是说，铁电 CV-CCV 虽然是拓扑不平庸的，但却是拓扑不稳定的。

(2) 依笔者猜想，PTO / STO 超晶格中，PTO 层内 CV-CCV 涡旋阵列之所以能存在，无非源于图 4 所揭示的界面约束。虽然对 STO 实施各种内外场刺激，可激励其出现铁电极化，但 STO 本征是非铁电的，其块体很难被激励出室温铁电，除非 STO 层很薄。如此，PTO 内的电极化面外分量 (垂直分量) 必须置零。置零的方式有两种：(i) 所有极化指向界面切向。果若如此，极化全指向左或向右，将导致巨大的长程铁弹应力场。因此，体系退而求其次，只好形成铁电 CV-CCV 涡旋阵列，以释放长程应力场。Ramesh 他们的结果，看起来归于此类，如图 5(B) 所示。(ii) 界面处极化P归零。从图 5(B) 所示边界处极化分布看，CV-CCV 阵列显然也是最合适的，而铁电 V-AV 结构不适合于此。

(3) 从铁电涡旋结构拓展开去，利用界面或有限边界约束，也可形成其它局域铁电拓扑结构。孤立纳米岛中的铁电涡旋、中心畴、四瓣畴等，如图 5(C) 和图 5(D) 所示，即是例子。华南师大高兴森 [Z. Li et al, Sci. Adv. 3, e1700919 (2017), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.1700919] 和清华南策文老师他们 [J. Ma et al, Nature Nano. 13, 947 (2018), https://www.nature.com/articles/s41565-018-0204-1]在 BiFeO3 (BFO) 微纳岛中都观测到拓扑中心畴和四瓣畴结构，都可归于铁电涡旋大类。最近，北京理工大学的洪家旺/王学云他们在 CuInP2S6 这一 vdW 体系中直接诱发出泡状拓扑畴，也是一个进展 [X. Jiang et al, Nature Materials 2025, https://www.nature.com/articles/s41563-025-02346-z]。

图 5. 铁电涡旋及类似局域拓扑单元的实验实现。

(A) 加州伯克利的 R. Ramesh 教授课题组获得的 PbTiO3 / SrTiO3 (PTO / STO) 超晶格截面高分辨 TEM 像。可以看到，PTO 层内一对一对铁电顺时针涡旋-逆时针涡旋对 (clockwise vortex / counter-clockwise vortex, 铁电 CV-CCV 对) 一字排开。这一结构源于超晶格界面对铁电极化的约束：垂直于界面方向，极化被完全压制；平行于界面方向，铁电极化每隔一段距离必须反向，以避免长程应力场。妥协之下，只能取这种 CV-CCV 涡旋对排列，且超晶格界面处极化尽可能趋于零，如此则体系能量最低。(B) 铁电 CV-CCV pair 周围的极化分布。可以看到，由于 CV 和 CCV 涡旋手性相反，晶格基体远处的极化很小、几乎为零，正如图 3(C) 所示的磁性 CV-CCV 一般。(C) 华南师大高兴森在 BiFeO3 (BFO) 纳米岛中观测到的拓扑中心畴，包括收敛型 (极化指向圆心) 和发散型。(D) 清华南策文老师在 BFO 方形纳米岛中观测到的收敛型/发散型四瓣畴。

(A) From A. K. Yadav et al, Observation of polar vortices in oxide superlattices, Nature 530, 198 (2016), https://www.nature.com/articles/nature16463。(B) From https://physics.stackexchange.com/questions/431058/vortex-anti-vortex。(C) From Z. Li et al, Sci. Adv. 3, e1700919 (2017), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.1700919。(D) J. Ma et al, Nature Nano. 13, 947 (2018), https://www.nature.com/articles/s41565-018-0204-1。

3.2. 铁电涡旋的宿命

铁电物理人费了九牛二虎之力，总算向磁性靠近了一步，实现了铁电涡旋和中心畴 /四瓣畴之类的局域拓扑结构。最近，铁电 skyrmion 或泡状畴也通过一系列边界或对称性约束，也得以实现。其中物理与图4所示有类似之处，在此不论。所谓“此曲繁华难走起，偶然生动摄心神”，用来描写铁电物理人的性情，还是有文艺范的。

