迷失在好书之中：豪尔赫·博尔赫斯的无法逃脱的迷宫

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

1 入口

“入口”（Entrance）是一个同形异音异义词的绝佳例子，即一个词拥有至少两种不同的发音，每种发音都具有与其他发音不同的含义。在本文的语境中，这两种发音和含义相互补充得非常完美：“入口”，作为进入的地方，以及“登场”，带来愉悦与惊奇。

许多人可能会说，小说是通过组合文字来唤起画面，进而引发读者情感并触动其信念的艺术。也有人会说，数学是通过组合公理和柏拉图理念的具体化来表达“必然如此”的事物的艺术。这些描述使得将数学与小说相结合的前景，如同电影中疯狂科学家的实验，疯狂地将化学物质混合在一起，煮沸并蒸馏它们，并希望出现一个不可能的结果（一些批评家可能会声称，所有的数学都是枯燥无味的小说，但我并不认为我能够说服他们认识到他们的错误）。

要想象如何将这两个领域以一种能够充分体现这些人类项目中的艺术性、精准性和深刻性的方式结合起来，实属不易。阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯是首批尝试如此创作的作家之一，也是其中最杰出的代表。博尔赫斯于1899年出生于布宜诺斯艾利斯，一战期间及战后曾在瑞士和西班牙生活，1921年返回他深爱的布宜诺斯艾利斯。在20世纪20年代至30年代初，他在阿根廷因其关于诗歌的宣言、诗歌作品、短篇小说以及发表于《女士家庭期刊》阿根廷版等非传统刊物的散文而崭露头角。博尔赫斯快40岁时，很容易将他视为一个失败者：他未婚，与母亲同住，并在布宜诺斯艾利斯的一家小型地方图书馆从事低级工作，梦想着阿根廷草原上骑马的牛仔和牧者，如同小神明般漫步的时代。

在这段人生时期，博尔赫斯视力逐渐衰退，他在阿根廷国家图书馆接触到大量风格迥异、内容丰富的藏书的同时，他如饥似渴地阅读并反复研读伯特兰·罗素关于数学哲学与实践的著作。他的探索与研究，与我最初的动机相似，源于对无限性的理解——既包括宏大的无限，如尼采在《永恒轮回》中对时空连续体的思考，1也包括微小的无限，如芝诺悖论中阿基里斯与乌龟所迈出的越来越小的步子。2

我们绝不能将博尔赫斯视为数学家，他自己也不会这样称呼自己，但正因他沉浸于原子组合的理念，以及无限在宏大与微小中的展现，再加上对罗素对芝诺悖论的解决以及对超限数的思考，博尔赫斯逐渐成为了一种承载排列数学与无限理念的容器。他对这些思想及其在周围世界中的体现的沉思，最终在《虚构集》中得到了表达，这是一部薄薄的短篇小说集，标志着他在阿根廷以外的文学声誉的开端。

确实有可能，而且非常具有诱惑力，去审视那片广袤、不断扩张、沼泽般的文学作品与人物的三角洲，并将博尔赫斯归类为爱伦·坡哥特式创作的继承者、魔幻现实主义的开创者，以及科幻小说、元小说和超小说等众多作家流派的先驱。同样可能，甚至更具诱惑力的是，提及他独特而令人难忘的散文风格；诺贝尔奖得主加布里埃尔·加西亚·马尔克斯和玛丽亚·巴尔加斯·略萨，以及其他西班牙语文学的杰出作家，如卡洛斯·富恩特斯和胡利奥·科塔萨尔，都将博尔赫斯视为深刻的影响。

但我并非来对博尔赫斯大加赞誉，也并非作为解读者，更非作为文学分析师或理论家。事实上，我甚至不会探讨他短篇小说中最为显而易见的数学元素。3 本文的其余部分将聚焦于他《虚构集》中一个故事《巴别图书馆》中所描绘的最大可想象迷宫。巴别图书馆的构想基于简单的组合数学，博尔赫斯承认自己是从库尔德·拉斯维茨的科幻小说《万能图书馆》（1901年）中借用了这个想法。

