山西
一、题目
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D为AC中点，连接BD，点E为BA延长线上一点，连接CE.若∠ACE=∠ABD，EC=27，则AE的长为______
二、分析与解答
△ABC是一个特殊的等腰三角形，它可以看作由2个含30°的直角三角形组成
底角是30°的等腰三角形，底是腰的√3倍.建议把这个特殊三角形的三边关系记住.
不知道这个特殊的三角形也没关系，只要你知道等腰三角形最常用辅助线是三线，遇特殊角通常要构造特殊三角形，也很容易得出△ABC的三边关系.
有了△ABC的三边关系，D是中点，∠DAB=30°，在△DAB中已知两边关系和夹角，不难求出三边关系
由∠ABD+∠DBC=∠ACE+∠E=30°，可得∠E=∠DBC
已知中只知道CE边的长，所以优先选择构造含CE边的相似三角形.
解法一：过点D作DF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AC，交CA延长线于点G
设DF=a，则AF=√3a，AD=2a，AC=4a，AB=√3AC=4√3a，BF=3√3a
由勾股定理，得 BD=2√7a，△BDF三边比为1:3√3:2√7
∵△CEG∽△BDF，CE=2√7 ∴EG=1
∵∠EAG=30° ∴AE=2
解法二：过点D作DF⊥AB于点F，过点D作DG//BC，交AB于点G
设DF=a，则DG=2a，BG=2√3a，BD=2√7a
△CAE∽△BGD，AE=CE/√7=2
解法三：过点D作DF⊥AB于点F，过点D作DG//AB，交BC于点G
设DF=a，则BG=2a，DG=2√3a，DB=2√7a
△CAE∽△DGB，AE=CE/√7=2
解法四：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG//AB，交BD延长线于点G
设DF=a，则BD=2√7a，AB=4√3a，BC=4a
△ABD≌△CGD，CG=AB=4√3a，DG=DB=2√7a，BG=4√7a
△BCG∽△EAC，AE=CE/√7=2
三、小结
1、遇等腰三角形，作三线
2、遇特殊角，构造特殊三角形
3、遇中点，构造特殊三角形的中线、中位线、8字全等
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