不过，与自旋拓扑结构比较，铁电涡旋结构依然有其内禀缺陷：

(1) 稳定性问题。与磁性拓扑结构类似，铁电涡旋、中心畴、skyrmion 的拓扑卷绕数 w≠ 0，而铁电基体的 w = 0。因此，如果将这些拓扑单元内置于均匀铁电点阵中，引起的能量太高，不大可能稳定存在。从拓扑稳定性角度看，必须进行边界或结构约束，才能稳定这些拓扑单元。而边界硬性约束，是压制铁电拓扑结构功能的推手，例如压制了拓扑单元的运动和动力学响应，令人不爽！克服这一问题的答案是：激发产生铁电 V-AV 对，而不是铁电 CV-CCV 对。因为 V-AV 对的总 w = 0，与铁电基体相同，稳定性问题就能被化解。

(2) 运动问题。大多数磁体，因为是导体或窄带半导体，载流子在其中输运提供了与自旋交换动量的便利，因此磁拓扑单元可以运动、产生/湮灭，并反过来通过与载流子发生能量、动量交换，实现诸多量子输运功能。铁电体毕竟是绝缘体，外部电荷或电偶极子，无法注入到铁电体中并自由移动，以驱动局域铁电拓扑单元。更进一步，目前实现的铁电涡旋单元，都是边界约束下的亚稳态；即便能被驱动，却还是无路可走、或未走先衰。铁电拓扑单元的可控运动，是最令人期待的新功能。这是铁电拓扑相比磁性拓扑的最大不足。不比不知道，一比即知，磁性拓扑自有其胜出之道。

行文到此，已然清楚，铁电涡旋等拓扑单元“稳定性”和“无法运动”两大问题，触发物理人去追逐更强大的铁电拓扑结构，包括铁电 V-AV 对。毕竟，铁电基体中存在的 V-AV 对，其稳定性是有保障的。一铁电 V-AV 对，其平面极化分布如图 6(A) 所示，箭头代表铁电极化 (只讨论面内极化)。只是，这样的极化分布，在传统铁电体中很少见，虽然在自旋体系中常见。

看起来，铁电物理人努力忙活了这些年，却还是未能发现铁电 V-AV。那么，这铁电 V-AV 对，到底隐藏在哪里？

4.铁电涡旋-反涡旋的诞生

世间之事，所谓小隐、中隐或大隐。虽然笔者如此渲染铁电 V-AV 对也是小隐、中隐、大隐那一套，但铁电物理人并非从未实现过铁电 V-AV 对。至少有两个很好的例子昭示，铁电 V-AV 还是有迹可循的。

4.1. 中隐隐于前

第一个例子，任职米国 Rutgers University 的凝聚态物理名家 S. –W. Cheong (SWC)，在六角晶格 YMnO3 (YMO) 中观测到六瓣铁电 V-AV，如图 6(B) 所示，时间大约是 2009 年。这是第一次在三维块体铁电中发现铁电 V-AV 结构，堪称珍品。这里，涡旋和反涡旋周围的箭头，并非铁电极化，乃是表示面内六角晶格 O 离子的三聚化畸变程度 (Z3)。铁电极化的两个方向，指向面外 (Z2)，表现为深色和浅色的畴衬度。箭头和深浅衬度联系起来，形成 Z6 = Z3 × Z2 的 V-AV 对结构。

稍有遗憾的是，这里的 Z2 铁电畴，乃源于面内 Z3 三聚化 (trimerization processing)。因此，YMO 是所谓的 improper ferroelectric，极化只是结构畸变三聚化触发的后果。虽然实验观测到了 V-AV 结构，但更多是晶体结构畸变的 V-AV 结构，铁电只是次要元素。这一 V-AV 结构，乃由六瓣畴组成 (瓣的数目决定于结构聚化对称性)，与各向同性的磁 V-AV 亦很不同。

需要特别指出，SWC 教授他们还证明，YMO 中的 V-AV 对是可以运动的。在合适的温度、应力或电场作用下，V-AV 畴可以迁移、合并与再辉 (coarsening & recalescence)，表现形式与磁 V-AV 倒是类似。这是令人激动的结果，给了铁电人更多信心追随和超越磁学人。