2 无限迷宫

简而言之：想象一个由25个符号组成的字母表，其中包括句号、逗号和空格。图书馆包含所有包含这些符号的可能序列的书籍，这些书籍总共410页，每页40行，每行80个符号。正如博尔赫斯所写：

宇宙（有些人称之为图书馆）由无数六面体回廊组成，其数量可能无限。中央有一个宽大的通风井，环绕着极低的栏杆。从任何一层的六面体，都能看到上下各层，没有尽头。回廊的布局一成不变。二十只长书架，每边五只，排满四边，留下两边空着。它的高度与每一层的高度相等，刚好超过一个普通图书馆员的身高。空着的两边中，有一边是一个狭窄的门道，通向另一个回廊，其模样与第一个回廊和所有回廊相同。门道左右两侧各有两间小房间。一间可供站着睡觉，另一间用于排泄。从这里，可以通向一道盘旋的梯子，往下到达无底的深渊，往上升到遥远的高处。门道里有一面镜子，忠实地重复着映照的事物。人们总是根据这面镜子，说这个图书馆不是无限的。（如果真是这样的话，为什么会有这重复的映象呢？）我宁愿作梦，梦中一切光亮的表面都能反照，从而达到了无限……光线来自一些球形的果子，叫做灯。每一层六面体内有两只，横排。它们发出的光不充分，然而也不中断。

每一个六面体的每一边墙，排列着五只书架；每一只书架上插着三十二册开本相同的书；每一本书有四百十页；每一页有四十行；每一行大约有八十个黑色的字母。每一本书的书脊上也有字母；这些字母并不指明或者说明书页中的意思。4

博尔赫斯故事的魅力在于，他仅用几段文字便构建了一个专为收藏图书馆中无数书籍而存在的完整世界，5 营造出一个包罗万象的图书馆所特有的阴郁氛围，并揭示了在如此严苛环境中居住所带来的形而上学、道德与心理层面的后果。故事的叙述者是一位年迈的图书馆员，他毕生都在思考这座不可捉摸的图书馆的意义与运作方式，而困扰他的一个问题与困扰我们的一样：这座宏伟建筑的形状与结构究竟是怎样的？在故事的开头，以图书馆员的口吻叙述时，博尔赫斯写道：

现在,我觉得,只要重温一下这个古典的定义就够了:图书馆是一个球体,其完整的中心是一个任意的六面体,其周围则无可企及。6

然后，经过多次沉思，故事的最后几句邀请我们重新审视图书馆的拓扑结构：

我相信我提到了自杀，它一年一年地越来越多。也许年老和害怕蒙骗了我，可是我怀疑，人类——这唯一的种族——正在自行消灭，而这个图书馆却会继续存在：光亮，孤单，无限，一动不动，装满着宝贵的书籍，既无用，也不朽，保守着秘密。

刚才我写下了“无限”两个字。我并不是仅仅由于修辞的习惯而加上这个形容词的；我是说，把世界想成无限，并非不合逻辑。谁把它判断为有限的，那就是自以为远处的回廊和楼梯以及六面体会不可思议地停止——这是十分可笑的。谁把它想象成为无限的，那就是忘掉了书籍可能有一定的数目。我敢于提出解决这个古老问题的建议：这个图书馆是无尽头的，周期性的；如果有一个永恒的游客，从任何哪个方向穿过去，经过几个世纪之后，他会得到证实：同样的一些书籍，以同样的杂乱无章在重复（一次一次地重复，就会构成次序，也就是成为次序本身）。我的寂寞，由于有了这样美好的希望，竟然变成了快乐[莱蒂西亚·阿尔瓦雷斯·德·托雷多曾经说过：庞大的图书馆是无用的。严格地讲，单独一本书就已足够。一本普通开本的书，用九磅或十磅的字体印刷，包括无限薄的纸的无限数书页（十七世纪初，卡瓦利埃里说过：所有的固体，都是一个无限数平面的重叠），可是这本丝绸一样的袖珍本读起来很不方便。每一页明显的书页，会分开成类似的许多页，那不可思议的中间的一页，则是没有反面的。7

