希尔伯特空间的非物理性

近一个世纪以来，希尔伯特空间一直是量子力学的数学基石。这个由约翰·冯·诺伊曼在1930年代为量子理论所形式化的无限维抽象空间，是描述量子态及其演化的无可争议的数学工具。它是一个具有惊人数学力量和优雅性的框架，成功地支撑了科学史上经过最精确检验的理论。

然而，由Gabriele Carcassi、Francisco Calderón和Christine A. Aidala发表的一篇具有争议的论文——《希尔伯特空间的非物理性》（The unphysicality of Hilbert spaces），对这一共识造成了一次基础性的震动。他们的研究提出了一个惊人的论点：希尔伯特空间尽管在数学上极为有效，却是一个在物理上存在缺陷的构造，它允许了那些在现实中没有合理解释的态的存在。

这一论断及其引发的学术辩论，迫使我们对用以描述量子世界的语言本身，进行一次批判性的重新审视。

正统的殿堂：为何是希尔伯特空间？

要理解这一挑战的重要性，我们必须首先明白为何希尔伯特空间最初会被采纳。早期量子力学处理的是波函数 ψ(x)，这是一种复数值函数，其模的平方 ∣ψ(x)∣² 代表在位置 x 找到一个粒子的概率密度。一个基本的物理要求是，在任何地方找到该粒子的总概率必须为1。在数学上，这转化为归一化条件：

所有这类“平方可积”函数的集合构成了一个名为 L² 的向量空间。这个空间允许了叠加原理的存在，即不同的态可以相加形成新的有效态。此外，它还配备了一个内积⟨ϕ∣ψ⟩，使得计算概率和期望值成为可能。

然而，物理学家使用的 L² 空间不仅仅是一个带内积的向量空间，它是一个希尔伯特空间。将其提升到这一地位的关键定义属性是完备性。简单来说，完备性确保了空间中没有“洞”或“缺失的点”。它保证了任何逐渐逼近某个极限的态序列，其最终收敛的点确实位于该空间之内。对于数学家来说，这是微积分能够良好运作的基本属性。它确保了像微分和积分这类在薛定谔方程中至关重要的运算是定义良好且稳定的。本质上，希尔伯特空间是对物理上直观的波函数空间进行数学上便捷和稳健的“完备化”处理后得到的结果。

异端之说：揭露“非物理”的幽灵

Carcassi及其合作者的核心论点是，这种完备性的数学便利性，是以高昂的物理代价换来的。他们主张，在“完备化”空间的过程中，我们无意中引入了大量“非物理”的态——这些态是希尔伯特空间所允许的数学产物，但却永远无法在真实的实验室中被制备或测量。

他们的论证主要建立在两大支柱之上：

无限期望值问题：希尔伯特空间包含这样一些态 ∣ψ⟩，对于这些态，像位置 (X^) 或动量 (P^) 这类基本物理可观测量的期望值是无穷大的。例如，一个态可以完美地归一化（总概率为1），但其平均位置却是无限的：⟨X^⟩=⟨ψ∣X^∣ψ⟩=∞。作者们认为，这在物理上是荒谬的。任何实际的实验必然会产生一个有限的结果。一个预测测量会得到无限平均值的态，在他们看来，并非对一个可能的物理现实的描述。

幺正演化的“确凿证据”：这是该论文中最具争议的主张。作者们构建了一个具体的例子，试图论证幺正演化可以将一个“物理的”态（具有有限期望值）在有限的时间内，转变成一个“非物理的”态（具有无限期望值）。这意味着物理与非物理之间的区别不是稳定的。一个完全合理的量子系统，在自身演化下，可能会变成一种物理上毫无意义的状态。这是一个深刻的指控，暗示了数学形式主义不仅是过于包容，而且在动态上与物理原理不一致。

作者们将这个问题的根源直接追溯到完备性。那些行为良好、符合物理直觉的态（如光滑、速降的函数）构成了希尔伯特空间的一个稠密子集，但希尔伯特空间也包含了它们的极限点。正是在这些极限点——那些为了“填补漏洞”而添加进来的态——之中，潜藏着无限期望值的幽灵。

尽管论文的主要目的是“提出问题”而非“解决问题”，但作者也提出了一些可能的替代方向。他们特别提到了施瓦茨空间。施瓦茨空间的一个优良特性是，其中的所有函数（态）及其傅里叶变换都必须是速降的，这保证了所有位置和动量的多项式期望值都是有限的。这在物理上似乎是一个更受欢迎的特性。

反驳之声：为数学的细节辩护

物理学界并未对这一挑战置之不理，几篇评论文章应运而生。批评者认为，Carcassi等人误用了算符定义域的概念。一个代表可观测量（如 X^）的自伴算符，并非对希尔伯特空间中的每一个态都有定义。它只在态的一个特定子集——即它的定义域——上有良好定义。反驳的关键点是，要使幺正演化 U(t)=e^{−iH^t/ℏ} 对于一个可观测量 X^ 是良好定义的，初始态 ∣ψ(0)⟩ 必须同时位于哈密顿算符 H^和 可观测量算符 X^ 的定义域内。

根据批评者的说法，Carcassi等人在其例子中选择的态，虽然是希尔伯特空间中的一个有效态，但对于所讨论的问题而言，它并不在正确的定义域内。本质上，批评者坚称，希尔伯特空间形式主义的数学规则，在被严格应用时，已经防止了该论文声称可能发生的情景。一个以有限的 X^ 期望值开始的态，在幺正演化下将始终保持有限的期望值，前提是该态从一开始就位于正确的定义域中。他们认为，那种“非物理”的演化，是一个不当数学设置所导致的人为结果。

哲学的共鸣：数学、物理与现实

无论最终谁在具体的数学细节上是正确的，这场辩论本身都极具价值。它揭开了数学形式主义与物理现实之间通常不太安稳的关系的幕布。数学仅仅是描述物理的一种语言，还是我们数学工具的结构在主动地塑造我们对宇宙的理解？

希尔伯特空间是数学优雅与力量的典范。其完备性使其成为一个优美、自洽的系统。而Carcassi等人的论文则有力地提醒我们，数学的优雅并非通往物理真理的绝对指南。它倡导了一种形式的物理实在论，要求我们的数学对象必须具有清晰、有限且在操作上有意义的解释。

总而言之，关于希尔伯特空间物理性质的争议，已超越了一场技术性的争吵。它是对量子理论灵魂的根本性探问。尽管他们的具体主张可能会被更审慎的现有数学框架应用所反驳，但他们的论文已经成功地完成了其最重要的任务：它迫使物理学界从量子力学的宏伟殿堂上俯身，审视其赖以建立的地基。它提醒我们，在科学中，没有任何基础是神圣到不可被质疑的。