图 6. 铁电涡旋-反涡旋 V-AV 的若干图像。

(A) 一局域点阵中的涡旋-反涡旋 V-AV 相，其中箭头可以是自旋亦可以是电极化。(B) SWC 在六角 YMnO3 (YMO) 单晶中看到的铁电涡旋-反涡旋 V-AV，只是这里的铁电是 improper ferroelectricity，铁电极化属于二级序参量。所谓涡旋，主体是平面晶格内的三聚化结构畸变。(C) 高鹏他们在 PbTiO3 (PTO) / SrTiO3 (STO) 超晶格中看到的 vortex – antivortex。只是 antivortex 位于 STO 中、vortex 位于 PTO中。(D) 一个尺寸极小的 V-AV 对之极化序参量分布，可见各向异性不利于 V-AV 形成。这一思路，应该对启迪陈德杨他们联想到 BFO 中可能存在铁电 V-AV，有参考价值。

(A) From https://physics.stackexchange.com/questions/431058/vortex-anti-vortex。(B) From S. W. Cheong, National Sci. Rev. 6, 624 (2019), https://doi.org/10.1093/nsr/nwz015。(C) & (D) From A. Y. Abid et al, NC 12, 2054 (2021), https://www.nature.com/articles/s41467-021-22356-0。

第二个例子，发生在大约 2021 年。来自北京大学的 TEM 帅哥高鹏，与来自南方科技大学的智能材料名人李江宇，领导各自团队一起合作，在类似于 Ramesh 团队关注过的 PTO / STO 超晶格中观测到了铁电 V-AV 结构，只是这里的 STO 层更薄，主要结果如图 6(C) 所示。此处昭示的，是妥妥的铁电 V-AV 结构，而不是 SWC 的 Z3 × Z2 铁电模式。不过，令人惊奇的是，这里的涡旋 V 出现在 PTO 层内，而 AV 却只能出现在 STO 层内，是一类特别的铁电 V-AV。这样的结构，还是让人感觉有点疙瘩夹在其中：毕竟，均匀铁电晶格中形成 V-AV 对，才是物理人更青睐的目标。对这一结果感兴趣之读者，可前往御览高鹏老师他们的论文。

笔者对高鹏他们工作的联想，大约如此：(1) STO 本身不具备铁电性、处于量子铁电临界态。虽然内禀掺杂或外场可诱发铁电极化，但要实现高铁电居里温度亦不容易。(2) 任何物理亦不可绝对。在 PTO / STO 超晶格中，如果控制 STO 层到足够薄，可以想象两侧 PTO 层会强力加持 STO 层、诱发 STO 出现铁电。(3) 高鹏帅哥的结果似乎就是如此，显示于图 6(C) 中。可清楚看到，4 个晶胞厚度的 STO 层，在位置 C 处形成了 antivortex 反涡旋结构。对应地，两侧各 10 个晶胞厚度的 PTO 层中，存在 vortex 涡旋。两者结合起来，算一对 V-AV 对，就像连理枝。这是一个很大的进展，表示物理人可以超越铁电 CV-CCV 对，走向铁电 V-AV 对。

现在，留给铁电物理人的问题，就简化成：能否在一种铁电体内构建一铁电 V-AV 对或对阵列？！

4.2. 大隐隐于市

寻找出路之道，可能在于那种物理上的 delicate feeling。一 V-AV 对，结构较为局域，波及范围不远，如图 6(A) 所示：如此小的区域，既承载了一 V-AV 对，还维持了边界处大铁电极化，与图 3(C) 和图 5(B) 所示的、CV-CCV 对周边的情况不同。后者波及较远，CV 和 CCV 本征的极化构型又一定程度压制了远处的极化、使其消弭或形变。从这个角度，参照铁电 CV-CCV 对，铁电 V-AV 对耗费的能量低，是妥妥的低能激发。

读者姑且再细看一看 V-AV 和 CV-CCV 对周围的箭头构型协调性，见图 3(B) 和图 6(A)，就能得到一种印象：V-AV 配对的构型，可能是“协调得最密切”的几何构型 (geometrically well-coherent configuration)。这种协调，要求极化取向不能有太强的各向异性，取向越同性越好。唯像理论上，BKT 相变为何多出现在 XY 模型 (各向同性) 中？这是有原因的，因为 XY 模型就是平面各向同性模型。毕竟，涡旋芯区域箭头方向的变化很剧烈；涡旋尺寸越小，剧烈度越高。对 CV-CCV 对，就没有这样严苛的要求：箭头在平面内有四个取向，即足够形成一个方形涡旋 vortex^_^。