对于图书管理员来说，在广袤的宇宙中谈论无限，想象一个不受墙壁或边界束缚的宇宙，或许令人满足。但大多数人的思维都会对这种永恒的概念感到抗拒。（更不用说建造和维护的成本了！）此外，我们还必须问：“六边形靠什么支撑？”唯一的可能答案是下面的六边形，这又引出下一个问题：“那么那个六边形又靠什么支撑？” 这让人联想到一个老笑话：地球立于大象之上，大象立于乌龟之上，当好奇乌龟立于何物时，笑点便揭晓了：从那里往下全是乌龟。如果建筑结构真是“从那里往下全是六边形”，那么图书馆无疑比建在沙上的城堡更糟糕。令人惊叹的是，下文提出的图书馆建筑模型恰好为这个问题提供了令人满意的答案。

关于当前情况的严重性，需特别说明。若宇宙与图书馆同义，且我们合理假设宇宙既不膨胀也不收缩，则自然引力场在任何地方都应为零。尽管宇宙/图书馆中存在大量物质，但其均匀分布意味着来自任何一个方向的引力效应都会被来自相反方向的相同效应完全抵消。由于图书馆的建造者从我们的角度来看必定是全知全能的，他们的能力中必定包括在图书馆中施加一个有用的恒定引力场的能力。

即使存在这些限制（或例外），是否仍有可能在宇宙这座图书馆的迷宫中找到一条优雅的道路？换言之，是否有可能为宇宙这座图书馆找到一种恰当的描述，既能最好地满足图书管理员的视角，又不违背“无限太大”的直觉？

拓扑学是数学的一个分支，研究空间的性质和不变量。在本论文中，空间将被视为由描述统一的一组点。推测图书馆的拓扑结构，以最好地反映匿名图书管理员的智慧和秘密希望，这种推测并不无道理。

从经典定理（CD）和图书管理员的解决方案（LS）中提取以下属性：

1. 图书馆是球形的。（CD）

2. 中心可以位于任何位置——存在均匀对称性。（CD）

3. 周长无法达到。（CD）

4. 不存在边界。（LS）

5. 图书馆是无限的。（LS）

6. 图书馆是周期性的。（LS）

是否存在一个空间能够同时具备这六种特性？如果存在，我们该如何最好地想象并理解它？事实上，有一个极佳的候选对象几乎完美地满足了这些特性。

要理解候选空间，从最符合直观几何感的空间开始是合理的：欧几里得三维空间。这是一个具有体积的空间，它有三个方向轴，以我们自身为中心点，我们可以向前或向后移动，可以向左或向右移动，也可以向上或向下移动。当然，我们也可以以这些方向的组合进行移动。请注意，从这一描述中可以看出，并不存在固定的中心点：我们自己就是中心点。

事实上，笛卡尔最深刻的想法之一是在三维空间中指定一个点——某个点，任何点——并将其称为原点。三条在原点相交的轴，通常称为x轴、y轴和z轴，每条轴都与另外两条轴成直角。它们抽象了我们天生的、直观的空间定位感，并通过引入单位长度（这自然导致了轴的编号），从而实现了空间的坐标化。

但在欧几里得三维空间中，没有任何突出的点；事实上，从任何一点望去，看到的景象都与从其他任何一点望去时完全相同。这里没有墙壁，没有边界，也没有限制。故事的结尾，图书管理员设想了这样一种空间：它被划分为六边形，填满书籍，无限延伸至整个三维空间的每一个角落。书籍的摆放模式沿着三个轴无限重复，就像二维空间中对称的墙纸图案一样。虽然这种图书馆的构想满足了上述列表中的第(2)、(4)、(5)和(6)点，但也引发了上述描述的令人眩晕的迷失感。

