小乐数学科普：湍急河流与狂暴急流中难以捉摸的数学原理——《量子杂志》每周数学随笔

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《量子杂志》每周都会阐释推动现代研究发展的重要理念之一。本周，数学专栏作家约瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）将深入探讨流体动力学的深邃奥秘。

图源：量子杂志Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志数学专栏作家）2025-6-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-6-18

如今的科学家和工程师们已经非常擅长预测飓风的轨迹，或者计算水龙头里会有多少水。但流体运动的方程仍然让数学家们困惑不已。

大约200年前，看似简单的纳维-斯托克斯方程刻画了流体运动所有难以想象的复杂性。对于流体的任何初始状态，这些方程都能预测其未来变化，至少在理论上如此。1960年代，气象学家尝试用这些方程预测天气时发现，即使是初始状态哪怕是最微小的不确定性，也会迅速膨胀，最终导致预测失效。这种混沌的行为，现在被称为“蝴蝶效应”，这正是一周以上的天气预报如此不可靠的原因。

对于数学家来说，情况更糟。他们甚至不知道纳维-斯托克斯方程是否总有解。它们能有效地描述任何流体的流动吗？或者是否存在一组特定的初始条件，使方程“爆破”（blow up）——也就是说，爆炸到无穷大？如果发生这种情况——用数学家们的话来说，如果方程“变成奇异的”——他们将不再能够模拟当前流体的行为。这意味着数学家们在他们的流体流动理论中缺失了一些东西。

克莱数学研究所悬赏100万美元，奖励第一个证明纳维-斯托克斯方程是否存在奇异解的人。（我曾在本通讯的早期版本中总结过七个“千禧年大奖难题”https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/ 。）其中很大一部分难题在于湍流（turbulence） https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/ ，其中大大小小的涡旋不可避免地交织在一起，相互作用，产生难以预测但威力强大的行为。

数学家们找到了创造性的方法来应对流体力学核心的数学难题。尽管他们距离完全理解流体还很遥远（如果这真的有可能实现的话），但他们在朝着这个遥远的目标前进的过程中，不断取得令人瞩目且重要的进展。

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20世纪初，流体的复杂性令数学家们束手无策。于是，他们决定抛开流体本身，转而思考物体落入湍急的流体中会发生什么：比如，将气象气球放入飓风中，将橡皮鸭扔进湍急的河流中，将黑色油漆洒进翻腾的白色海洋中。他们惊讶地发现，湍流的许多难题都迎刃而解，这使得他们能够对流体将如何影响这些物体的运动轨迹做出具体的、可重复的预测。

其中一个预测被称为巴彻勒定律（Batchelor’s law，以澳大利亚数学家George Batchelor命名，人名batchelor请勿与另一个相近单词bachelor单身汉、学士混淆，zzllrr小乐译注），它与颜料混合示例中出现的漩涡的大小有关。它预测了小尺度特征的数量与大尺度特征的数量之比——当你进一步向外放大并考虑越来越大的漩涡时，这个比例仍然成立。正如凯文·哈特内特（Kevin Hartnett）在《量子杂志》Quanta Magazine上报道的那样，数学家们在2019年证明了这一定律，适用于大量湍流系统 。https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

近期，数学家们通过研究简化的流体模型，证明了湍流的另一个特征。1926年，一位名叫刘易斯·弗莱·理查森（Lewis Fry Richardson）的科学家观察到，前面提到的气球和小黄鸭会被湍流以惊人的效率散射。物理学家后来证实，这种现在被称为超扩散（superdiffusion）的现象确实存在。但数学家们直到去年才能够严格地证明这一点，正如我上个月在 https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/ 上所描述的那样。

数学家们也更直接地研究了纳维-斯托克斯方程，通常在一些简化假设下研究其基础。一种经典的简化方法是从纳维-斯托克斯方程中去除摩擦力；这些简化的方程被称为欧拉方程（Euler equations）。2022年，两位数学家通过大量依赖计算机，证明了 ：https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/ ：在特定条件下，欧拉方程可能会失效。这标志着我们朝着完整的“千禧难题”迈出了一小步，但却意义重大。

即使是最直接的流体方面也很难用数学证明。根据你想了解的流体的具体内容，你可以用不同的方式对其进行建模。例如，在微观层面上，流体由像台球一样运动的单个分子组成。但在宏观层面上，流体表现为单一实体。（纳维-斯托克斯方程描述了这种宏观行为。）1900年，大卫·希尔伯特向数学家们提出挑战，要求他们证明这些不同的模型是兼容的。125年来，无人能证明。但现在，三位数学家声称已经做到了。如果证明成立，这将标志着数学物理史上的重大进步。Leila Sloman对这一突破性证明的详细描述 https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/ 上周发表在量子杂志上，参阅小乐数学科普：。

尽管流体力学以难度高而闻名——有人认为它是“职业生涯的终结地”https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/ ——但该领域仍然异常活跃。我们最伟大的头脑仍在继续探索流体翻腾深处的奥秘。

网络上

安德烈·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）的“五分之三”定律与刘易斯·弗莱·理查森（Lewis Fry Richardson）发现的超扩散现象密切相关。3Blue1Brown在YouTube视频 https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE 中对此进行了精彩的解释。

“没人知道飞机是如何在空中停留的”，这已成为科普界的陈词滥调，但这与纳维-斯托克斯方程的难度无关。埃德·雷吉斯（Ed Regis）在《科学美国人》杂志上发表了一篇文章，解释了如何在没有复杂数学的情况下理解飞机机翼——同时也解释了为什么科学家们对该解释的细节仍存在分歧。

然而，你在跨大西洋航班上遇到的湍流，正是令世界顶尖数学家困惑的湍流。它会扰乱飞机机翼上气流的平稳流动。我们无法预测湍流，但国家气象局的卫星会监测它，并帮助飞行员避开它。 航空气象中心提供的可视化工具 https://aviationweather.gov/gfa/#turb 会显示最新数据，以便你为可能出现的颠簸做好准备。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/the-math-of-rushing-rivers-and-turbulent-jet-streams

https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/

https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/

https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/

https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE

https://aviationweather.gov/gfa/#turb

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