三量子比特纯态局域幺正分类的若干注记

Some Remarks on the Local Unitary Classification of Three-Qubit Pure States

三量子比特纯态局域幺正分类的若干注记

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf

摘要

多体纠缠的表征通常是一项具有挑战性的任务。对于三量子比特系统而言，纠缠多面体（entanglement polytope）尤其有用，因为它允许从几何的角度对相关的非局域性质进行定性分析。在本研究中，我们通过数值方法表明，对于三量子比特系统，某些纠缠类别与纠缠多面体中的特定区域之间存在对应关系。

1. 引言

纠缠是多体量子系统的一个基本特性，使得其中每一个组成部分的性质无法独立于其他部分来描述[1,2]。近年来，人们在纠缠的产生、识别和操控方面做出了一些努力[3]。事实上，这种资源的一些实际应用也已经实现。然而，仍然存在一些需要克服的挑战。涉及的子系统越多，纠缠的表征就越复杂[4]。例如，随着组成成分数量的增加，会出现许多不等价的纠缠类型，因此区分这些类型构成了一个基本问题[3]。另一方面，已知两个具有相同纠缠量的量子态在局部幺正变换下是等价的[5]。因此，可以通过对应的轨道来进行分类。例如，在三量子比特纯态的情况下，等价类由五个连续参数标记，因此纠缠分类涉及大量的内容[6,7]。不过，可以根据这五个参数所决定的纠缠性质将态矢量进行分组。相比之下，如果使用随机局域操作和经典通信（SLOCC）的标准进行分类，则仅存在两种纠缠类型[8]。

一种解决分类问题的方法是通过纠缠多面体来进行。对于多量子比特纯态，发现单个量子比特约化密度矩阵的最小本征值满足所谓的多边形不等式（polygon inequalities）[9]。对于三量子比特系统，这些不等式决定了一个三维空间中的多面体。该方案提供了一种仅通过确定局域谱来见证和分类多体纠缠的判据，因为关于非局域性质的信息被编码在这个凸体中[5,10,11]。本文旨在利用这一理论框架，进一步加深对三量子比特纯态在局域幺正变换下的分类的理解。为此，我们通过数值方法实现了纠缠的局域幺正类型与多面体中某些区域之间的对应关系的识别。

本文的结构如下：
在第2节中，我们重新回顾纠缠多面体（entanglement polytope）的理论。我们将介绍其定义不等式，并考虑一些代表性三量子比特纯态的几何图像。
在第3节中，我们回顾了局域幺正纠缠分类（local unitary entanglement classification），并展示了通过数值方法识别它们在多面体上的对应投影。
最后，第4节给出了本文的一些结论与展望。

2. 三量子比特纠缠多面体

我们考虑一个由三个两能级系统 A、B 和 C 组成的系统。这样的系统由一个纯态 |ψ⟩ 描述，该态属于希尔伯特空间。在计算基矢下，该态可以表示为：

对于这些态矢量，计算出了最小三元组 (λA, λB, λC)T，并发现第一个态的图像位于点 ~λW = (1/3, 1/3, 1/3)T 处，而 GHZ 态则位于图 1 中的顶点 G 处。另一方面，双可分态 |ψAi = |φAi ⊗ |φBCi、|ψBi = |φBi ⊗ |φACi 和 |ψCi = |φCi ⊗ |φABi 分别位于边 SA、SB 和 SC 上。代表性的态矢量将在下一节中介绍。

当我们关注一个纯态的纠缠性质时，这一框架构成了一种优雅且强大的工具，仅通过确定局部谱（即无需测量各部分之间的任何关联）即可检测多体纠缠，而测量这些关联通常需要大量的实验工作 [3, 11]。当然，在我们的情形中，可以通过将一个纯态在最小特征值空间中的图像定位，来探测真实三体纠缠的存在，因为多面体（polytope）中的某些区域只与特定类型的纠缠相容 [10, 11]。例如，当我们考虑在随机局域操作和经典通信（SLOCC）下具有等价纠缠的态时，即那些可以以有限成功概率相互转换的态，存在两种类型的三体纠缠：W 型和 GHZ 型 [8]。在前一种情况下，代表态矢量是 |Wi，见公式(3)，属于此类的态会被投影到四面体 SABC 内。另一方面，GHZ 类型的态覆盖整个多面体，其代表态矢量为 |GHZi，见公式(4)。该方法已在光学系统中实现了实验验证，结果表明它在识别不同纠缠类型方面非常有效，相比完整的层析重建所需资源更少 [3]。