因此，可以看出欧几里得三维空间蕴含了在探索图书馆大尺度结构过程中值得关注的一些特性。在描述一个更能协调经典格言与图书管理员解决方案特性的图书馆子结构之前，有必要先概述两个想法，一个是数学的，另一个是神秘的。

数学上的这一概念相对较新，起源于20世纪初。对于本文而言，只需说明流形是一种在局部上是欧几里得空间，但在全局上可能是非欧几里得空间的空间即可。最简单的例子可能是球体或地球表面。局部而言，假设我们足够微小以至于无法察觉曲率，球体上的每个微小区域本质上都是一个二维欧几里得平面（2维空间）。想象中亚的草原、美国的玉米带、撒哈拉沙漠，或是任何广阔平静的水域，都能生动地说明这一点。从整体来看，尽管每个小区域本质上是平坦的，但存在非欧几里得行为：如果我们从一个点出发，选择一个方向，并继续沿着这个方向移动，我们会绕球体一周并回到起点。这种情况在二维空间中是不会发生的，因为在二维空间中，我们永远沿着一个方向移动，永远不会再次接近之前访问过的点。

再次，流形是局部欧几里得空间。如果我们从空间中的任意一点出发，环顾四周并朝任意方向迈出几步，我们会认为自己处于欧几里得空间吗？如果答案是肯定的，那么我们所处的就是一个流形。如果我们继续行走，并且发生了一些异常现象，例如回到我们的起点，那么我们就意识到我们处于一个非平凡的流形中；也就是说，一个具有全局非欧几里得性质的流形。例如，我们的宇宙似乎是一个流形，尽管在黑洞处会出现一些有趣的问题。当然，我们无法想象站在黑洞处并朝任何方向迈出一步！

这种神秘的观念相对古老——我将追溯其根源与绵延不绝的回响的任务，交给一位博尔赫斯式的智者。让我们从一个熟悉的地方开始，即我们自己的宇宙。当我们谈论宇宙中的某个物体——例如番茄、书桌或椅子时，我们将其视为嵌入更大空间之中。

因此，我们常常使用相对坐标系来指代物体，例如当我们说“它在我右边”，或“在那边！在你身后，往左边”，或“挠我的背……再低一点……再低一点……往右边……现在往上……就是这样！” 在漫长的岁月里，主要作为导航工具，我们逐渐确定了一些相对不那么任意的参考点，例如北极星、磁北极和真北极。然而，关键在于，这些参考点、这些起源，都位于我们的宇宙之内。“宇宙之外”是一个超出正常理解范畴的短语。一些理论将我们的宇宙置于一个更大的矩阵中，例如一个包含无限个无法进入的宇宙的超热气体云，或一个更高维度的空间，或一个由分叉宇宙构成的复杂体系。然而，这些理论不可避免地（应该）提出一个问题：

更大的宇宙之外是什么？

答案是无物；虚无；非空间；不可描述性；非物性；真空之外的虚空：所有这些无物都是宇宙的“外部”。这两个概念，数学的与神秘学的，在这道问题及其答案中交织在一起。

球体的中心在哪里？

如果将球体视为嵌入三维空间中的日常物体，答案可能以“两条直径的交点”的形式呈现，或者，指着它戏剧性地说道，特别强调地说：“就在那里！在中间，在内部！”

然而，如果我们将球面的表面视为一个流形，即一个自成一体的空间，那么问题和答案就更加微妙了。就像我们的宇宙一样，如果我们把自己视为球面本身上的点，那么就无法合法地指代球面表面之外的任何点。只有球面本身存在；其他一切皆为虚无。球面的中心在哪里？如果将其视为一个流形，答案是

无处不在，又无处可寻。

每个点都具有这样的性质：在局部范围内，它看起来像欧几里得空间，并且无论选择哪个方向，持续沿着该方向移动都会使勇敢的旅行者回到起点。没有任何一个点在任何方面被特别区分出来。

要为图书馆提供一个令人满意的拓扑结构，还需要一个额外的想法。上面提到的流形示例是一个二维球面。严格定义二维球面的方法有多种。欧几里得可能会这样写：“给定3维空间中的一个点p，以p为中心的球面是所有与p保持指定均匀距离的点的集合。”标准单位球面的解析几何方程是

