(∞, n)-范畴的Gray张量积 THE GRAY TENSOR PRODUCT OF (∞, n)-CATEGORIES

THE GRAY TENSOR PRODUCT OF (∞, n)-CATEGORIES

(∞, n)-范畴的Gray张量积

https://arxiv.org/pdf/2311.00205

摘要

在本文中，我们利用作者关于(∞, n)-范畴的粘贴定理，为所有 n ≤ ∞ 构造了(∞, n)-范畴的新模型，这些模型是定义在某些计算图（computads）范畴上的预层。在这些新模型中，有一些有助于通过Day卷积和反射来构造(∞, n)-范畴的Gray张量积，我们在此完成了这一构造。在构造出(∞, n)-范畴的Gray张量积之后，我们通过若干模型无关的泛性质对其进行了刻画。

引言

在本文中，我们应用 [Cam23] 中的粘贴定理，为所有 n ≤ ∞ 构造了 (∞, n)-范畴的新模型，这些模型是定义在某些计算图（computads）范畴上的空间预层，并且我们相当明确地描述了相应的局部化。这项工作应与 [BSP21] 或 [Hen18] 中发现的各种 (∞, n)-范畴的预层模型进行比较。作为应用，对这些局部化的良好控制使我们能够通过 Day 卷积和反射，相当直接地构造 (∞, n)-范畴的 Gray 张量积，这是对严格 n-范畴文献中结果（[AL19]）的直接应用。随后，我们通过若干模型无关的泛性质来刻画所得到的 Gray 张量积（这些性质尤其不依赖于我们用来构造 Gray 张量积的具体位点）。

背景。 严格 2-范畴的 Gray 张量积由 [Gra74] 引入，用于研究松弛自然变换。它是严格 2-范畴的 1-范畴 sCat₂ 上的一个幺半双闭结构 ⊗，使得左（或右）内函子 JA, BK 的对象是严格 2-函子 A → B，1-态射是松弛（或上松弛）自然变换，2-态射是修饰（modifications）。该幺半结构的单位元是终范畴 ₀，且 Ob(A ⊗ B) = Ob A × Ob B。箭头范畴 [1] 的前几个 Gray 张量幂如图 1 所示。Gray 的构造后来通过粘贴图（pasting schemes）[Cra95]、立方体 ω-范畴 [AABS02] 和增广有向复形 [Ste04] 被推广到严格 ω-范畴的范畴 sCatω 上。[AL19] 中证明，严格 ω-范畴上的“民俗”模型结构 [LMW10] 对于 Gray 张量积是幺半的。在此框架下，[1]⊗ⁿ 是一个松弛的 n 维立方体；这些称为 Gray 立方体 ⁿ = [1]⊗ⁿ，它们的集合构成了 Gray 立方体范畴 = {ⁿ | n ∈ N}，形成严格 ω-范畴的 1-范畴 sCatω 的一个幺半子范畴。

多位作者已为一般 n ∈ N ∪ {ω} 的 (∞, n)-范畴的 ∞-范畴 Catₙ 构造了相关的幺半结构。关于此更全面的讨论可参见 [CM23] 的引言，但此处我们指出，可加模型（complicial model）[Ver08] 和 可加模型（comical models）（[CKM20]、[DKM23]）都具有“Gray 张量积”，并且在 [DKM23] 的比较下，它们至少在双函子层面上是一致的。得益于 [Lou22]（在二维情形下为 [GHL22]）和 [DKM23] 的工作，这些模型还被与 [BSP21] 意义下的泛模型（universal models）进行了比较。相关的组合学也在迭代完全 Segal 空间中被 [JFS17] 详细研究过，但该工作尚未与其他 Gray 张量积模型进行比较。此外，针对二维情形也有大量有趣的研究——例如 [GR17]、[Mae21]、[GHL21]、[CM23]。本文在精神上与 [CM23] 相似。

展望。 然而，关于 (∞, n)-范畴的 Gray 张量积，仍有许多问题有待理解。目前，对于 n ≥ 3，文献中唯一的构造存在于可加模型（complicial）和可加模型（comical）中。这些构造可以通过 [Lou22] 的比较转移到其他模型，但更理想的是在这些其他模型中拥有更“原生”的构造。此外，将这种“Gray 张量积”称为“the Gray 张量积”的理由尚有些薄弱。例如，目前尚无已知的比较来证明这种“Gray 张量积”与严格 n-范畴的通常 Gray 张量积是一致的。在二维情形下，[Mae21] 通过从一类严格 2-范畴上的通常 Gray 张量积向上扩展，构造了一个“Gray 张量积”，解决了这些不足。[CM23] 进一步证明，这个“Gray 张量积”可以从点集层面下降到 Cat₂，并具有若干相关的泛性质。其一，它是从 Gray 立方体的通常 Gray 张量积唯一扩展而来的幺半双闭结构；其二，从 Cat₂ 出发的连续、强幺半函子，等价于从 Cat₂ 出发的连续函子，再加上其在 Gray 立方体上的限制所具有的强幺半结构。这些泛性质并不提及 [Mae21] 中 Gray 张量积的具体构造，但它们的证明得益于 [Mae21] 提供的知识：该“Gray 张量积”可以被构造为 Gray 立方体上通常 Gray 张量积的 Day 卷积的 Day 反射。

本文工作。 在本文中，我们执行了与 [CM23] 类似的计划，但在任意维度上进行：我们构造了 Gray 张量积，然后给出一个脱离具体构造的抽象刻画。我们证明：

我们称这种幺半结构为 (∞, n)-范畴的 Gray 张量积。定理 A 告诉我们，(∞, n)-范畴的 Gray 张量积存在，并且由其在 Gray 立方体上的限制唯一确定。以下几点需要说明。

备注 1.36. 原则上，这里介绍的四个参数——类别层次、截断层次、Rezk 完备性层次和共导完备性层次——都可以由一个多层而不是单个层次来索引。第 2 节的结果在这里也同样适用。我们不排除这些更一般的局部化可能是有趣的，但除了我们实际考虑的情况外，它们不会是 Gray 张量积的指数理想，在这些情况下，我们局部化的映射类在悬垂下是稳定的（命题 3.9）。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2311.00205