新四面体诞生，证实了数十年前的猜想

四面体：最极限的稳定挑战

四面体是最简单的多面体形状——它仅由四个三角形的面组成。然而，这个简单的形状，却依然笼罩着许多未解之谜。

例如，1966年，著名数学家约翰·康威（John Conway）与理查德·盖伊（Richard Guy）就共同提出一个问题：是否有可能用一种密度均匀的材料构造出一个四面体，使其只能在其中一个面上保持平衡？这种无论以哪个姿态落地，最终都会翻转到那个唯一稳定的面的四面体，被称为单稳态四面体（monostable tetrahedron）。

几年后，康威与盖伊亲自给出了答案：在重量均匀分布的前提下，是不可能构造出这样的四面体的。之后，他们抛出了一个新的问题：如果允许重量不均匀分布，又会怎样呢？

近日，一项新的研究首次展示了这种单稳态四面体的首次实物验证。由于它独特的“自动翻正”特性，研究人员依据匈牙利语中意为“倾倒”的“billen”，为它取了名为“Bille”的绰号。

从康威的设想到理论验证

在康威提出这个问题的时代，他所能依靠的工具只有笔和纸，因此他只能通过抽象的数学推导，来设法证明单稳态四面体可能存在。但要真正找到一个具体的实例，几乎难如登天。

但现在，数学家们可以利用计算机对海量的几何形状进行搜索。2023年，数学家Gábor Domokos与他的合作者通过计算机程序找到了一个满足条件的四面体，其四个顶点的坐标明确可知，只要对其质量分布进行特定配置，就能使其成为一个单稳态四面体。

在找到了一个单稳态四面体的实例后，研究人员想知道，这是否意味着还有其他可能的形状也具备这种特性？于是他们在后续的研究中进一步证明了：只要一个四面体具备特定几何特征，并且其质心恰好落在原始四面体内部的一个被称为“载荷区”的区域内（一种体积更小的四面体区域），它就可以实现单稳态。

首个单稳态四面体模型：Bille！

接下来，研究人员并不满足于这样的单稳态四面体只存在于理论，而是想要把它们变成真实存在的物体。可是，当他们付诸行动时，才发现在抽象的数学世界中，要在四面体的“载荷区”和其余部分之间实现不同的重量分配并不困难，但在现实世界中却面临巨大挑战。

这是因为，尽管理论上存在多个可行的单稳态四面体，但其中有些方案在物理上几乎无法实现，因为它们对材料密度的要求过高——甚至超过太阳核心的密度。

在经过进一步的重重搜索后，他们聚焦于一种相对可行的单稳态四面体形状。但即使如此，这个四面体中某个部位的密度也必须是其他部分的约5000倍。此外，所用材料还必须足够坚硬——如果采用轻薄、容易弯曲的材质，就会破坏整体结构的稳定性。

最终，他们设计出了一个基本中空结构的四面体：主体由轻质碳纤维骨架构成，仅在一小部分加入了比铅还致密的碳化钨。为了最大限度地降低其余部分的质量，甚至连碳纤维本身都被设计成中空的。

依据这个蓝图，他们终于展示了首个成功的单稳态四面体模型——Bille：它重120克，最长边长达50厘米。为了确保它能正常运作，制造过程中所涉及的质量与尺寸误差都控制在0.1克和0.1毫米以内。最终，他们的实物模型成功实现了预期功能：不管从哪个角度放置，它都会翻转回唯一稳定的那一面。

只能稳定停留在一个面上的四面体。（视频/Gábor Domokos via QuantaMagazine）

Bille的问世，让康威的猜想最终得到了证实。

Bille的意义

一个物体的面数越少，想让它从任意方向都能回到同一面就越困难。因此，作为所有多面体中面数最少的形式，四面体被视为单稳态结构中最具挑战性的形状。在这一领域，没有比让四面体实现单稳态更难的问题了。如果能在四面体上实现这一点，就有望按同样原理在任意多面体上构建类似结构。

目前，研究人员尚不明确单稳态四面体究竟能带来哪些新的理论见解，但围绕它进行的实验，或许能激发数学家提出更多关于多面体的有趣问题。与此同时，这一突破为结构设计开辟了新路径，研究人员正尝试将他们在构造过程中的经验应用到工程实践中，例如帮助设计具备自我翻转能力的月球着陆器——即使摔倒，也能自动恢复到正常姿态。

#参考来源：

https://www.bme.hu/en/news/250630/bille-monostable-tetrahedron-gabor-domokos-gergo-almadi

https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/

#图片来源：

封面图&首图：Gábor Domokos