图1 中，欧几里得3维空间的坐标轴被观察到在2维球面内部但不属于该球面的一点相交。

图2 一个圆盘从欧几里得2维空间卷曲出来，当边界收缩为一点时，形成一个2维球面。

图2中，通过文字和图片展示了2维球面的拓扑构造。

首先在欧几里得平面上取一个圆盘，在保持圆盘内部结构不变（仅进行弯曲和拉伸）的前提下，将整个边界圆圈从2维空间中折叠出来，然后将边界收缩为一点。这一点，即边界的收缩点，成为北极点，并在构造过程完成时消失于球面之中。

一个有趣的点：从描述的方式以及图片展示的过程来看，可能会让人觉得一个圆盘正在随时间推移而发生变化。然而，实际上，我们只需说：“将圆盘的边界确定为一个点。”因此，从某种意义上说，球体的形成是一个无时间性的步骤，它“瞬间完成”。

三维球面在过去一个世纪中推动了拓扑学领域的诸多进展，而由于近期解决的庞加莱猜想，它仍是一个充满活力的研究课题。三维球面是一维球面（圆）和二维球面的推广。欧几里得可能会这样写：“给定四维欧几里得空间中的一点p，以p为中心球面是所有到p距离相等的点的集合。”标准单位三维球面的解析几何方程是

对于三维球面，类似的拓扑构造难以想象，但通过拓展对该领域的理解，许多内容或许可以直观地领会。

取一个实心球体，在保持球体内部不压缩的情况下，将整个边界二维球面“向上”折叠，然后简单地将边界二维球面收缩到一点。就这样！但这怎么可能做到呢？至少困难之处不难理解，因为构造二维球面时，我们是从二维物体（圆盘）出发，将其弯曲到三维空间中以收缩边界。而从三维空间中的实心球体开始，我们必须先将球体“弯曲”到四维空间中，才能收缩边界。

在此关头，数学变得难以想象；最好的希望是，通过冥想想象力所能触及的低维例子，可以获得一些可能的感觉。从二维球体的类比出发，下面介绍两种将三维球体形象化的方法。

如果我们取一个二维球面的二维欧几里得切片，得到的几何对象要么是一个点——在北极和南极——要么是一个球面。

将《平面国》中的一个想法轻度升级，想象一个平面切片从北极移动到南极的影片。画面显示一个点逐渐扩大为一个单位圆，然后又缩小为一个点（图4左）。类似地，想象一下从一个三维球体上切下一个三维欧几里得切片。在这种情况下，得到的几何物体要么是一个点（位于“顶部”或“底部”），要么是一个二维球体。如果我们把这个大切片从顶部移动到底部的过程拍成电影，观众就会看到一个点逐渐变成一个单位球体，然后又缩小成一个点（图 4，右）。

图3 二维球体的平面切片在南北两极产生一个点，在其他地方产生一个圆

图4 在左侧，平面切片从二维球体的北极切到底部，而在右侧，类似地，体积切片从三维球体的“北极”切到“南极”。

将这一想法扩展开来，假设我们被迫将二维球体缩小到二维空间中，而二维球体的自然归宿是三维空间。由于二维球体可以看作是由两个极点组合而成的堆叠圆的集合体，因此可以把它看作是由两个点分别代表南北两极的相交圆的集合体的平面化描述。

与此相关的问题是，在将三维球体缩小到三维空间后，如何表示三维球体。把三维球体看作“堆叠”的二维球面——就像二维球面是堆叠的一维球一样--类似的三维空间表示法就是相交的二维球体的集合。

