陶哲轩三小时超长访谈：我们如何解决难题？AI将如何重塑数学？

来源：DeepTech深科技

运营/排版：何晨龙

近日，当代最著名数学家之一、菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）做客了莱克斯·弗里德曼（Lex Fridman）的播客节目。在这场长达三个多小时的深度对话中，陶哲轩分享了他对数学、物理、人工智能乃至现实本质的诸多思考。这场访谈信息量巨大，不仅探讨了诸如纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）、P/NP 问题和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）等数学领域的“圣杯”，还将话题延伸至人工智能如何重塑数学研究的未来。

图丨相关访谈（来源：Lex Fridman）

在访谈中，陶哲轩谈到了解决复杂数学问题的一种实用策略，他称之为“策略性作弊”。具体来说，就是面对一个包含多个难点的问题时，研究者会先暂时忽略大部分困难，集中精力攻克其中一个。通过这种方式逐一解决，最终再将各个部分的解法整合起来。

与此同时，陶哲轩详细阐述了他对人工智能在数学领域潜力的看法。他分享了自己使用证明助手语言 Lean 的亲身经历，并坦言，尽管 AI 目前在数学领域的能力如同一个“有时不太可靠，但能力超群”的研究生，但它正推动着数学研究范式的转变。他预言，在不远的将来（甚至有可能是 2026 年），AI 将能够与人类数学家合作发表研究级别的论文。这种合作模式将彻底改变数学的协作方式，使得大规模、分布式的数学实验成为可能。

此外，陶哲轩也谈到了他对一些著名猜想的看法。他认为孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）在未来十年内可能会有重大突破，但对于黎曼猜想，他则坦言目前尚无线索。他强调，这些难题的核心在于“结构”与“随机”的对立，而数学的本质正是在这两种看似矛盾的力量之间寻找深刻的联系。

以下是经过整理编译的对话全文

第一个难题

莱克斯：

你遇到的第一个真正意义上困难的研究级数学问题是什么？有没有一个让你真正停下来、卡住的时刻？

陶：

在本科学习中，我们会接触到一些“公认很难”的问题，比如黎曼猜想、孪生素数猜想。这些问题可以人为地制造出极高的难度——因为我们甚至知道有些问题是不可解的。但真正有趣的是那些处在“边界地带”的问题：它们不是完全绝望，但也远非轻松。现有技术可以解决其中的 90%，但最后那 10% 才是真正棘手的部分。

我想，在我读博士期间，挂谷问题（Kakeya Problem）无疑吸引了我的注意。。这是我早期研究中投入了大量精力的一个问题。

图丨证明挂谷集合猜想的王虹（来源：NYU）

这个问题最早源于日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）1918 年左右提出的一个小谜题：设想在平面上有一根针（可以想象成一辆车），你想让它掉头——也就是做一个 U 形转弯——并且你想用尽可能小的面积来完成这个转向。你可以无限灵活地操控这根针，比如让它原地旋转。作为单位长度的针，如果你绕中心旋转，所需的面积大约是 π/4。或者你可以做一个三点调头，这个方式更高效些，所需面积大约是 π/8。

一开始，人们以为这是最节省空间的方法。但别西科维奇（Besicovitch）证明，其实可以构造一种复杂的、多次反向旋转的轨迹，使得你能在任意小的面积内完成掉头——比如 0.01 的面积。关键是，这根针在这个过程中还会经过所有方向。

这个构造是在二维平面里完成的，我们对二维的理解已经很充分了。那么下一个自然的问题是：在三维空间中会发生什么？

想象一下哈勃太空望远镜，它是一个悬浮在太空中的管状物体。你想用它观察宇宙中每一颗星星，就需要让它转向每一个可能的方向。假设空间资源非常紧张，那么你希望在尽可能小的体积内完成这个“方向遍历”。这个体积最小能有多小？

你可以对别西科维奇的二维构造做一个简单修改：如果你的望远镜是零厚度的，那么理论上你仍可以用任意小的体积完成任务。但问题在于——如果你的望远镜并非完全没有厚度，而是有一个非常小的厚度 δ，那要实现对所有方向的遍历，所需体积的最小值会是多少？

随着 δ 越来越小，也就是望远镜变得越来越细，所需体积确实会变小。但这个体积减少的速度是怎样的？猜想是，它会非常缓慢地下降，大致是对数级的。这个猜想后来在经历大量工作之后被证明成立。

表面上看，这像是一个“几何小谜题”。但它的有趣之处在于，它和偏微分方程、数论、几何、组合等许多领域都有出人意料的联系。

举个例子，在波传播问题中：你把水搅动一下，就会产生朝各个方向传播的水波。但波动本身既有粒子特性，也有波动特性。你可以得到所谓的“波包”（wave packet）：它在空间上高度局部化，并沿某个方向传播。

在时空图中，这种波包会占据一个类似细长管子的区域。某些情况下，一开始分散的波会在稍后的某个时间点聚焦到一个点上。比如你往池塘里扔一颗石子，水波会向外扩散。但你也可以设想时间反演的情景：水波从四面八方汇聚到一个点，在那里形成一个巨大“水花”——甚至可能形成奇点。

如果你把这种波看作是光波，可以把它看作是无数个光子叠加而成，这些光子都沿光线前进，并最终汇聚到某一点。因此，最初非常分散的波可以聚焦到某个极小区域，并在时空中达到极高浓度，然后再重新发散。

但如果挂谷猜想有一个否定的答案，也就是说，如果真的存在一种极其高效的方式，可以把朝各个方向的“管状物”都塞进一个极小的体积中，那么我们就有可能制造出一种非常特殊的波动结构：它们一开始非常分散，但后来不仅会聚焦到一个点，还会在多个时空点集中出现能量聚焦现象。

这样就可能造成所谓的“blowup”（爆破型奇异性）：波的振幅会变得极大，以至于原本描述它们的线性波动方程不再成立，需要使用更复杂的非线性方程来描述这个系统。

纳维-斯托克斯奇点

陶：

在数学物理中，我们非常关心某些波动方程是否稳定，是否会形成所谓的奇点。有一个著名的未解问题叫做纳维-斯托克斯正则性问题。纳维-斯托克斯方程是支配像水这样的不可压缩流体流动的方程。这个问题在问：如果你从一个平滑的初始速度场出发，是否可能在某个点速度变成无穷大？这就叫做“奇点”。我们在现实生活中并不会观察到这种情况，比如你在浴缸里搅动水，它不会突然爆炸，或者以光速喷涌而出，但理论上这类现象是有可能发生的。

事实上，近年来学界的共识逐渐倾向于认为，对于某些非常特殊的初始状态，可能确实会出现奇点。尽管如此，目前还没有人真正证明这一点。克雷数学研究所设立了七个千禧年大奖难题，为解决其中任何一个问题提供 100 万美元的奖金，这就是其中之一。在这七个问题中，只有一个被解决了，那就是庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）。虽然挂谷猜想与纳维-斯托克斯问题没有直接关系，但理解它会帮助我们理解波动集中等现象，从而间接帮助我们更好地理解纳维-斯托克斯问题。

莱克斯：

你能谈谈纳维-斯托克斯问题本身吗？就像你说的，它是一个关于平滑解是否存在的千禧年难题。你在 2016 年曾发表论文《三维纳维-斯托克斯平均方程的有限时间爆破》，对该问题有不少进展。通常我们认为纳维-斯托克斯方程不会爆破，但我们能否确定它永远不会爆破呢？

图丨相关论文（来源：

arXiv

陶：

没错。这确实是那个价值百万美元的问题。数学家与其他人最大的不同在于：即使某件事 99.99% 成立，对大多数人来说就足够了。但数学家在意的是，是否对 100% 的情形都成立。所以虽然绝大多数时候流体不会爆破，但是否存在一种特别的初始状态能让它爆破呢？

莱克斯：

我们或许应该说明一下，这是一组支配流体动力学领域的方程，试图理解流体的行为。而流体是一种极其复杂、难以建模的对象。

陶：

是的，所以它具有实际重要性。这个克雷奖问题关注的是所谓的不可压缩纳维-斯托克斯方程，主要涉及像水这样的流体。还有可压缩纳维-斯托克斯方程，例如描述空气流动的，这在天气预报中尤为关键。天气模型大量依赖于对纳维-斯托克斯方程的数值求解，同时也要收集大量数据来作为初始条件输入。这是一个系统性工程。

莱克斯：

为什么证明关于这组方程的普适性质，比如它不会爆破，会如此困难？

陶：

简单来说，是麦克斯韦妖（Maxwell's Demon）。这是热力学中的一个思想实验：设想你有一个装有氧气和氮气的箱子，氧气在一边，氮气在另一边，中间没有隔板。它们自然会混合，而且一旦混合，就不太可能重新分离。但在原则上，可能存在某种“麦克斯韦妖”的机制，使得每次氧分子与氮分子碰撞时，它们都会以某种方式反弹，从而使得氧气重新聚集一侧，氮气聚集另一侧——极其不可能，但数学上无法排除。