这一 delicate feeling，可用图 6(D) 的示意图来表达：左侧的铁电涡旋，四个正交指向的极化，能构成 vortex core。右侧的铁电反涡旋，四个正交指向的极化就需要有不同指向。如此构型，似乎提示，那些具有更多极化取向的铁电体，可能更利于实现铁电 V-AV 对。

伯克利的 Ramesh、北京大学的高鹏/南科大的李江宇等，都不约而同选择 PTO 作为铁电层构造超晶格。其中道理，笔者实际上未能参悟透彻。众所周知，三维 PTO 点阵，虽有 6 个正交极化取向，但面内只有四个极化方向。按如上分析，PTO 中同时形成 V 和 AV，本身是有难度的。

更一般性的物理图像是，铁电极化取向，终归被晶格对称性约束。晶格对称性越低，其铁电极化被允许的晶体学方向越少。六角晶格 LiNbO3 只有 c 轴一个极化轴，只有 180°畴。四方晶格 BaTiO3 和 PTO 一般有 6 个极化方向，存在 180°和 90°畴。而 BiFeO3 (BFO) 则有更多极化取向。按照正交坐标近似表示 (pseudo-cubic, pc)，BFO 有 8 个 <111> 方向的等价极化方向 (简并)，因此才有熟知的 71°、109°和 180°三种畴结构。BFO 畴组态，比之 SWC 的 YMO 更丰富，也因此更接近各向同性极化态，以利于形成 V-AV 结构。

Ramesh 是铁电 BFO 的始作俑者，他当然知道 BFO 有 8 个 <111> 极化取向、更有利于实现 V-AV。高鹏和江宇老师，亦是个中高手。这两个团队没有先期报道 BFO 的有关结果，让笔者有所疑惑。其中一个疑惑是：他们应该尝试过，但可能是 BFO 薄膜的质量尚未达到“至臻”水准^_^。

图 7. 陈德杨和陈超他们制备并用 PFM 技术“临摹”出来的几幅 BiFeO3 (BFO) 薄膜山水画。若用“美轮美奂”形容，并不过分。

上行：每一个样品都是纯粹的相，或 71o 畴、或 109o 畴、或 180o 畴。做到这一点极富挑战。

下行：沉积在不同衬底上的薄膜“相畴”结构。似乎展示出，只要有菱方相 (R)、正交相 (O) 和四方相 (T) 基元，两两搭配，陈德杨陈超他们就可以随意混搭出万水千山。Ising 有诗为证：

西风百里漫沟庐，小榭东奔正午荼

大漠横行千道岭，黄砂狂热九重伏

千岛请秋吟，风高去客尘。大畴红叶谢，极化晚霞深

静静听绝叹，戚戚隐暮音。为何天地景，要在此中淋

4.3. 陈德杨的铁电 V-AV

类似的想法，原本就出自 Ramesh 门下的、华南师范大学 IAM 的陈德杨教授同样也有。他还有一项“青出于蓝而胜于蓝”的本事：特别擅长制备高质量的 BFO 薄膜！他领导的团队，这些年已将 BFO 薄膜做到了“精美绝伦”之境，其中的铁电畴结构就像精美绘画作品一般。读者若上网浏览几篇他们的论文，即可见一斑。这里也截留他们的几幅作品，于图 7 所示。

所谓“大隐隐于市”，是指那些细心而持之以恒者，总归能在铁电的大街小巷中，找到隐藏起来的“街尾茶”、“巷子酒”、“林中轩”。果然，他和他培养的那位能干的、大个子帅哥陈超博士一起，与浙江大学计算材料学高手洪子健教授团队及其他几家科研团队密切合作，开始了此中探索。他们通过长时间摸索，将主要研究对象落定在外延沉积于 (110)-GdScO3 单晶衬底、(001) 取向的 BiFeO3 / DyScO3 (BFO / DSO) 超晶格上。笔者了解，他们为此已费时数年，效果显著。笔者虽然也是这一工作的参与者，但只是一名学习远多于贡献的老人。本文将他们的主要结果集成到图 8 中。

他们那些漂亮数据和结果，展示了如下主要线条：

(1) 物理上，PTO 和 BFO 的极化取向数目存在差异，且这种差异对涡旋组态之可能影响不小。如图 8(A) 所示，PTO有 4 个极化取向，更适合构筑 CV-CCV 阵列结构 (heterochiral vortices pairs, 异手性涡旋对)。反过来，BFO 有 8 个极化取向，更适合构筑 V-AV 阵列结构。挑选 BFO 的物理动机，是清晰明确的。