所有框架的梁和支撑结构现已就位，即将完成对宇宙拓扑结构和宇宙学的组装，而这个宇宙就是图书馆。三维球面是一个三维流形；在三维球面的每个点上，一个居民都会说——在局部范围内——空间是欧几里得空间。如果一群旅行者沿着他们认为是直线的方向行走，他们可能在无数个时代后回到起点；因此，三维球面可以被视为周期性的。这里没有边界，没有墙壁可撞击；三维球面是无限的。此外，在博尔赫斯那篇光辉的短篇小说《小径分岔的花园》中，他让那位富有同情心的汉学家斯蒂芬·阿尔伯特说道：“我曾好奇一本书如何能是无限的。我能想到的唯一方式是，它是一本循环的、或圆形的书籍，一本最后的页面与第一页相同的书籍，这样人们就可以无限地继续下去。” 尽管阿尔伯特在《小径分岔的花园》中否定了这种推理，但这段引文，加上博尔赫斯对尼采“永恒轮回”思想的兴趣，表明博尔赫斯愿意将循环或重复的结构视为无限的象征，或与无限同义。

作为一个三维流形，三维球面的中心无处不在又无处可寻。此外，如果三维球面如此庞大，以至于无论我们如何移动，都无法环绕它一周，那么说它的周长不可达也就不无道理。（最后，这回答了关于六边形“依托于何处”的问题。通过形成大圆——即球体的赤道——六边形彼此支撑，最终支撑自身，因此无需依赖一个不可能存在的“外部”基础来支撑图书馆8）。

如果图书馆是宇宙，而宇宙是一个三维球体，那么图书馆就是一个球体，其精确中心是任何一个六边形，其周长是无法达到的；此外，它还是无限的和周期性的。也就是说，三维球体的图书馆同时满足了经典格言和图书管理员的珍贵希望。

3 出口

在经典的迷宫或迷阵中，只有一个入口和一个出口。在初学者的数学观念中，一个问题只有一个入口，即问题本身，而问题也只有一个出口，即正确的解决方案。一位更有经验的数学实践者知道，好的问题有许多起点和许多解决谜题的方法，成功地将它留在过去。事实上，入口越多，解决方法越多，问题的含义就越丰富，它就越有可能在数学领域之外产生共鸣。

在博尔赫斯的图书馆中，以及在他对宇宙的构想中，这种构造是一个由相互连接的层层迷宫组成的迷宫，这种形式暗示着一个入口对应一个出口。但博尔赫斯在尊重传统观念的同时，也引导我们超越了这些传统观念。他故事中的图书馆是一个与宇宙同义的迷宫。同时，既没有入口，又有许多入口，因为任何能够孕育生命的实体，都为另一个生物提供了进入图书馆的入口。

同样，从作为宇宙的图书馆中，既没有出口，同时又存在着许多出口，尽管每个出口都面临着死亡这一残酷的事实。或许这样的出口能够通向一个清晰的世界，让所有迷宫都留在身后，但这并非我们所能知晓的，博尔赫斯的虚构图书馆员也无法知晓。

从外部观察，数学为我们提供了一种处理无限概念的方法，使我们能够将图书馆视为一个巨大的三维球体，一个规模超出人类理解范围的多维空间，一种组织众多书籍的宇宙结构。从故事内部向外看，虚构的图书馆员只掌握了足够的数学知识来理解自己被开了一个深刻的玩笑，但又不够多到能够笑对它。

参考文献

1. A.M. Barrenechea, Borges: the Labyrinth Maker. Translated by Robert Lima. New York University Press, 1965.

2. W.G. Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel. Oxford University Press, New York, 2008.

3. J.L. Borges, Ficciones. Emece Editores, Buenos Aires, 1944. ´

4. J.L. Borges, Collected Fictions. Translated by Andrew Hurley. Penguin Classics, New York, 1998.

5. K. Lasswitz, The Universal Library. Translated by W. Ley in: C. Fadiman (ed.), Fantasia Mathematica. Copernicus, New York, 1997.

6. J. Munkres, Topology. Prentice-Hall, New Jersey, 1975.

7. J. Weeks, The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional, Manifolds. Dekker, New York, 1985.

8 William Goldbloom Bloch，Lost in a Good Book: Jorge Borges’ Inescapable Labyrinth

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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