这种“极端但可能”的情形在数学中经常出现。比如圆周率 π 的数字 3.14159……这些数字看起来没有规律，我们相信它们是无偏的，也就是说从长远看，每个数字（0 到 9）出现的频率应相等。但或许在某处存在一个“π 妖”，使得每次多算几位时，某个数字被偏好。没有理由发生这种事，但我们也没法证明它绝对不会发生。

回到纳维-斯托克斯问题：流体有能量，而运动中的流体会把能量传递到不同位置。而由于水具有粘性，当能量分布较均匀时，粘性就会将其耗散。我们实验时也是如此：水的波动、涡旋会逐渐平息。但理论上也可能存在某种“妖”，它不断将流体的能量向更小的尺度推进，使局部速度越来越快。而当速度变快时，粘性的影响相对变小。所以有一种可能性：形成所谓的“自相似能量团”情景（self-similar blob scenario）——能量原本分布在一个大尺度区域，然后被集中转移到一个较小的区域，再以更快的速度进入更小的区域，如此反复。

每次转移耗时可能只有前一次的一半，那么整个过程会在有限时间内完成，即能量最终在一个点无限集中，这就是所谓的“有限时间爆破”（finite time blowup）。

在实际中，这种现象没有发生。水是“湍流”的，也就是说如果你有一个大的旋涡，它确实会破碎成几个小旋涡，但能量不会全部集中到一个小旋涡中，而是会分散成三四个，然后再细分为更多小旋涡。能量的分散使得粘性得以发挥作用，从而稳定系统。但如果能量被集中得足够快，使得粘性来不及起作用，那么就有可能发生爆破。

过去有很多论文声称，只要用能量守恒和粘性项就能控制住系统，不只是对纳维-斯托克斯，对很多类似的方程都适用。人们试图证明所谓的“全局正则性”（global regularity），也就是反过来否定“有限时间爆破”，即速度场始终保持光滑。但这些尝试全都失败了。总是会出现符号错误或一些微妙的问题，导致不可修补。

我感兴趣的是：我们为何一直无法证伪“有限时间爆破”？我没法直接在纳维-斯托克斯方程上操作，因为它太复杂。但我可以对其运动方程进行“平均化处理”，也就是人为关闭某些类型的流体相互作用，只保留我想研究的部分。

我基本上是在“工程化”地制造一个爆破，通过改变物理规律来实现——这是数学家被允许做的事情，我们可以改写方程。

这在数学中被称为构造阻碍（obstruction）。我做的事情是：关闭方程中的某些部分。通常关闭某些非线性交互项会让系统更“温顺”，更容易控制，更不容易爆破。但我发现，通过精心设计地关闭一组特定交互项，我反而可以强制让能量在有限时间内爆破。这意味着：如果你想要对真实的纳维-斯托克斯方程证明正则性（即不会爆破），那你必须使用那些我这个“人工方程”所不具备的特性。也就是说，我的构造排除了一部分可能的证明路径。

数学的精髓就在于，你不仅要找到能行得通的方法，更重要的是知道哪些方法永远行不通。对于那些真正难的问题，通常有几十种看似合理的办法，但只有在深入尝试之后你才会意识到它们注定失败。构造这些“相似但失败”的反例可以节省大量时间和精力，因为你已经知道某些方法在逻辑上根本无法奏效。

莱克斯：

这是否只与你所研究的流体动力学问题有关，还是你在数学上发展出的一种更普遍的直觉？

陶：

是的，我的这种技术背后其实利用了一个关键现象，叫做超临界性（supercriticality）。在偏微分方程中，很多问题其实是不同力之间的拔河比赛。比如在纳维-斯托克斯方程中，一方面是粘性带来的“耗散力”，它是线性的、可控的、会让系统趋于稳定；另一方面是“输运项”，能量从一个位置传递到另一个位置，它是非线性的，也正是产生所有问题的源头。

纳维-斯托克斯的两个核心项就是：耗散项和输运项。如果耗散占优势，系统就会趋于平稳，就有希望证明正则性；但如果输运项占优势，系统就变得不可预测，非常非线性，进入湍流状态。

在不同的空间尺度下，这种力量对比也会改变：可能在大尺度下还在平衡，在小尺度下就完全不平衡。纳维-斯托克斯的问题在于它是一个超临界方程：当你观察得越来越细时，输运项的影响变得远大于粘性项。

这就是问题难以解决的根本原因。相比之下，在二维空间里，苏联数学家拉德任斯卡娅（Ladyzhenskaya）在 60 年代就证明了不存在爆破。

图丨拉德任斯卡娅（来源：Wikipedia）

那是因为在二维中，这个方程是所谓的临界（critical）系统：输运与耗散在所有尺度下影响相当。而我们已经掌握了大量技术可以处理临界或次临界（subcritical）系统，进而证明正则性。

但对超临界系统，就很难说清楚。我的研究和许多后续工作已经表明：一旦非线性效应在小尺度上主导线性效应，各种“糟糕的事”就可能发生。这也正是这套研究工作的关键洞察之一：超临界 vs 临界/次临界，是决定一个方程“是否可控”的关键定性特征。

比如行星运动，它们的方程比较“温顺”、可预测，我们可以精确预测其数千年轨迹；但天气预测为什么过不了两周？就是因为大气系统是超临界的，它在极小尺度上会发生各种难以预料的奇异变化。

莱克斯：

所以说，只要存在巨大的非线性源头，就会导致系统难以预测？

陶：

是的，尤其是当这种非线性在越小的尺度上越“活跃”时，问题就更严重。并非所有非线性方程都难以处理——在很多情况下我们可以通过看系统的“整体行为”来近似局部结构。

比如，如果你想研究月球或火星的轨道，你并不需要知道月球的地震波结构或质量分布细节。你几乎可以把它们看作点质量，其运动主要由整体重力决定。

但如果你想模拟流体，比如天气系统，你不能只是说“洛杉矶的气温是 X，风速是 Y”来近似整个系统。对于超临界方程，微小尺度上的信息是极其关键的，你忽略不了。

莱克斯：

你曾提到过一种构想，也许可以请你详细解释一下：你设想通过构建一种“液体计算机”，从而将计算理论中的停机问题（halting problem）引入到流体动力学中。也就是说，通过这种方式展示计算复杂性对流体行为的影响。你能讲讲这个思路吗？

陶：

这个想法源自我之前构造出一个平均方程会爆破的工作。为了做到这一点，一种天真的做法是：你每到一个尺度，就立即将能量推向下一个尺度，尽可能快地推进。这种做法在五维及以上的空间维度中确实有效。但在三维中，我发现了一个奇怪的现象：如果你不断将能量往更小的尺度压缩，结果是能量会在多个尺度之间分散。也就是说，当你将能量从一个尺度推向下一个时，虽然它刚进入下一个尺度，但上一层仍有残留的能量——你试图同时推进一切，这会导致能量过于分散。

而一旦能量分散过多，就会让它更容易被粘性所抑制，从而失去爆破的可能性。所以这种“直接推进”的方法在三维中不奏效。后来有其他研究团队专门写了论文证明这一点。因此，我需要设计一种“延迟机制”，就像“气闸”一样：流体在一个尺度上活动时，只有等它将该尺度的全部能量完整传递到下一尺度之后，才开启通道进入下一级。

通过这种方式，能量可以逐级向前推进，而始终保持在一个特定尺度内局部集中，从而避免被粘性效应削弱。为了实现这个目标，我不得不构造一个非常复杂的非线性结构，它几乎就像是一个电子电路的设计。我也很感谢我的妻子，她是电子工程专业出身，曾和我聊过如何设计电路。

比如你想要一个灯能按一定频率闪烁，那你就得用电容、电阻等基本元件组合成某种结构，画成电路图。这些电路图可以通过“用眼睛追踪电流”来理解其工作原理。于是我就模仿这些电路元件，构造出数学上的对应物，例如模拟“电容”或“电阻”等组件。然后将它们组合在一起，形成一个能够定时打开或关闭“闸门”的结构。整个系统就像一个数学版的鲁布·戈德堡机器（Rube Goldberg machine）——复杂但可控。而这个设计最终确实起作用了。

这让我意识到：如果你能用在真实的流体方程上做出同样的事情，比如纳维-斯托克斯方程真的能够“支持”某种计算机制，那我们就可以构建一种“液体朋克”风格的系统。我们现在的计算机是由电子在细小电路中流动实现的，而这里，我们设想的是让水流脉冲充当信息载体。

你可以想象两种水流配置，分别表示“比特 1”与“比特 0”。如果两个水流“碰撞”后得到的输出状态是可预测的，那么这个碰撞就可以实现逻辑运算，比如“与门”“或门”等。将它们串联起来，你就可以构建出图灵机。这台机器完全由水组成，是一种“流体计算机”。

再进一步，如果你能用水来控制机器的形态，就像液态机器人，你甚至可以制造一种冯·诺依曼机（von Neumann machine）。

图丨冯·诺伊曼架构（来源：Wikipedia）

冯·诺依曼曾提出一种理论：如果你想殖民火星，运送人类和机器的成本太高，那不如送一台可以自我复制的机器。只要它能采矿、制造、组装，就可以在火星上不断复制自己，完成扩张。

