反套路几何最值——2025年浙江省中考数学第24题

反套路几何最值

2025年浙江省中考数学第24题

几何最值问题从我们学习基本的几何概念时就已经存在了，例如在比较线段长短、角度大小时，新人教版七年级上册学习了线段基本事实：两点之间，线段最短，下册又新添了垂线段最短，以及由此推导出更多的关于几何最值的结论，而在九年级我们学习了二次函数之后，又多了一样函数工具来求几何最值，在实际解题过程中，围绕上述工具及其衍生出的各种最值模型，也是各地中考命题常用的素材，所以各种解题套路层出不穷，若仅仅只是机械训练，而不去深入理解这些最值问题，一旦遇到反套路命题，便只好望题兴叹。

题目

解析：

01

(1)菱形对角线互相垂直平分，可得AC⊥BD且点O为对角线中点，如下图：

在Rt△AOB中，OA=4，AB=5，可求得OB=4，所以sin∠BAC=3/5；

02

(2)①当EF⊥AC时，考虑到BD⊥AC，因此BD∥EF，如下图：

由BD∥EF可得∠BEF=∠EBD，由轴对称可得∠BED=∠BEF，于是∠EBD=∠BED，得到了等腰△EBD，所以BD=ED=6，最后AE=AD+ED=11；

②思路尝试一：线段差的最值最容易联想到的是三角形两边之差小于第三边，而图中恰好存在△PAB，可知PA-PB

截取PG=PB，连接BG，现在PA-PB=AG，而AG=OA-OG=4-OG，若要让AG取最小值，则OG必须取最大值，其关联的线段OG在Rt△BOG中，但我们仅已知OB=3，至此我们通过尝试，得到一种可以将最小值转化为最大值的方法，同时在Rt△BOG中，OG的长度可通过三角函数与∠OBG产生关联，这又是新的思路；

思路尝试二：虽然未能完全走通，但这轮尝试，为我们继续探究最值问题提供了方向；

由PA-PB=OA+OP-PB=4+OP-PB，其中OP与PB位于Rt△BOP中，若设PB=x，则OP²=x²-9，意味着我们可以用含x的代数式分别表示OP和PB，从而将几何问题代数化，PA-PB=4+√(x²-9)-x，至此遇到本题难点，若将其看作关于x的函数，它并不属于初中阶段的二次函数，所以通常情况下的函数最值模型并不适用，一般来讲，走到此处的学生，面临的是一条“死胡同”；

死路变活：

当x减小时，分母值变小，从而分数值增大，导致PA-PB值减小，于是我们得到了PA-PB与x间的关联，当x取最小值时，PA-PB也取最小值；

那么x(即PB)何时取最小值呢？

若将线段PB看作点B到直线AC上的点的某条连线，理应得到当点P与点O重合时，取最小值x=3，事实果真如何？如下图：

我们作点P关于BE的对称点P'，并连接BP'，由轴对称可知，点P'始终在射线AE上，不可能与点O重合，因此前面所说的“当点P与点O重合时”事实上不成立；

由于PB=P'B，点P'在定射线AE上，点B为定点，此时可利用垂线段最短，当P'B⊥AE时，取最小值，如下图：

此时P'B看作菱形的高，利用面积法，先求菱形面积为24，再求出P'B=24/5，即当x=24/5时，PA-PB取最小值

最后，我们成功找到了PA-PB的最小值.

解题思考

继续前面探究出来的另一条新思路，通过三角函数行不行？

对于Rt△BOG，∠OBG的大小并不是随点E变化而单调变化，这从我们观察点P'的射线AE上运动时，P'B长度的变化情况可知，即使换到另一个Rt△BOP，情况依然没有发生改变，关联的角随点E远离点D，会出现变大、变小两种不同的趋势，当然，利用高中的三角函数公式可进一步化简，显然超出范围了.

即使在我们探究成功的这条思路上，分子有理化仍然不在新课标范围内，虽然勉强可以用初中知识求解，但对于学生来讲，常规常法不容易想到，多数学生在面对含根号的代数式时，放弃了进一步思考，对于能成功走到这一步的学生而言，已经达到初中范围内思维的极限了.

这道题在反套路上，的确做到了完美回避，常见的最值模型基本上都会遇到障碍，限于本人解题思维能力，暂时未能从更多角度探索解法，尤其是从纯几何角度，或许本题存在这样的引导，即用函数最值来解决.