(2) 制备上，能很好控制 BFO / DSO 超晶格的周期、每一层的晶胞数 (厚度)。这是促使 BFO 内出现铁电 V-AV 的重要条件，如图 8(B) 所示。另一个重要条件是，选择 DSO 而不是 STO 作为约束隔离层。笔者的观点是，DSO 不同于 STO，除了界面晶格匹配条件之外，诱发 DSO 中出现铁电性的难度要大很多。反过来，DSO 对 BFO 铁电层亦有更好的界面约束抑制作用。这是帅哥陈德杨不同于帅哥高鹏的选项，而 STO 参与有好有坏。

(3) 结构特征上，实现了两层 V-AV 阵列错排堆叠。利用球差 TEM，可提取出超晶格中 BFO 层内 (010) 截面的离子位移，显示于图 8(C)。每一 BFO 层内，沿水平方向是 V-AV 对，沿对角线方向是 CV-CCV 对。两层 V-AV 阵列的错叠，为结构弛豫到最低能量，提供了绝好的几何配置。

陈德杨他们与合作者一起，通过不懈努力，明晰了超晶格周期和各层厚度控制是关键、衬底取向选择是关键、超晶格隔离层 DSO 选择是关键。随后，他们借助于相场方法，对实验结果进行了细致模拟，与实验观测吻合得很好。这些努力，终有所值：终于在 BFO / DSO 超晶格的 BFO 层中，实现了可控的、铁电涡旋-反涡旋 V-AV 阵列，如图 8(D) 和图 8(E) 所示。

这些努力，留给笔者的印象是：为在单相 BFO 铁电层中实现铁电 V-AV 阵列，他们在充分了解前人探索足迹和记录的基础上，也是拼了，将几乎能用上的变化全用上，终于“初步”修正正果。这是一种寻找“大隐于市”的策略。所谓“小隐隐于野，大隐隐于市”，原本是指闲逸潇洒的生活态度，这里被笔者拿来用于物理“止于至善”的追逐。

由此，笔者可以聊发少年狂：小隐于峰、中隐于前、大隐于市，这是探索物理规律的像化。小隐于峰，乃指山峰有阴影，遮挡了山峰之间的谷底，让远观者看不到山谷中的世界，因此难以确定本来面目。中隐于前，乃指前人开道拓荒、原创引领，从而定义了后来者行走的世界，也提醒后来者“这一定义”不代表全部，提醒我们山水之间没有最好、总有更好。大隐于市，即前文提及的“街尾茶”、“巷子酒”、“林中轩”，才是极品。很显然，大隐于市者，只有依靠明确的物理嗅觉和目标，才能透过那些万家灯火，定位出“酒肆人家何处”。

图 8. 陈德杨们在 BiFeO3 / DyScO3 (BFO / DSO) 超晶格中构建铁电 V - AV 阵列。

(A) 两种铁电材料： PTO 和 BFO 。在赝立方 [001] 取向下， PTO 具有四个极化取向，易于形成 CV-CCV (heterochiral vortices pairs) 。反过来， BFO 有 8 个取向，有利于形成激发能量更低的 V-AV 对。当然，这里还存在衬底选择和超晶格隔离层选择的细节考虑，但物理图像大致如此。 (B) BFO / DSO 超晶格的几何结构示意，下标 pc 代表 pseudo-cubic cell ( 伪立方晶胞 ) 。注意到，与 STO 比较， DSO 更难被近邻铁电层诱发极化；也就是说 DSO-BFO 界面对 BFO 层电极化的约束效果更好，从而防止 AV 跑到 DSO 中去。 (C) BFO 层极化分布 ( 左 ) 和拓扑涡旋形态 ( 右 ) ，这里的细小箭头表示极化、粗箭头表示涡旋 - 反涡旋矢量。沿水平方向看，是一对 V-AV 对；沿对角线方向看，是一对 CV-CCV 对。因此，BFO 层内实际上是两层 V-AV 阵列的堆叠。 (D) 超晶格的 (010) 面高分辨 TEM 相和 (E) 提取出来的铁电 V-AV 涡旋像。红色表示涡旋区域、绿色表示反涡旋区域。可以看到，涡旋形成 zig-zag 阵列，反涡旋亦形成 zig-zag 阵列。近邻涡旋的手性相反，近邻反涡旋的手性亦相反。