同理，我们也可以设想这样一种流体机器人：它的使命就是复制出一个更小的自己。在某个“冷启动状态”下，小机器尚未运作；当准备就绪后，大机器人将自己的全部能量传输给小机器人，自己“关闭”，清空残余能量。接着，小机器人启动、重复这一过程，但更小、更快。

由于纳维-斯托克斯方程具有尺度不变性（scaling symmetry），这一过程理论上可以无限进行，从而实现“爆破”现象。这正是我在“平均化的纳维-斯托克斯”上所完成的构造——一种为理解原方程爆破机制提供路线图的方法。

当然，这仍是一个梦想，要真正实现它还有很多障碍。例如，我现在还不能真正构建出那些“流体逻辑门”，我也没有那些特定的水流配置（虽然像涡环之类的结构可能是候选）。此外，模拟计算比数字计算要脆弱得多，误差传播是一个巨大挑战，需要复杂的纠错机制。

我也还不清楚如何让大机器完全“关机”，以免干扰小机器的运行。但从物理角度来说，这一构想并不违背任何自然法则，所以它是“理论可行的”。目前也有其他团队在尝试推动纳维-斯托克斯爆破的证明，只不过他们使用的方法远没有我这种方案复杂。他们采用的是更直接的“自相似模型”（self-similar model），虽然仍未完全奏效，但思路可能更简洁可行。

从纳维-斯托克斯方程到图灵机，这个跳跃真的很惊人。你最初设想的是“自相似团块”，不断生成更小、更精细的结构，现在则是液体图灵机不断缩小复制自身，并且从中得出关于爆破的洞见——这个转化非常具有天才般的创造力。

莱克斯：

从纳维-斯托克斯方程跳到这台图灵机，这中间真是一次天才的飞跃。从一开始设想的那个越来越小的自相似斑点，到后来构想出一个越来越小的液体图灵机，并洞察到这可以用来解释爆破。这真是一个巨大的跨越。

生命游戏

陶：

这在数学中其实是有先例的。数学的一个强项就在于，它善于揭示那些看似完全无关的问题之间的深层连接。只要数学形式相似，就可能存在可以转化或类比的路径。

例如，有一类研究叫做“元胞自动机”（cellular automata），最著名的就是康威提出的生命游戏。这是一个无限的离散网格，每个网格点要么被一个“细胞”占据，要么是空的。整个系统依靠一套非常简单的规则演化，细胞会因邻近环境而“生”或“死”。

我在学生时期，这种动画非常流行，甚至被用作屏保。这些图像看起来非常混乱，甚至某种程度上有点像流体的湍流行为。但随着时间的推移，人们在“生命游戏”中发现了越来越多有趣的结构。

比如说，有一种叫做“滑翔子”（glider）的结构，只需要四五个细胞组成，演化过程中会稳定地朝某一方向“滑动”，就像涡环一样。这类现象说明，虽然“生命游戏”是一个离散系统，而纳维-斯托克斯是一个连续系统，但在数学特征上却存在一定的相似性。

“生命游戏”本身非常简单，只有三四条演化规则，但你却可以在其中设计出非常复杂的结构。比如有一种叫“滑翔子枪”（glider gun）的结构，它能周期性地发射滑翔子。后来又有人构建出了用于滑翔子的“与门（AND gate）”“或门（OR gate）”等逻辑结构。

这听起来很夸张，但这些结构是实实在在地被构造出来了。比如有一个巨大的系统：当两个方向上都有滑翔子流进入时，才会输出滑翔子流；若只有一边输入，则无输出——这就是典型的“与门”逻辑。

而一旦你可以用滑翔子构建出这些基础逻辑门，就可以像在软件工程中一样，逐层搭建出图灵机。尽管这些构造在图像上看起来像是“蒸汽朋克”风格的机械，但它们确实是可以自我复制的结构。有些系统耗费大量时间，通过滑翔子枪的组合，最终实现了一种可以复制自身的大型装置，即图灵意义上的自复制机。

很多这样的成果，其实都是由业余数学爱好者以众包的方式完成的。我早就关注这些研究，它们也成为我思考纳维-斯托克斯类似构想的启发来源之一。

当然，“生命游戏”是数字系统，而纳维-斯托克斯是连续系统，不能简单照搬它们的结构。但它至少表明：这种复杂结构的涌现在原则上是可能的。

莱克斯：

这种由“局部规则”所引发的“宏观结构”的涌现非常神奇——像“生命游戏”中的局部规则，在大规模运行下可以生成极其复杂的动态系统。你觉得这些现象是否可能被数学严谨地刻画？我们是否拥有工具能对这种复杂性说出深刻的见解？

陶：

问题在于，这些“复杂结构的涌现”往往需要精心设计的初始条件。像滑翔子枪、逻辑门、自复制系统这些结构，如果你只是随便在网格上撒一些随机细胞，它们是不会自然出现的。

这其实也与纳维-斯托克斯方程的情形相似：在一般的初始条件下，我们并不会看到任何“计算”或者“图灵机”的行为。但如果你用“工程方法”对初始条件精心设计，那么确实可以实现一些精妙的结构性演化。

莱克斯：

有没有可能证明它的反面……也就是说，证明只有通过“工程设计”，你才能创造出有趣的东西。

陶：

这其实是数学中一个反复出现的难题，我称之为“结构与随机性”的二元张力。我们在数学中遇到的大多数对象，其实是“看起来随机”的。比如圆周率的数字序列（π 的十进制展开），我们普遍相信它没有任何模式。

如果一个结构确实有规律，那我们是可以证明它的，比如周期性重复、等间距结构等等，这就属于“结构定理”的范畴。而我们也可以证明，在一个给定的统计框架下，“大多数”数字序列没有规律。比如大数法则告诉我们，随机序列中 1、2、3 这些数字应该在长远来看出现得一样多。

但困难在于：如果给你一个特定的序列，比如 π 的小数位，你该如何证明它没有隐藏的复杂结构？

这方面我做了很多研究，涉及到所谓的“结构定理”与“逆定理”，其核心在于：如果一个函数表现出某种看似结构化的行为，那可能是因为它接近于某个真正具有明确结构的函数。

比如，有些函数是所谓的“加性”的。如果你有一个从自然数到自然数的函数，比如 2 映到 4，3 映到 6，如果它满足“两个输入相加，等于两个输出相加”，那它就是加性的。最简单的例子就是乘以一个常数。如果你把一个数乘以 10，那么（A+B）×10 就等于 A×10 + B×10。有些函数是严格加性的，还有一些则是几乎加性的。

举个例子，如果我取一个数，乘以根号 2，然后取整数部分。比如 10 乘以根号 2 约等于 14 点几，所以 10 映到 14，20 映到 28。在这种情况下，10+10=20，14+14=28，加性是成立的。但由于取整操作，有时会产生误差，可能你把 A 和 A 相加，得到的结果并不完全是两个独立输出的和，而是差了那么一点点，比如加一或减一。所以，它是“近似加性”（almost additive），但又不完全是。

我研究的很多成果表明：若某个对象显示出某种结构的迹象，那么它就近似某个真正有结构的对象。通过这样的逆定理，我们能划分出一个清晰的二分世界——一个对象要么是彻底无结构的，要么就可以追溯到某种隐藏的结构，从而我们就有了进一步分析的可能性。

一个很好的例子是数学中一个叫做塞迈雷迪定理（Szemerédi s Theorem）的古老定理，它是在 1970 年代被证明的。它讨论的是在一组数字中寻找一种特定模式——等差数列，例如 3、5、7 或 10、15、20。

塞迈雷迪证明了：只要一个数字集合足够大、具有所谓“正密度”（positive density），那么这个集合中一定包含任意长度的等差数列。

比如，奇数集合的密度是二分之一（因为它占据所有整数的一半），我们显然可以在其中找到各种长度的等差数列。比如 11、13、15、17。因为奇数集合本身就很有结构，找出这种序列不难。

但塞迈雷迪定理的强大之处在于，它也适用于随机集合。比如我们取所有奇数，然后对每个数抛硬币，只保留抛出正面的那些。这样我们得到的就是一个“完全随机”的子集，表面上看似毫无规律。然而，即便在这样一个随机集合中，仍然会存在大量的等差数列。

莱克斯：

你能证明在一个随机集合里存在任意长度的等差数列吗？

陶：

是的。你听说过“无限猴子定理”（infinite monkey theorem）吗？通常数学定理的名字都很无聊，但这个还挺形象。

“无限猴子定理”的流行版本是说，如果你有无限只猴子，每只都在打一台打字机，随机敲字，那么几乎可以肯定，其中至少有一只猴子最终会打出整部《哈姆雷特》的剧本，或者任何你想要的有限文字序列。