在下一节中，我们将考虑三体纠缠的一种更细致的分类，这种分类是通过考虑局域幺正变换得到的。在这种情形下会出现无限多种纠缠类型，然而，可以根据一些局域幺正不变量的取值将态进行归类，这些不变量决定了它们的纠缠性质。我们发现，这个非常直观的几何框架有助于深入理解这种态的分类。

3. 纠缠的局域幺正等价类的几何视角
我们称两个处于同一 Hilbert 空间中的态矢量 |ψ⟩ 和 |ϕ⟩ 在局域幺正操作下等价，如果存在局域幺正矩阵 {Ui} 使得：

我们的目标是将任意态矢量转化为一种最简形式（minimal form），使得当且仅当两个态矢量的最简形式相同时，它们才是局域幺正等价的（简称为 LU 等价）[1]。在当前情形下，任何三量子比特纯态都可以被转化为一种最简形式，其中每一个态矢量可以唯一地表示为五个正交基矢直积态的线性组合。实际上，通过局域幺正变换，方程(1)中的态可以写成如下形式 [6, 7]：

到目前为止，我们已经展示了三量子比特纯态的局域幺正等价分类，以及它们在最小特征值空间中的图像可视化。从我们的分析可以看出，某些类型包含两个或更多具有相似纠缠性质的代表性态矢量。例如，在图 2a、2d 和 3d 中可以明显看出这一点。

此外，该多面体（polytope）不仅提供了关于子系统的谱性质的信息，还可以告诉我们哪些纠缠类能够产生两体纠缠（bipartite entanglement）。

对于 第1类 ，其图像位于原点，因此每个子系统的最小特征值均为零。

对于 第2a类 ，可分的子系统对应的特征值始终为零，而另外两个部分的特征值相同。

对于 第2b类 ，所有子系统的最小特征值都相同，因此其图像位于线段 SG 上。此外，这类态无法通过测量获得两体纠缠，因为一旦任何一方进行测量，纠缠就会被破坏。从几何上看，这一特性一目了然，因为我们不能任意接近那些双可分态所在的边。而对于 第3a类 ，则可以从这类态中获得任意两个子系统之间的两体纠缠。例如，若 A 测得其子系统处于态 |1⟩，则可以确定 B 和 C 共享一个纠缠态；若 A 的子系统处于态 |0⟩，则 A 可以确定其他两方之间没有纠缠（这一性质也在文献 [6] 中被提及）。

第3b类 是一种有趣的类型。观察态 (13)，通过类似的分析可知，可以获得 BC 之间的纠缠，但无法获得 AB 或 AC 之间的纠缠。从图 2d 可以立即看出，该态的图像位于四面体 SAG 内部，因此我们可以任意靠近边 SA，但不能靠近 SB 或 SC。同样地，该图还表明，从态 (14) 和 (15) 分别只能提取出 AC 和 AB 之间的纠缠。

第4a类 可以提取任何形式的两体纠缠。该类态图像的一个有趣特性是它们更集中于线段 SG 周围。

至于 第4b类 ，从图 3c 和 3d 可见，从态 (17) 可以提取 BC 和 AB 的纠缠，但无法提取 AC 的纠缠；而态 (18) 则不能提取 AB 的纠缠。

对于 第4c类和第4d类 ，可以提取所有类型的两体纠缠，并且这些态也更集中于线段 SG 周围。

值得一提的是，直到第4a类为止，局域幺正等价分类与纠缠多面体之间的对应关系已在文献 [10] 中有所报道。本文进一步包含了对第4b至4d类的研究。

4. 结论

本文简要回顾了纠缠多面体理论以及三量子比特纯态的局域幺正等价分类。通过数值方法，我们实现了在所谓的最小特征值空间中对每种纠缠类型的可视化呈现，从而识别出这些类型与多面体中特定区域之间的对应关系，进一步加深了我们对局域幺正等价分类的理解。

更具体地说，我们的结果表明，这一框架被证明是一个合适的工具，可用于：

(i) 获取共享同一三量子比特纯态的子系统的谱性质信息；
(ii) 判别不仅关于整体纠缠、也关于给定量子态中所包含的两体纠缠的信息。

未来的研究方向可以包括对多面体的旋转和反射对称性的研究。另一方面，还可以在这个三维空间中基于欧几里得距离定义度量，从中提取有关纠缠程度的定量信息 [11]。此外，我们也可以探讨在这种几何框架下如何操控纠缠。这些方向上的研究成果将在其他文献中另行报道.

原文链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf