2025山西百校联考（一）数学15题（共边、等角、等腰）

一、题目

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4.在BC的上方作△BCD，使BD=BC，BD交AC于点E.若∠D=∠A，则AE的长为_______.

二、分析与解答

1、拓展已知条件

AB=2，BC=4，由勾股定理，可得AC=2√5

BC=BD=4，△BCD中作CD边或BC边上的高，易得CD=8/√5

（不写成8√5/5是因为中间过程8/√5更简洁，计算可能会更简单）

由两角相等可得△ABE∽△DCE

由∠A=∠D可联想到四点共圆

2、不同解法

（1）相似+方程组

过点B作BF⊥CD于点F

由tanD=tanA=2，BD=BC=4 可得DF=4/√5，CD=2DF=8/√5

设AE=x，DE=y，则BE=4-y，CE=2√5-x

∵△ABE∽△DCE ∴AB/DC=AE/DE=BE/CE

即2:8/√5=x:y=(4-y):(2√5-x) 解得x=6√5/11

（也可以一开始就把DE用AD表示，则只需要设x解方程即可）

（2）四点共圆+歪8双相似

∠BAC=∠BDC，同侧等角，四点共圆

∴∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，AD=6/√5

∴△ADE∽△BCE ∴DE/CE=AD/BC=3/(2√5)

∵△ABE∽△DCE ∴AE/DE=AB/DC=√5/4

∴AE/CE=3/8 ∴AE=3/11AC=6√5/11

（3）勾股定理+正8相似

过点D作DF⊥BC于点F，交AC于点G

设CF=x，则BF=4-x，DF=2x

在RT△BDF中，由勾股定理，得

(2x)^2+(4-x)^2=4^2 解得x=8/5(取正)

∴CF=8/5，DF=16/5，GF=4/5，CG=4√5/5

∴DG=12/5，AG=6√5/5

∵△ABE∽△DGE ∴AE/GE=AB/GD=5/6

∴AE=5/11AG=6√5/11

（4）解三角形、三角函数

在△ABE中，tanA=2，AB=2，只要求出tan∠ABE，就能解出AE

可以在方法3的基础上，由∠ABE=∠BDF，得出tan∠ABE=3/4

也可以由∠ABE=∠DCE，用几何法直接求出tan∠DCE

CF、FG、DG长不必按实际长度计算，只要符合tan∠DCF=2，tan∠GCF=1/2即可

过点E作EH⊥AB于点H（为了方便，单独把这个三角形画出来）

在RT△EAB中，tanA=2，tanB=3/4，AB=2

设AH=3m，EH=6m，BH=8m

则AB=11m=2，m=2/11

AE=3√5m=6√5/11

也可以在△BCE中，由tan∠EBC=4/3，BC=4，tan∠BCE=1/2，先求出CE，再求AE.解法类似，不再赘述.

（5）12345模型+相似

tan∠BDC=tanA=2，tan∠DBF=1/2

由12345模型，知tan∠GBC=4/3

∴CG=4/3BC=16/3

∵△ABE∽△CGE ∴AE/CE=AB/CG=3/8

∴AE=3/11AC=6√5/11

（6）解析法（坐标法）

直线BD解析式为 y=4/3x

直线AC解析式为y=-1/2x+2

联立方程组，得x=12/11，y=16/11

∴E(12/11,16/11) ，A(0,2)

由两点间距离公式，可得 AE=6√5/11

三、小结

1、等腰最常见辅助线——三线（通常作高）

2、歪8相似侧边已知通常需要解方程组

3、构造相似时，优先构造正A正8相似，避免构造歪A歪8相似，因为通常前者计算量较小，比如本题中的方法3和方法5计算量就明显小于方法1.

4、当存在互相垂直的边，且建立平面直角坐标系后，各点的坐标容易求得的前提下，可以尝试用解析法，但通常情况下，解析法计算量会更大.