这说明：如果你有一条无限长的数字序列或字符串，任何你想要的有限模式终将出现。这当然需要时间，可能是很长很长的时间，但只要是“无限”，它就会发生。

具体到我们之前讨论的等差数列：只要序列够长，任意长度的等差数列就一定会在其中出现。当然，需要的是极其巨大的随机序列。

我们可以把“无限”理解为一个没有上限的有限值的抽象化。现实世界中没有什么是真正“无限”的，但我们会思考：“如果我有无限多的钱会怎样？”“如果我可以无限快会怎样？”等等。

数学中有一套严格的形式系统来处理这些理想化的状态，把“非常大”或“非常小”的概念，抽象为“无限”或“零”，从而让问题变得更清晰、更易处理。

就像物理中我们经常开玩笑说“假设奶牛是球形的”，意思是我们故意忽略很多现实复杂性，用一种理想模型来近似分析。

莱克斯：

那你觉得，当我们引入“无限”这个理想化工具时，会不会有时偏离了物理现实？

陶：

确实有很多陷阱。所以我们在大学数学课程中会花很多时间教“数学分析”，它基本上就是在教人如何正确使用极限和无限。

举个例子：有限个数相加时，交换顺序不影响结果。但如果是无穷级数，事情就没那么简单了。你可以用不同顺序排列这些项，竟然会得到不同的收敛值！这就容易出错。

所以在处理无限的时候，你必须非常谨慎。我们引入了 ε 和 δ 这样的参数，制定一套非常严密的逻辑和推理方式，来防止在“无限”问题上犯错。

而近年来，数学家们开始把那些在“极限下成立”的结论转化为有限版本。也就是说：虽然你知道某件事在某个无限条件下是对的，但你会问：“那我到底要多大、多久才行？”

比如说，如果我没有无限只猴子，而只有一亿只，那我要等多久才能等出《哈姆雷特》？这是一个定量问题，而我们可以用纯粹的有限方法去分析它。结果是：所需时间是与目标文本长度呈指数增长的。

所以你永远看不到猴子敲出《哈姆雷特》，最多可能敲出个四个字母的单词罢了。我个人觉得，一旦你把一个“无限陈述”有限化，它就变得更容易理解，也不再那么玄乎了。

莱克斯：

所以即使你在处理无穷大的问题，最好也把它“有限化”，这样能帮助你建立直觉？

陶：

是的，缺点是有限化的证明要复杂得多。无限的证明通常是先被发现的，早了几十年，然后人们才将它们有限化。

数学 vs. 物理

莱克斯：

既然我们刚才提到了很多关于数学和物理的问题。那作为两种不同的学科、理解世界的方式，数学与物理的根本差异是什么？

陶：

我认为科学总体上可以被看作是三个元素的互动：现实世界、我们对现实的观察，以及我们关于现实运行机制的心智模型。

我们无法直接接触真实本身，我们拥有的只是观察结果——这些结果通常不完整、带有误差。很多时候我们想知道的事，比如明天天气如何，我们尚未有观察数据，但我们希望预测它。

在此基础上，我们建立了一些简化模型，有时会做出不太现实的假设（比如假设奶牛是球形的那类）。这些模型就是我们说的数学模型。

数学研究的，就是模型本身。科学则是收集观察数据，并据此提出能够解释这些观察的模型。而数学的做法是：我们从模型的前提出发，思考其逻辑结果，推导出这个模型可能带来的预测或结论，并检查这些结论是否符合已有数据或可能的数据。

所以二者之间确实是一种共生关系。我想数学与其他学科相比的特殊之处在于：数学从假设出发（比如模型的公理），然后推导出可能的结论。而其他大多数学科是从目标出发：我要造一座桥，我想赚钱，我要达成某个目标，然后再反推该怎么做。

在人类活动中，绝大多数事情都是结论导向的，包括物理与科学研究。例如他们会问：这个小行星的轨道将会如何？或明天天气如何？而数学除了从结果出发外，还会从假设出发：假设这个成立，那么会有什么结果？

莱克斯：

物理学里常常有理论与实验之间的张力。你觉得哪一种方式更能引导我们真正发现现实中的新思想？

陶：

你需要两者兼备，自上而下和自下而上。理论、观察与建模应该逐渐趋近现实。但一开始，它们总是相距甚远。要靠彼此推进彼此。

如果你的模型预测出了实验未曾观测到的异常现象，这恰好能告诉实验者去哪里找数据，以进一步校正模型。这个过程是不断往返推进的。

在数学内部其实也存在“理论”与“实验”的划分。只不过直到最近，数学几乎被理论方法完全主导。大约 99% 的数学是纯理论的，实验数学占比很小，但确实有人在做，比如研究素数分布，他们可能会生成大量数据。

早在计算机出现前，人们也进行过实验数学的尝试。比如高斯，他发现了一个著名的猜想，后来发展成了素数定理（prime number theorem），这个定理预测：小于某个数（比如一百万、一万亿）之间有多少个素数。这不是一个显然能答的问题。高斯基本上是靠自己（也雇了一些人肉计算员），计算了前十万以内的素数，并制作出对照表，从中得出预测。

这是早期“实验数学”的一个例子。但直到最近，实验数学还不是主流。

理论数学成功率更高也是因为：过去复杂计算几乎无法实现，即便今天计算机已很强大，也只有少部分数学问题可以通过数值方法探索。

有一个概念叫做“组合爆炸”（combinatorial explosion）。比如你想研究塞迈雷迪定理，设你考虑从 1 到 1000 的所有数字中选子集。表面看：一千个数，能有多难？但实际情况是，它的子集数有 2 的 1000 次方，这远远超出了目前任何计算机所能枚举的范围。

所以有些数学问题，一旦规模变大，就根本不可能靠穷举法解决。国际象棋也是经典例子：所有可能的棋局状态数量巨大，计算机也无法全部列出。

但现在我们有了 AI，能用另一种方式探索这种空间。它们不一定能给出“100% 有保障”的解法，但可以通过实验性模拟给出答案。比如现在的国际象棋 AI 非常强大，它们不穷尽所有棋步，但却能找到非常好的近似方案。现在很多人用这些 AI 引擎来做“实验性国际象棋”：重新评估那些旧的棋局理论，比如某个开局到底好不好，有些结论甚至推翻了传统的棋谱智慧。

我希望未来数学也能有更多的实验成分，可能由 AI 推动。

现实的本质

莱克斯：

你提到了柏拉图的“洞穴寓言”。从某种意义上说，这不就是数学家，甚至所有人类正在做的事情吗？我们只是在观察现实的影子。我们有可能真正地触及现实本身吗？

陶：

我们可以将世界分为三个本体层次：现实本身、我们的观察，以及我们对世界运作方式的模型。从严格意义上说，它们彼此是区分开的，而且我认为它们永远都会是分离的。但它们之间的距离可以随着时间缩小。而要让模型更接近现实，往往意味着必须舍弃你最初的直觉。

天文学就是个很好的例子。一开始我们对世界的模型是“地是平的”，因为它看起来就是平的，而且它非常大；而天空中的其他东西，比如太阳，看起来非常小。所以你最初的模型虽然离真实非常遥远，但它能很好地解释你当时的观察现象，因此它“看起来没问题”。

但随着你观察得越来越多，模型就会被拉近现实——我们逐步认识到地球是圆的，它会自转，它围绕太阳公转，太阳系围绕银河系运动，宇宙在膨胀，而且这个膨胀还是加速的自我膨胀。甚至就在最近的一年，我们发现，这种加速度本身也不是恒定的。

我们现在有一个模型能够解释，能够很好地拟合数据。但也有人批评说：“这不就是乏晰因子（fudge factors）吗？只要参数足够多，你什么都能解释。”但数学的观点是：你希望模型的参数尽量少于观察数据点的数量。

如果你用 10 个参数来解释 10 个观测值，这模型毫无意义，过拟合。但如果你用两个参数解释了一万亿个观测值——比如说“暗物质模型”，它大约有 14 个参数，却解释了天文学家所拥有的数百万 TB 的数据，那这个模型就极具价值。

你可以这样看：一个物理或数学理论，本质上是一种对宇宙的“压缩”，就像数据压缩。你手里有几百万 TB 的观测数据，你希望用五页纸的公式加上几个参数把它们概括出来。如果这个模型能以合理精度拟合几乎所有观察结果，那么你压缩得越彻底，理论就越好。

莱克斯：

而事实上，我们宇宙中最惊人的一点就是，它居然是可压缩的。这正是数学“不合理的有效性”。

陶：

是的，爱因斯坦有过一句类似的话：“关于宇宙，最不可理解的事情就是，它居然是可以被理解的。”数学中有一个叫做“普适性（universality）”的现象。很多宏观系统虽然来源于无数微观相互作用，但宏观规律本身并不复杂。本来你会以为，宏观规律应该比微观结构复杂得多、甚至是指数级复杂，如果你想完全精确建模，确实如此。

比如你要模拟一盒空气里的所有原子，阿伏伽德罗常数非常大，跟踪每一个粒子几乎是不可能的。但在某些情况下，一些宏观定律几乎不依赖微观细节，或仅仅依赖极少数参数。

所以你要模拟 10²³ 个粒子的气体，只需知道温度、压强、体积，加上五六个参数，就足够描述这个系统的行为了。我们在数学上对“普适性”的理解远远不够充分，但在一些简化模型中我们已经知道为什么这种现象出现。最经典的是中心极限定理：它解释了为什么“钟形曲线”（bell curve）无处不在，为什么那么多自然现象都符合高斯分布。

莱克斯：

而且这个梗本身也具有普适性。

陶：

对，甚至可以再“元”一点。确实存在很多过程，比如你取一堆独立的随机变量，用各种方式把它们平均起来，无论是简单平均还是复杂加权平均，最终都会得到钟形曲线，在很多情况下我们都可以证明这一点，非常令人满意。

当然，有时候不会出现钟形曲线。如果你有很多变量，但它们之间存在系统性相关性，你就可能得到远非高斯分布的结果。这种情况也非常重要。比如 2008 年金融危机就是一个著名例子。人们当时假设，按揭违约率是呈高斯分布的：你有 10 万个房贷用户，推测有多少人会违约，如果每个人违约行为是相互独立的，那就会呈钟形分布，你可以据此做期权、衍生品的风险管理。这套理论非常优雅。

但现实中，如果存在系统性冲击——经济系统整体波动导致所有人同时违约，那就是高度非高斯行为，而 2008 年的模型没能充分预见这种风险。

现在大家多少意识到了：系统性风险比我们之前以为的更严重。一个模型再优美，不代表它符合现实。所以理解数学模型的推理逻辑很重要，但理解模型与现实契合度的科学判断也同样重要。你需要二者兼顾。

数学可以帮助我们找出模型的薄弱之处。比如中心极限定理会告诉你：只要输入变量互不相关，结果就会呈现高斯分布。它能帮你定位问题源头。

假如你了解塞迈雷迪定理，有人想用高斯分布去建模违约风险，你作为数学家就可以质问：“你这些输入变量之间的系统性相关性有多大？”然后你可以问经济学家，这种风险是否被低估了，是否能找到证据。这就是科学与数学之间的协同。

莱克斯：

在普适性这个话题上，你因在数学领域涉猎之广、之深而闻名并备受赞誉，让人想起一个世纪前的希尔伯特（Hilbert）。事实上，伟大的菲尔兹奖得主、你的同事蒂姆·高尔斯（Tim Gowers）曾说过，你就是我们这个时代最接近希尔伯特的人。

图丨希尔伯特（来源：Wikipedia）

那么，作为一个能在数学中兼顾深度与广度的人，你是最合适回答这个问题的人：你认为所有数学领域之间存在某种深层的统一结构吗？

陶：

其实数学的很多进步，都是两个原本毫无关联的领域，后来发现了深刻的联系。比如一个古老的例子：几何与数论。在古希腊时期，这两个领域被视作完全不同的学科。当然，数学家可能同时研究它们，比如欧几里得，他既写了几何，也研究数论。但那时这两个领域并没有真正融合。

直到笛卡尔发明了解析几何——用两个实数坐标来参数化平面，将几何问题转化为代数问题。今天我们觉得这再自然不过：平面当然就是 x 和 y，但当时这可是一项革命性突破。

这类融合在数学史上反复发生：代数与几何曾分离，后来发展出代数几何；概率论和数论也开始融合；每一次跨领域连接，都是数学的重要进展。我个人非常喜欢这种数学。

我认为数学家有不同的风格——刺猬型与狐狸型。刺猬知道一件事，但非常深入；狐狸则对很多事略懂皮毛。

我个人更多地认同自己是“狐狸”。我喜欢套利式的探索：学会一个领域的工具后，把这些技巧带到另一个看似毫不相关的领域，而那里的人通常没用过这些方法，我能做出些新贡献。

还有一些数学家比我深刻得多，他们是典型的刺猬型，非常快、非常高效。但我可以为他们带来一些额外的工具。

莱克斯：

你曾说过，你可以根据具体语境或合作关系的不同，在“刺猬”和“狐狸”这两种思维方式之间切换。那么，如果可能的话，能否谈谈这两种处理问题的方式有什么区别？比如说，当你面对一个新问题时，是选择寻找跨领域的联系，还是保持高度专注的单一视角？

陶：

我更习惯于“狐狸”的范式。我喜欢寻找类比和叙事。我经常会花很多时间——比如当我在某个领域看到一个有趣的结果时，我可能很喜欢这个结果本身，但它的证明方式却用了一些我不太熟悉的数学工具。这种情况下，我会试着用我自己擅长的工具重新去证明它。

往往我自己的证明更差，但这个过程本身很有价值。因为在尝试重建的过程中，我会逐渐明白：原来的那个证明其实是想达成这个目标。通过这样“绕路”的方式，我反而能理解那个领域里使用的那些工具。这是一种非常探索性的过程，也意味着我经常会去一些陌生的领域、做些疯狂的尝试，甚至常常在“重复造轮子”。

相比之下，我觉得“刺猬式”的风格更学术化，知识体系也更稳固。这种风格依赖对某一领域的发展始终保持最新了解，熟悉所有历史脉络，并且对每种具体技术的优劣都有非常清晰的把握。我觉得这种风格更强调计算，而不是通过讲述故事或建构类比来理解。

我也能做到那种方式，但我知道有些人在那方面真的非常擅长。

莱克斯：

让我们退一步，来看一个稍微浪漫化一点的数学版本。你曾说过，在你年轻的时候，对你而言数学更像是一种解谜游戏。你是在什么时候第一次遇到一个问题或一个证明，让你意识到数学可以拥有一种优雅和美感？

陶：

这是个好问题。我刚到普林斯顿读研究生的时候，约翰·康威（John Conway）当时还在那里，他几年前去世了。但我记得我去听的第一场研究讲座之一，就是康威的一个关于他称之为“极端证明”（extreme proof）的讲座。

康威有一种神奇的思考方式，他总能以一种你完全想不到的方式看待各种事物。他把证明本身看作是占据了某种空间。比如你要证明一个命题，比如“素数是无穷的”，那么就会有很多种证明方法。你可以根据不同的维度对这些证明进行排序：有些证明很优雅，有些很长，有些很基础。于是这些证明在某种意义上构成了一个证明空间，而他感兴趣的是这个空间的“极限点”——也就是那些在某一方面达到极致的证明，比如最短的、最基础的、最不依赖其他定理的那一个。

他举了一些著名定理的例子，然后给出了他认为在不同方面堪称极端的证明。我发现那真的让我大开眼界，原来不仅仅是为一个有趣的结论找到一个证明，一旦你有了那个证明，再去从不同角度优化它，证明本身这个行为就蕴含了某种匠心。

这无疑影响了我的写作风格。比如，你做数学作业，作为本科生，你的作业之类的，你被鼓励只要写下任何一个能行的证明，交上去，只要能得到一个对勾，你就继续往下走了。但如果你希望你的成果能真正产生影响，能被人阅读，那它就不能仅仅是正确的。它还应该读起来令人愉悦，有清晰的动机，能够被推广到其他问题上。这和很多其他学科很像，比如编程。数学和编程之间有很多类比。我喜欢类比，如果你还没注意到的话。你可以写出一段代码，意大利面条式的代码——它能完成任务，但非常混乱，结构很差。虽然能用，但别的人看不懂，也很难修改或扩展。所以我们有各种写好代码的原则——写得更整洁、更易维护、更少 bug。数学也是一样的：一个好的证明，不只是为了“能用”，还要能被别人理解、引用和延续。

莱克斯

那你心中最优美、最优雅的数学公式是什么？很多人评价“美”时强调的是“简洁性”，比如说爱因斯坦的 E=mc²。而在数学领域，大家最常提的美丽公式是欧拉恒等式。你觉得这个公式美吗？

正如我所说，我发现最吸引人的是不同事物之间的联系……所以如果……eiπ=−1。是的，人们用上了所有基本常数。好吧，我是说，这很可爱，但对我来说……指数函数，由欧拉提出，是用来衡量指数增长的。比如复利或衰变，任何持续增长、持续减少、生长和衰变，或扩张或收缩的东西，都由指数函数建模，而 π 则来自圆和旋转，对吧？如果你想旋转一根针，比如说，180 度，你需要旋转 π 弧度，而 i，复数，代表了交换虚轴的 90 度旋转。所以是一个方向的改变。

所以，指数函数代表了在你当前方向上的增长和衰减。当你把一个 i 放入指数中，运动就不再是与你当前位置相同的方向，而是与你当前位置成直角的运动。所以是旋转，然后，eiπ=−1 告诉你，如果你旋转时间为 π，你最终会到达相反的方向。所以它通过这种复化的行为，即乘以 iπ 的旋转，统一了通过扩张的几何学和通过指数增长的动力学。所以它把所有这些数学领域联系在一起，动力学、几何学和复数。由于这个恒等式，它们在数学中都被认为是近邻。

莱克斯：

你觉得这些符号的“偶然碰撞”只是巧合，还是说它其实揭示了更深的东西？比如不同领域的符号相遇，是否也有其内在的价值？

陶：

我觉得这证明了你拥有了正确的概念。当你第一次研究任何东西时，你必须去测量事物，给它们命名。一开始，有时候因为你的模型离现实太远，你可能会给错误的东西起了最好的名字，你只有在后来才发现什么才是真正重要的。

莱克斯：

物理学家有时会这么做，但结果还不错。

陶：

实际上，物理学也一样，比如说爱因斯坦提出 E=mc²。回到更早的时候，亚里士多德、伽利略和牛顿提出了最初的运动定律。他们能测量的是质量、加速度和力，于是牛顿力学中最核心的就是 F = ma，这些可测量的量在理论中占据核心地位。

但随着人们对这些方程的进一步分析，出现了一些“额外的量”，比如动量和能量。能量并不是一个你能像质量和速度那样直接测量的东西，但人们逐渐意识到它在物理系统中极为关键。

到了 19 世纪，哈密顿重构了牛顿力学，提出了所谓的哈密顿力学。在这个体系中，“哈密顿量”（Hamiltonian）才是真正的核心对象。只要你能准确地测量出一个系统的哈密顿量，你就可以描述整个系统的演化。这种思维方式在后来面对量子力学时起到了关键作用。

早期的物理学家试图用牛顿的粒子图景去理解量子世界，发现完全不对劲，因为量子力学强调的是“波”。

你要问，“量子版的 F=ma 是什么？”根本没人能说清楚。但幸运的是，哈密顿量这个概念依然适用，它只是以不同的形式出现，是一个算符（operator），而不是一个函数。

只要你能给出哈密顿量，就能通过薛定谔方程描述量子系统的演化过程。

所以，虽然经典力学与量子力学在表面上完全不同，一个是粒子，一个是波，但因为都基于哈密顿量，我们就能将很多经典力学中的直觉迁移到量子力学中。

比如说，经典力学中有诺特定理（Noether theorem）：每一个对称性都对应一个守恒定律。如果物理规律不随空间平移而改变，那就有动量守恒；如果不随角度旋转而改变，那就有角动量守恒；如果不随时间变化而改变，那就有能量守恒。

如果你等 10 分钟，所经历的物理定律仍然相同，这种时间平移不变性对应的就是能量守恒。也就是说，对称性和守恒律之间存在着根本性的联结。而这在量子力学中同样成立，尽管方程形式完全不同。但因为两者都以哈密顿量为核心，只要这个哈密顿量保持某种对称性，那么对应的方程就会产生一个守恒量。

一旦你找到了“正确的语言”，很多事情就会变得清晰许多。

至于为什么我们还无法统一量子力学与广义相对论，其中一个问题是我们还没搞清楚“基本的对象”到底应该是什么。比如，我们很可能要放弃将时空看作类欧几里得空间的想法。我们知道，在极小的尺度上存在量子涨落，存在所谓的“时空泡沫”，而此时再使用笛卡尔坐标系（x, y, z）显然是走不通的。但问题是：我们还不知道该用什么来替代。我们甚至没有找到类比于哈密顿量那样的组织性概念，能够像哈密顿量在经典和量子力学中那样，统摄一切。

万有理论

莱克斯：

你是否在直觉上相信，真的存在一套“万有理论”？我们真的可能找到这样一种语言，来统一广义相对论与量子力学？

陶：

我相信是存在的。从历史来看，物理学的发展就是不断统一的过程，某种程度上和数学的发展也类似。比如说，早期电学和磁学是两套完全不同的理论，后来被麦克斯韦统一了；牛顿则统一了天体的运动与地球上的物体运动。因此，这种统一是有前例可循的，它应当可以实现。

不过，回到理论与观测的关系，我们现在遇到的问题之一是物理学反而成为了它自身成功的受害者。因为我们目前的两大物理理论：广义相对论与量子力学，实在太有效了。这两者加起来，已经可以解释我们能观测到的 99.9% 的现象。

为了找到它们失效的边界，我们必须进入极端的实验条件，比如极高能量的粒子对撞机，或者宇宙早期的状态——这些都是难以实现的。因此，真正看到这两者之间差异、并据此找到融合路径，非常困难。但我相信，这条路我们已经走了几个世纪，一直都在进步，没有理由会停下。

莱克斯：

你认为你会是那个发展出万有理论的数学家吗？

陶：

通常发生的情况是，当物理学家需要某种数学理论时，往往已经有数学家早先一步做出了某种雏形。比如，当爱因斯坦开始意识到空间是弯曲的，他去找了一位数学家问：“有没有关于弯曲空间的理论，是数学家已经搞出来的，可能能用？”然后那位数学家说：“有的，黎曼搞出过一些类似的东西。”结果，黎曼发展出的黎曼几何——一个关于空间如何以各种方式弯曲的理论——几乎就是爱因斯坦的理论所需要的。这又回到了数学“不合理的有效性”上。我认为，那些能很好地解释宇宙的理论，往往也涉及到那些能很好地解决数学问题的数学对象。归根结底，它们都只是以有用的方式组织数据的不同方法。

莱克斯：

只是感觉你可能需要去到一个非常奇特、非常难以凭直觉把握的地方。比如弦理论。

陶：

是的，那在很长一段时间里都是一个主要的候选理论。但我想它正慢慢地失宠，因为它与实验不太匹配。

莱克斯：

所以，一个巨大的挑战当然在于，就像你说的，实验非常困难，因为广义相对论和量子力学本身就极其有效。但另一个挑战在于，这不是简单地“偏离”时空结构，而是走向一些非常极端的想象空间——比如多维空间、各种我们难以感知的构造。我们已经从平地走到了“弯曲空间”，你还得不断往前跳跃，而我们作为类人猿后代的认知结构，很难真正直觉地理解那种现实。

陶：

这就是类比如此重要的原因。“地圆说”是不直观的，因为我们被困在地球上。但是，我们对圆的物体本身是有直觉认知的，也理解光是如何传播的。所以，实际上是可以通过一些简单的实验来验证这一点的，比如日食、月相变化等现象，都可以通过圆形的地球和月亮模型轻松解释。你只需要一个篮球、一颗高尔夫球和一个灯光源，就可以自己在家动手模拟。所以直觉是可以培养的，只要你肯把它“迁移”过来。

莱克斯：

对我们来说，从“地平”到“地圆”，在认知上确实是一个巨大的飞跃，因为我们的生活大部分是在平地上度过的。如今我们对这些事情习以为常，是因为科学已经提供了大量证据。但你想想，我们其实正处在一个圆形的岩石上，以极快的速度在宇宙中飞行。这本身就是一种巨大的跳跃。而且，在科学进步的过程中，你需要不断地进行这类飞跃，一次又一次。

陶：

完全正确。现代科学或许又是“成功的受害者”——为了追求更高的准确性，它不得不与人类最初的直觉越来越远。而对于没有接受过完整科学教育的人来说，越是如此，就越容易显得“难以置信”。所以我们需要提供更扎实的基础。

当然，现在有很多科学家做着非常出色的公众传播工作。其实还有很多科学实验是可以在家里完成的。有很多 YouTube 视频，我最近也和一个叫 Grant Sanderson 的 YouTuber 合作了一个视频，我们就讨论了古希腊人是如何测量月亮和地球之间的距离的。他们所用的技术，其实今天我们每个人也可以自己动手试一试。根本不需要太空望远镜或复杂数学模型。

视角的转换非常重要。常言道，旅行开阔视野，那么这是一种“智识上的旅行”。你试图把自己放入古希腊人、或任何历史时期的人的视角，提出一些假设，比如“球形地球”，然后进行推演与想象。这其实就是数学家的工作方式，某种意义上，也类似于艺术家的创造。

只要你设定一组公理，数学的推演就会展开。你沿着这些公理不断推理，常常可以走得比最初的假设远得多。

广义相对论

莱克斯：

你提到了广义相对论，你也曾在理解爱因斯坦场方程的数学方面做出过贡献。你能否介绍一下这部分工作？从数学的角度来看，广义相对论中哪些方面最吸引你？又有哪些挑战？

陶：

我确实研究过一些相关方程。其中有一个叫“波映射方程”（wave maps equation），也称为 σ 场模型（Sigma field model），它并不是直接描述时空引力本身的方程，而是关于存在于时空之上的某些场的模型。

爱因斯坦的广义相对论方程描述的是“空间”与“时间”本身，但在这个基础之上还存在其他的场，比如电磁场、杨-米尔斯场（Yang-Mills fields）等等。这些方程形成了一个层级体系，而爱因斯坦方程虽然是其中最非线性、最复杂的之一，但在整个层级中却并不处于最高位置。

我研究的是其中相对低阶的一个——波映射方程。它的物理图景是这样的：想象一个波动，它在每一点上都被限制在球面之上。可以把它想象成时空中有一大堆小箭头，这些箭头指向不同的方向，像波一样传播。你轻轻拨动一个箭头，它的扰动就会扩散开来，让周围的箭头也开始运动，就像麦田中随风摇曳的麦穗一样。

我关注的问题是所谓“全局正则性问题”（global regularity problem），也就是：这些能量是否有可能集中在某个点上？我研究的这个方程属于“临界方程”（critical equation）类别，其特征是它在所有尺度上的行为基本相似。

我最终证明了：你无法构造出一个让所有能量集中在一点的情形——能量必须在某个时刻稍微地分散开来，即便只是一点点分散，也足以维持解的正则性。这项工作大约是在 2000 年完成的，也是我后来开始对纳维-斯托克斯方程产生兴趣的原因之一。

为了解决这个问题，我开发了一些新的技术。因为这个方程是高度非线性的，主要是因为球面本身的曲率带来了某种“非微扰效应”（non-perturbative effect）。在常规视角下，这些非线性效应甚至比波动方程的线性部分还要强，使得问题很难控制，即便能量很小也不例外。

于是我引入了一种称为“规范变换”（gauge transformation）的方法。你可以把这个系统想象成一大片麦穗在风中来回摆动，极其复杂。如果我们能让这些运动“稳定”下来，比如在空间的各个点上挂上小摄像头，这些摄像头可以随着主流动方向一起运动，从而捕捉到主要动态。

在这种稳定坐标系下，原本非线性的流动就变得更线性了。我正是通过这种方式找到了一个可以转换方程的坐标系统，成功减少了非线性影响，并最终得以解决该方程。

而我是在澳大利亚探望姑妈时发现这个变换方法的。当时我试图理解这些场的动态变化，但既没有纸笔，也不熟悉用计算机做模拟，只好闭上眼睛，躺在地板上，想象自己变成了那个矢量场，在空间中滚动，试图找到一个合适的坐标系统，使得在所有方向上，系统行为都更接近线性。

我姑妈正好走进来，看见我躺在地上翻滚，就问我：你这是在干嘛？我只能回答：这事说来话长。于是她说，好吧，你是个年轻人，我不问了。

解决难题

莱克斯：

你是如何着手解决难题的？当你在思考时，你是在脑海里想象那些数学对象、符号，还是别的什么？通常，你在思考时，脑子里看到的是什么？

陶：

我会大量使用纸和笔。作为一名数学家，你会逐渐学会我称之为“策略性地作弊”的方法。

数学的魅力之一在于，你可以自由地更改问题的形式、甚至规则，这一点在别的领域几乎做不到。

比如说你是个工程师，有人让你建一座桥横跨这条河，你不能说：“我想在这边建桥”或者“我想用纸建，而不是钢”。但作为一个数学家，你可以任意设定条件。

这就像在玩一款电脑游戏，而你拥有所有作弊码：你可以把一个很高维度的问题降到一维，先解决一维的情况；或者当有主项和误差项时，你可以假设误差项为零，做个球面对称假设，先解简化后的问题。

所以，解决数学问题的最佳方式不是进入“钢铁侠模式”，把一切难点都维持在最难，而是——如果有 10 个让你头大的难点，那就设法先把其中 9 个放下，仅保留 1 个，集中解决那个。

当然，如果你把 10 个都放下了，那题目就无聊了。但放下 9 个、只留 1 个，是一个很有价值的练习。

你先解决这一个问题，掌握了应对这类难点的方法，然后把这个“作弊”关闭，重新打开另一个难点，再解决另一个。

等你学会了单独应对这 10 种难点之后，就可以开始把它们两两组合，一点点整合成原始问题。

小时候我看了很多港片，特别是功夫动作片——每次打斗场面，主角都会被一群恶人围攻，比如 100 个反派包围他，但打斗总会被编排成一次只跟一个人打。他解决一个，再打下一个。正因为这样，他才可以一个打百个。

但如果反派们头脑更聪明，直接一起围攻，那主角早就输了。当然这样一来电影就不好看了（笑）。

莱克斯：

你通常是用纸和笔吗？还是会用电脑和 LaTeX？

陶：

主要是纸和笔。我的办公室里有四块巨大的黑板，有时候我需要把我知道的关于这个问题的一切都写在那四块黑板上，然后坐在我的沙发上，看着全局。

上面还有很多图画，很多只有我自己才看得懂的涂鸦。黑板的好处是可以随时擦掉，整个思考过程很有机。当然，现在我开始越来越多地使用电脑，部分原因是 AI 的发展让一些基础编程变得更简单了。

以前如果我想画一个稍微复杂点的函数图，比如有些迭代过程，我得自己写 Python 代码，想想 for loop 怎么写，还得调试，可能花上两小时。而现在只要十几分钟就能搞定。所以我现在开始用电脑做一些简单的探索了。

AI 辅助证明

莱克斯：

我们来聊聊 AI 吧，也许可以从计算机辅助证明谈起。你能介绍一下 Lean 形式化证明编程语言吗？它作为证明助手是如何工作的？你是怎么开始使用它的？它在哪些方面帮到了你？

陶：

Lean 是一种编程语言，和 Python、C 这些传统语言相似，但一般的编程语言主要是执行指令，比如翻转比特、驱动机器人、传输信息等。而 Lean 除了也可以像传统语言那样执行代码之外，更重要的是，它可以“生成证明”。

比如用 Python 计算 3 + 4，会告诉你答案是 7，但 Lean 不仅给出答案，还会生成“为什么等于 7”的形式化证明——包括每一个推理步骤。

所以 Lean 处理的是比单纯语句更复杂的对象：带有完整证明的陈述。而每一行代码，实质上是把已有的数学语句拼接起来，从而导出新的结论。

这种思想其实并不新颖，这类系统被称为“证明助手（proof assistant）”，它们为构建复杂数学证明提供了一个形式化语言。如果你信任 Lean 的编译器，那么它输出的每一个证明都可以被视为 100% 正确的“证明证书”。而且 Lean 的编译器做得非常小巧可靠，目前也有多个版本可供选择。

莱克斯：

那能不能帮大家建立一个直观概念：用 Lean 和用纸笔写证明的区别在哪里？把一个数学命题形式化到底有多难？

陶：

Lean 的设计吸收了很多数学家的意见，所以它的语法尽可能模拟“数学证明的语言”。比如你引入一个变量、使用反证法等等，都可以用标准的方式表达。

理想状态下，它可以做到“证明语言与代码之间的一一对应”，但实际上仍然存在差距。Lean 更像是你在向一个极度挑剔的同事解释证明过程，他会不断打断你，“你确定这是你想说的吗？如果这里是 0 会怎样？这一步你怎么保证的？”

Lean 虽然内置了很多自动化能力，但它要求你对每个对象都明确指明其类型。比如变量 X，你需要指出它到底是实数、自然数、还是函数？在非正式写作中，这通常靠上下文推断，比如设 X 为 Y 与 Z 之和，而 Y 和 Z 是实数，所以 X 也是。

Lean 可以自动推断其中很多信息，但有时还是会打断你：你能不能明确告诉我这个对象是什么？这就要求你在形式化时，不光要关注计算本身，还要在哲学层面上思考这个对象到底是什么。

莱克斯：

它是用像大语言模型这样的东西来做类型推断，还是说它只是匹配“实数”这个词？

陶：

它用的是更传统的那种，我们称之为“老派 AI”。所有数学结构都可以表达成“树状结构”，然后使用算法在不同的树之间进行匹配。

Lean 中的每个对象都有“生成历史”，你可以一路追溯它是怎么来的。它的目标是“可验证性”，而不是依赖现代 AI。但现在也有很多人尝试在 Lean 之上叠加 AI。

比如在使用 Lean 写证明时，经常需要调用微积分基本定理。Lean 团队开发了一个叫 Mathlib 的庞大库，里面包含了数万个数学事实。但要用的时候，你得找到它。所以现在的主要瓶颈之一是“引理检索”——你知道这个工具在库里，但要找到它。

这时候，大语言模型可以帮忙了。你可以直接说“我现在需要用微积分基本定理”，像我在写代码时装了 GitHub Copilot，它会扫描我当前的代码环境并智能推荐，比如你只写“我现在需要基本定理”，它就可能自动补上“试试这个引理”。

大概 25% 的时候它能直接用，另外 10–15% 虽然不完全对，但改一改也能用，还有 50% 是完全废话。但即便如此，这种 AI 在 Lean 上的应用已经像是一种高级自动补全了。

莱克斯：

但这不会扼杀掉作为一名数学家的那种“氛围”（vibe）吗？有一个学究气的同事在你身边。

陶：

确实是这样。但也有一些时候，形式化反而更舒服。比如我曾经形式化一个定理，最后得出的常数是 12，这个“12”在整个证明中不断被使用，每一步都要和它保持一致。我们把整个定理写成论文后，过几周有人说我们其实可以把这个 12 降到 11，通过重构一些步骤。

如果是在纸上写的，每次改一个参数，你就得一行一行地检查整篇证明有没有崩掉。有些地方可能用了 12 的某些特性，但你根本没意识到，一改就错。但我们是用 Lean 形式化的，于是我们把定理的“12”改成“11”，重新编译，发现成千上万行代码中，90% 还是能跑的，只有少数几行报错。它会立刻告诉你“这些步骤无法被证明”，所以你知道改哪儿就行了。

