山西
一、题目
如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为_______.
二、分析与解答
题目所给条件中，最特别的有两个：等腰和二倍角，由等腰容易想到作底边上的中线，由二倍角容易想到作角平分线，把这两个最容易想到的辅助线作出来，就得到了第一种方法.
解法一：过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过点D作DF⊥AE于点F.（此处作的是垂线，作角平分线也可以，看个人习惯与喜好）
易证△ADF≌△GDF≌GBE ∴AF=FG=EG=1/3AE=4/3
又DF=CE=1/2BC=3，由勾股定理可得AD=√97/3
二倍角除了作角平分线外，还可以想到构造等腰三角形顶角的外角，于是就有了第二种方法.
解法二：过点A作AE⊥BC于点E，分别延长AD、BC，交于点F.
由∠ADB=2∠DBC和∠ADB=∠DBC+∠DFC，可得∠DBC=∠DFC
∠ADB正好是等腰△DBF顶角的外角
AE=4，CE=3，CF=BC=6
△FDC∽△FAE，DC/AE=FC/FE=6/9=2/3
DC=2/3AE=8/3，DF=2√97/3，AD=√97/3
由二倍角还能想到把小角加倍构造等角.
解法三：过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过点B作BF//AD，交AE延长线于点F
易证△BGF≌△DGA，EG=1/2FG=1/2AG
3EG=4，EG=4/3，BE=3，BG=√97/3=BF=AD
BF也可以与DC延长线相交
证法类似，不再赘述.
解法四：构造猪蹄模型
过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD，交CD延长线于点F
易证△ADF∽△BDC，且相似比为1：2
∴DF=1/3AE=4/3，AF=CE=3，AD=√97/3
三、小结
二倍角算是比较常见的类型，在中考模拟题中经常出现，比如2025金标卷中就曾出现过.
以下是几种常见的处理方法：
1、平分大角，作二倍角的平分线
2、等腰外角，构造等腰三角形顶角的外角
3、加倍小角，把一倍角翻倍
4、猪蹄模型，构造猪蹄型上下相似
分别对应本题的四种解法.
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
