轨道空间、高阶Dagger结构与幂等元

轨道空间、高阶Dagger结构与幂等元

Orbifolds, higher dagger structures, and idempotents

https://arxiv.org/pdf/2504.17764

1引言

拓扑量子场论（TQFT）在纯数学和理论物理中有着广泛的应用，已成为合作与交叉融合的熔炉。最简单的非平凡例子是格点或状态和模型，通常被认为是目标为向量空间范畴Vect的普通范畴化的完全扩展TQFT。在二维情况下，对于定向理论，这是一个定理：非扩展状态和模型提升为在2-范畴代数、双模和交织子中的扩展TQFT，参见文献[SP; Hes]。在三维情况下，[DSPS]的结果强烈表明Turaev–Viro–Barrett–Westbury模型提升为完全扩展TQFT，缺陷如[Meu; CM1]所述。自然会问这在各个方向上如何推广，包括推广到除定向之外的切向结构。

标准的态和构造可以迭代地在维度中进行，如[GJF]或[CM1，第1节]中所解释的。这可以自然地被认为是特定缺陷TQFT内部的，该TQFT在最高维度上是平凡的，并由低维状态和模型在适当缺陷上确定。我们称这种缺陷TQFT为“平凡”的。例如，在二维中，平凡缺陷TQFT的线缺陷可以是任意有限维向量空间，点缺陷是线性映射。在一般维度中，定向态和构造对于每个流形M进行四个步骤：（1）选择M的子流形分解（例如三角剖的对偶），（2）为每个与所选分解兼容的j维子流形选择缺陷标签Aj，（3）用平凡缺陷TQFT评估由此得到的缺陷流形，（4）对所有分解选择取极限。最后一步对数据Aj施加有限数量的定义条件。

在一维（其中定向和框架等价）中，这相当于指定一个普通幂等（在Vect中）来描述一维封闭状态和模型，以及Vect的幂等完成（即Vect本身）来描述一维缺陷状态和模型。同样，在二维中，该过程导致熟悉的代数输入数据（∆-）可分离对称Frobenius代数用于封闭定向状态和模型，以及它们的中心Morita 2-范畴来描述缺陷状态和模型。根据相关的切向结构和/或语义约定，状态和构造推广到任意缺陷TQFT（如[CRS]中引入的，而不仅仅是上述“平凡”的）称为“轨道完成”[CR1; CRS]或“凝聚完成”[GJF; JF]。前者已为任意维度的定向非扩展TQFT开发（参见[Car]的综述），而后者是针对框架完全扩展TQFT的。在任何情况下，构造自然地归结为幂等完成的范畴化，即n-范畴（具有额外结构），其中n是环境缺陷TQFT的维度。这些完成的n-范畴的对象是幂等本身的范畴化（对于n = 2，这些是框架情况下的∆-可分离Frobenius代数，以及定向情况下的∆-可分离对称Frobenius代数），而态射是适当的双模及其（高阶）映射。

在第3.1节中，我们回顾了n = 1和n = 2的更多细节。

自然会问，对于任意切向结构，是否需要一种轨道或凝聚完成构造的变体。解决这个问题的一种方法是拓扑和组合性质的，即系统地研究允许的单元分解（如对偶三角剖）与所选切向结构之间的相互作用。我们不在这里追求这个方向。另一种选择是纯代数的，由[Lur]的 cobordism 假设建议：框架情况下的范畴代数在某种意义上是基础的，对于任何其他切向结构，应该取适当的同伦固定点。这与[FHJFKMNPRSSV]关于“G-volutive n-范畴”的工作（这个名字来源于对于G = O(1)它们与involutory结构密切相关，见下文），以及[Wal3]建议切向结构G的状态和模型与“G-中心结构”之间的关系，是我们本文四个主要灵感来源中的三个。

约定。我们将双范畴（bicategories）、拟函子（pseudofunctors）等称为 2-范畴、2-函子等，且通常将高阶范畴中的等价称为同构。偶尔，我们将具有固定选取的对偶和各级伴随的（单幺、高阶）范畴称为刚性的（rigid）。在填充粘贴图（pasting diagrams）时，我们在标记上允许一定的灵活性，参见注释 2.41。关于高阶 dagger 结构的约定，见脚注 1。

2 Dagger 结构及其推广

在本节中，我们回顾并介绍了来自群O(1)、SO(2)、O(2)以及自旋群的上同调作用的1-和2-范畴的高范畴。特别是，我们展示了（或给出了详细概述）“G-volutive 2-范畴”及其更严格/dagger变体的3-范畴，其中G是上述群之一。我们还描述了（部分猜想的）严格化3-函子作为遗忘3-函子的右伴随。大多数例子推迟到第4节。

2.1 Dagger 范畴

2.2.2 Dagger 情况

这连同1-和2-态射层面上源和目标的分配根据定义是相同的这一事实，使我们能够将2-变换U(B,S)定义为平凡的，因此是Spin(2)r-对合的。通过类似的论证，我们也可以将U的3-态射分量设为平凡的。这就完成了伴随单位的构造。

第二步：伴随的下一部分是余单位，它是一个3-变换：

2.3 O(1)-对合2-范畴

在本节中，我们遵循与第2.2节类似的程序，将Spin(2)r替换为O(1)。我们给出关于“O(1)-对合2-范畴”相关的3-范畴的一些（但不是全部）细节，以及O(1)-对合2-范畴的3-范畴和它们之间严格化3-函子的细节；另见[SS; FHJFKMNPRSSV]。

2.3.1 对合情况

2.4 O(2)-对合2-范畴

本节与第2.3节类似，将O(1)替换为O(2)。我们提出O(2)-对合2-范畴的基本结构，并讨论严格化。

2.4.1 对合情况

3 轨形的代数描述

在本节中，我们回顾、重新表述并提出了幂等完备性的几种范畴化。在第3.1节中，我们简要回顾了任意1-范畴的情况以及适用于任意2-范畴的一种范畴化。范畴化不是唯一的，人们预期会存在与不同切向结构相关的不同变体。在第3.2节中，我们回顾了O(1)-对合1-范畴的幂等完备性，解释了它如何限制为对合范畴的结构保持幂等完备性，并展示了它如何与第2.1节中的伴随2-函子SO(1)和TO(1)相互作用。沿着同样的思路，我们在第3.3节和第3.4节中分别描述了G-对合2-范畴的幂等完备性，其中G为旋量群和O(2)。对于G = SO(2)，我们解释了这种系统方法如何恢复（欧拉完备的）轨形完备性，而对于O(2)，我们因此产生了一个“（欧拉完备的推广）O(2)-幂等完备性”的候选者。

3.1 幂等完备性

在第3.1.1节中，我们回顾了1-范畴幂等完备性的基本定义和性质。在第3.1.2节中，我们回顾了幂等性和幂等完备性的一种特定范畴化，即被认为对应于2-框架的范畴化。

3.1.1 1-范畴的幂等完备性

回想一下，幂等是一个自同态，其平方等于自身。

从2-范畴的3-范畴到幂等完备2-范畴的全子3-范畴，参见[Déc]。

以下是通过定义的比较得出的结论，解释了欧拉完备化的概念如何融入我们的框架。我们注意到，我们的理论立即暗示了对情况的推广。

4. 示例与应用

这意味着我们的构造专门重现了对称单子枢轴2-范畴，该2-范畴支配二维定向状态和模型（带有缺陷），见[FHK]中的封闭情况、[LP]中的开闭情况以及[Car]中的一般缺陷情况。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2504.17764