如果你用的是良好的编程结构，不写死常数、用智能调用，那修改范围就很小。我们用了一两天就把整个定理从“12”更新成“11”了，远比纸笔快得多。

同时证明会更长，但每一个独立的部分都更容易读懂。比如你打开一篇数学论文，第 27 页，第 6 段，某一行看不懂，很常见。因为它用了某些定义，而这些定义可能在第 10 页，整个证明散布在不同地方，你不得不“顺着读”。

不像小说可以从中间随便翻开。但在 Lean 里，如果你把鼠标悬停在某一行上，每个对象都会告诉你它是什么、从哪儿来、怎么定义的——你可以轻松追溯整个结构，而不用翻来翻去。

Lean 还让我们可以在“原子级别”合作，这在过去根本不可能。传统上，要合作写一篇数学论文，不是黑板上一起推，就是你写第三节我写第四节，很难真正实时协作。而在 Lean 中，比如我卡在第 67 行：“这步我证不出来，但大概思路是这样”，其他人看了之后可能立马说：“你可以用这个工具、那个引理”，于是就能快速推进。

现在我可以和全球几十个从没见过面的人一起写证明，而且即使我不知道他们是谁，有多可靠，Lean 本身就是可信的证明证书，它让我们可以做“无信任协作”的数学。

莱克斯：

你以善于合作著称。那在数学研究中，解决一个困难问题的“正确协作方式”到底是怎样的？你们是“分而治之”型的？还是说会集中在某一部分上进行头脑风暴

陶：

最开始总会有一轮头脑风暴。数学研究项目的特点就是：你一开始根本不知道该怎么做。它不像工程项目，理论早就成熟了，主要难点是落地实施。做数学，你得先弄清楚“哪条路是对的”。

这就像我说的“先作弊”：拿造桥打比方——第一步，你假设自己有无限预算、无限工人，那你能造出这座桥吗？如果能，再假设只有无限预算但工人有限；再进一步，预算也有限了……

当然，现实中的工程师不能这么干，他们有刚性需求。但在数学里，我们可以这样“幻想”，先搞出一个原始构想，看是否存在一条可能的路径。一旦你发现了有可能的解法的大概框架，那就可以把问题拆解成多个子问题。虽然每个子问题也不容易，但你可以集中精力各个击破。

而且，不同合作者对不同子问题的处理能力也不一样。

我有一个我因此而出名的定理，是和本·格林（Ben Green）合作的，现在叫做格林-陶定理（Green-Tao theorem）。它陈述的是素数包含任意长度的数学级数（等差数列），是对塞迈雷迪定理的一个修改。

我们合作的方式是，本已经证明了：素数中存在大量长度为 3 的等差数列，甚至在某些素数子集中也能找到。但他的技巧只能处理长度为 3 的情况，对更长的不适用。

我这边呢，正好有一些来自遍历论的技巧，是我一直在研究和玩的领域，那时候我比本更熟悉这套工具。于是我就想，如果本能提供某种关于素数的随机性假设，只要满足某个技术条件，我这边就能从这个出发，推出我们想要的结论。但我提的那个条件，本说：这是个数论中的超难问题，我们不可能证明它。

于是他回我一句：你能不能把你那部分的假设放松一点？用我这边能证明的条件？然后他提出了一个他能证明的假设，但对我来说太弱了，我根本用不上。于是我们就你来我往，我想多作弊一点，他想少作弊一点，不断妥协。最后我们终于找到一个 A）本能证明，B）我也能用的共同假设，这才合力完成了这个定理的证明。所以每一次合作都有一套独特的故事，没有哪两次合作是一样的。

Lean 编程语言

莱克斯：

反过来说，像你刚才提到 Lean 编程语言的情况，这其实是另一种故事了。你曾说它可以让我们为某个问题创建“蓝图”，然后就可以真正地实现“分而治之”。在 Lean 的框架下，每个人处理不同部分，由计算机来验证整个推理过程是否成立。

陶：

对，它能让一切变得兼容且可靠。当然，现在只有一小部分数学项目能以这种方式被拆分。就目前的技术水平而言，Lean 大多数的应用仍是用于形式化人类已经完成的证明。

从某种意义上说，一篇数学论文本身就是一份“蓝图”。它把一个大命题拆解成上百个引理。但这些引理常常没有写得足够详细，无法直接拿来形式化。

而我们说的“蓝图”，是那种极其严谨写成的版本，每一步都解释得尽可能详细，力图让每个环节都自成体系，或者只依赖前面非常有限的一些结果。这样生成的“蓝图图谱”中，每个节点就可以独立处理——你甚至不需要知道整个定理长什么样，就像现代供应链组装 iPhone 一样。

莱克斯：

这是一个非常令人兴奋的可能性，如果你能找到那种可以被拆解成模块的问题，那你就能吸纳上千名协作者，彻底实现分布式数学协作。

陶：

是的。我之前说过“理论数学”与“实验数学”的划分。目前数学绝大多数还是理论主导，实验的只占很小部分。

但我认为 Lean 以及像 GitHub 这样的平台，能让实验数学的规模扩大到我们从未有过的程度。现在你如果想探索某个数学模式，就得写代码来模拟。虽然也有一些计算机代数软件包能帮忙，但多数时候还是数学家自己写一堆 Python 代码，

这本身就极容易出错。而且因为代码不稳定，也很难开放给别人协作，一旦某个模块有 bug，整个系统就不可信。于是大家写出的代码都像“意大利面条”，混乱、笨重、不易共享。

这也导致了实验性研究无法规模化。但有了 Lean，我已经开始一些项目，不只是用数据做实验，而是对证明本身进行实验。

我们有一个叫“等式理论项目”（Equational Theories Project）的研究，生成了大约 2200 万个抽象代数中的小问题。也许我得先解释一下这个项目。

抽象代数研究的是像加法、乘法这样的运算以及它们满足的抽象性质。比如，乘法是交换的（X×Y = Y×X），也是结合的（X×(Y×Z) = (X×Y)×Z），但并非所有性质都成立，比如 X×X = X 并不总是成立。

我们列出了大约 4000 条可能的代数法则，并想搞清楚：哪些法则会推出另一些法则。比如，交换律能推出结合律吗？答案是否定的，因为可以构造一个例子，满足交换律却不满足结合律。

也有些法则之间确实存在推导关系，可以写出代数证明。于是我们就对这 4000 条法则，两两配对，总共形成了 2200 万个组合。每个组合就是一个问题：法则 A 能否推出法则 B？若能，请给出证明；若不能，给出反例。

这些问题几乎都可以给本科生练习，大多数都很基础，只有大约 100 个左右相对更难。项目的目标就是画出这整张“推理图谱”——哪些法则可以推导出哪些其他法则。

这在以前是不可行的。文献中能处理的极限是 15 条法则之间的关系，靠人类手工，已经到极限了。

你要想拓展，就必须众包；但你也得确保每条推理都可信，而不可能靠一个人检查完 2200 万个命题。这在 Lean 出现前是不可能实现的。我们原本也希望加入 AI 辅助，目前整个项目基本完成了：2200 万个命题，只剩下两个还没完全形式化。

其实那两个我们也已经有手工证明了，现在正在形式化。今天早上我还在处理这个，马上就完工了。为了这项工作，我们找了大概 50 个人，所以我们将会有一篇 50 个作者的论文，还有一个超长的附录，说明谁贡献了什么。

莱克斯：

你们这么多人协作，有没有办法按照贡献者的专业水平来组织协作？我这问题听起来有些天马行空，但设想一下：未来如果也加入 AI 协作者，是否可以像 Elo 等级评分那样，为每个协作者打分、游戏化？

陶：

其实 Lean 项目的一个好处是：它会自动生成全部数据。我们所有的代码都上传到 GitHub，GitHub 会记录谁写了什么。所以你可以随时生成统计，比如谁写了多少行代码。这当然只是粗略指标。

我绝对不希望这些数据被用于职称评审之类的正式用途。但企业里早已有类似的员工评估标准，我理解这趋势对学术界是有点吓人的。

莱克斯：

但学术界也用指标，他们只是用旧的，比如论文数量。我反而觉得（新的）这种指标虽然有缺陷，但方向更正确了。

陶：

我认为这值得研究。你可以做一些研究，看看这些是不是更好的预测指标。这里有一个叫做“古德哈特定律”（Goodhart s Law）的问题：如果一个统计数据真的被用来激励绩效，它就会被“玩坏”，失去原有的参考价值。

所以我们这次采用了“自我报告”的方式。科学界有一套标准分类，用来描述协作者的贡献：构思、验证、资源、编程等等，总共大概十二项。

我们就把所有作者列成一个矩阵，请每人勾选自己在哪些类别有贡献。比如你写了代码、提供了算力，但没有参与手工验证，那就标清楚。

数学界的传统是按照姓氏字母排序。我们并不像自然科学那样按“第一作者”“第二作者”区分，我们对此很自豪——我们把所有作者视为平等。但在这种大规模项目下，这个传统就很难维持了。

十年前，我参与过一些叫做博学者项目（...