5.简单的结语

笔下原本艰涩，下笔即是奔放。本文写得拖拉、冗长，该是到了结语的时候。

笔者想说，铁电物理人追逐铁电 V-AV 之路，很显然还只是迈出一小步。以笔者外行之身，坐井观天几日，亦有如下感触：

(1) 目前的铁电 V-AV，依然是阵列、依然被约束，因此依然没有实现可控的运动。目前的超晶格结构，尚不知道如何运动、运动到哪里去，因此依然无法与磁 V-AV 相提并论。这是第一道挑战。

(2) 边界被约束的 BFO 层中，如图 8(E) 所示之 V-AV 队列与 CV-CCV 队列交替错排的结构特征，应该有比只有 V-AV 队列或者 CV-CCV 队列更优越之处。到底优越在哪里，尚值得讨论。

(3) 尚未看到何种新效应、新功能。涡旋中心处存在能带形变，这是可以预期的。不过，这里的形变，与高兴森的拓扑中心畴、南老师的中心四瓣畴中心处的形变比起来，估计很小。而后者，已被证明可实现导电态开关。当下的铁电 V-AV，尚未揭示出引人入胜的物理效应。没有效应，其意义就微薄。这是第二道挑战。

(4) 那些“横蛮”的边界约束，是稳定铁电 V-AV 的前提条件，但也是付诸应用的障碍。若此不能放松约束，这些结构在后续器件加工和服役时如何稳定维持？这是第三道挑战，亦可能是最有难度的挑战。

笔者大胆设想的可能效应是：

i) 涡旋芯和反涡旋芯处的介电、铁电和压电响应是不同的 (例如负电容、负压电、巨介电)，因此铁电 V-AV 是一对开关态，可以作为功能驱动。

ii) 这里的横竖 V-AV 对、对角 CV-CCV 对，都是具有四态操控功能的结构。图 8(C) 所示的结构单元，可能是一种四态运算逻辑的可能载体。

iii) 类似于 S. S. S. Parkin 的磁赛道存取器设计，只要这些铁电 V-AV 阵列可动，这类超晶格作为一种赛道功能器件，也是值得探索的。

那些聪明的物理人，那些绝顶聪明的铁电物理人，当然可以为此设计更多的功能。在此不论，是时候搁笔而茗茶了。

最后指出，本文描述可能多有夸张、不周之处，敬请读者谅解。对详细内容感兴趣的读者，可点击文尾的“阅读原文”而御览陈德杨他们的论文原文。

Emergence of polar vortex-antivortex pair arrays in multiferroic superlattices

Chao Chen(陈超), Lin Xie, Xiangwei Guo, Guofeng Liang, Zhen Wang, Yu Chen, Minghui Qin, Xubing Lu, Xingsen Gao, Guofu Zhou, Zijian Hong(洪子健), Jun-Ming Liu, and Deyang Chen(陈德杨)

Advanced Materials e01894 (2025)

https://doi.org/10.1002/adma.202501894

定风波·暮晓横行

夕向蛮荆客晚程

岭南江汉揽霞声

暮鼓发于东逝影。宁静

宛如平夜作孤行

谁把心思留独醒。乘兴

且和萍水一人倾

红茗绿华终酩酊。闲定

汗青不会应鸡鸣

(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》执行编辑。

(2) 陈德杨教授和陈超博士对撰写本文给予了诸多指点。笔者参阅过诸多网络神文名篇，包括《知乎》《百度》和《Bing》上的资料。在此谨致谢意！本文夹塞了许多笔者粗知陋见，请读者不以为意！

(3) 小文标题“大隐隐于市之极性涡旋-反涡旋对”乃宣传式的言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是针对拓扑非平庸的极性涡旋-反涡旋对之实验观测作一些感性议论。所谓物之惟理，理韵怀诗。

(4) 文底图片乃加州那座雕塑绘画 Getty 博物馆 (20250319)。远处是太平洋，下面是涡旋、涡旋、涡旋，而陈德杨曾经在加州博士联合培养。文底小词 (20250502) 原本写暮色出行。历经吴楚秦鲁，都是时兴、都是物理。这里送给继续远行的陈德杨他们，《定风波》是答案！

(5) 封面图片来自陈德杨他们论文，展示了 BFO / DSO 超晶格中的涡旋-反涡旋阵列。

本文转载自《量子材料QuantumMaterials》微信公众号

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