某器件电路板的模型修正

1、模型修正基本理论

在土木、航空、航天、汽车、船舶等工程领域中，有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是结构设计过程中不可或缺的关键步骤。准确的有限元模型对于预测结构在荷载作用下的响应至关重要。然而，建立一个与实际结构高度一致的有限元模型，仅依靠工程师的经验是难以实现的。由于众多不确定性因素的存在以及分析过程中不可避免的假设，有限元模型往往存在一定程度的误差。这些误差可能来源于多个方面，例如边界条件的简化、结构连接条件的失真、材料物理参数的偏差、局部或整体非线性行为的忽略、实际工作状态与假设分析状态的不一致，以及单元类型选择或网格划分的不当等。这些因素共同导致有限元分析结果无法完全真实地反映结构的实际特性。

结构的试验模态分析（Experimental Modal Analysis, EMA）基于实际结构的测试数据，避免了理论分析中的许多简化假设。特别是自二十世纪六十年代以来，试验模态分析技术取得了显著进展。高速计算机的出现和快速傅里叶变换（FFT）算法的应用，使得试验数据处理技术焕然一新，模态测试精度得到了大幅提升。与有限元分析结果相比，试验模态分析结果具有更高的可信度。

因此，可以结合有限元分析技术和试验模态分析技术的优势，利用有限元分析建立结构的初始分析模型，再通过试验模态参数对其进行修正，从而获得高精度的有限元模型。这种高精度模型可为结构响应预测、动力特性修改、优化设计、可靠性分析、损伤监测与故障诊断等工程应用提供重要支持。这一过程被称为有限元模型修正技术，也称为理论-试验联合建模技术。

有限元模型修正方法主要包括灵敏度分析法、粒子群算法和神经网络算法等。其中，基于参数的灵敏度分析法因其高效性和确定性，相较于其他具有随机性的算法更具优势。在模型修正过程中，待修正参数通常从模型的设计参数中选取，这些参数可以是材料属性、几何参数或边界条件等。当调整原始模型的待修正参数p=(p1, p2, ..., pn)时，模型的模态参数、模态置信准则（Modal Assurance Criterion, MAC，用于评估模态间的独立性和一致性）、质量矩阵或刚度矩阵等修正目标f会随之发生变化。因此，修正目标f可以表示为待修正参数p的函数，记作f(p)。为了简化问题，通常在初始参数p处对f(p)进行一阶泰勒展开，以实现问题的线性化：

上式中，p0为待修正参数的初始值对于m个修正对象，n个待修正参数得到的灵敏度矩阵为

将公式（2）代入公式（1）得：

模型修正的目标是通过调整待修正参数，使修正对象与试验结果之间的误差最小化，同时确保待修正参数保持其物理意义。为此，需要为待修正参数设定合理的取值范围，并以误差函数的二范数Min(∥ΔE∥2作为优化目标。其中，误差函数ΔE定义为修正对象与试验结果之间的差异：

其中，fs(p)和ft(p)分别为修正对象的有限元仿真值和试验值，pmin和pmax分别为待修正参数取值范围的最小值和最大值。利用Lagrange乘数法（Lagrange Multiplier Method, LMM）联立公式（3）和公式（4），得：

进而，设计参数的变化量可表示为

式中上标+表示广义逆。然而，即使采用广义逆算法，待修正参数的类型不同时，其大小的数量级波动较大，使灵敏度矩阵极易出现病态，所以灵敏度矩阵的元素需要先进行归一化处理。为了使迭代计算更加高效准确，分别对待修正参数的变化量Δp和修正对象的误差ΔE进行加权处理，NTS.LAB Link中默认采用的归一化的方式如下：

式中，Wp和We分别为变化量Δp和修正对象的误差ΔE的加权项，λ2为加权系数。以模态频率和模态振型MAC值为修正对象为例，加权系数矩阵We可表示如下：

式中，Wf为频率加权系数对角矩阵，WMAC为模态振型MAC值得加权系数对角阵。公式（7）中Wp可表示为

式中

对公式（7）中的变化量Δp求偏导，以求目标函数的极小值，解得：

2、电路板的模型修正

2.1 试验模态分析

在本次试验中，电路板通过弹性绳进行水平悬挂，以此模拟自由 - 自由边界条件（如图1所示）。采用汉航Hunter H18高精度数据采集仪，并结合NTS.LAB DSA数据采集与分析软件，通过单点激励多点响应（SIMO）的锤击法对试验件进行模态试验。试验过程中，NTS.LAB DSA软件实时采集频响函数（FRF）及相干函数等数据，其操作界面如图2所示。

试验完成后，将测得频响函数发送至NTS.LAB Analysis中，采用试验模态分析模块进行模态参数识别，如图3所示，识别出电路板的前10阶模态参数列表如表1所示，对应的振型如图4所示：

2.2 有限元模态分析

采用实体单元建立电路板的有限元网格模型，单元个数为27247，自由度数为331284，如图5所示：

由于复合材料的理论参数未知，临时设置材料属性参数：杨氏模量为147GPa、密度为7800kg/m3、泊松比为0.3，采用有限元软件计算得到结构模态，其中前6阶模态为刚体模态，不做展示，第7~16阶的模态参数如下：

2.3 模型修正

（1）相关分析

将有限元网格模型数据和试验模态分析结果导入汉航NTS.LAB Link软件中，使用软件中动力学模块重新计算有限元模型的结构模态（频率设置大于1），在相关分析模块中进行几何模型匹配和节点匹配，结果如下：

在节点匹配准确的基础上，进行模态匹配和相关性分析，频率匹配结果如表2所示，MAC矩阵的三维图如图9所示，振型匹配情况如图10所示：

（2）模型修正

通过模态相关分析可知，有限元模态频率与试验模态频率的偏差较大，这是由于模型材料参数是任意设置的，不能反映电路板的真实材料特性。因此，选择前10阶模态频率作为主要修正响应，进行材料参数修正。先进行参数灵敏度分析，然后进行模型修正，具体结果如下：

由上图结果可知，修正前后对比模态频率和MAC值均得到了较好的改善，其中，10阶模态MAC值的平均值从修正前的86.1%提高到了95.1%，模态频率修正结果如下：

修正前后的材料参数为

3、总结

模态测试及有限元模型修正作为连接理论设计与工程实践的关键纽带，通过“实测验证模型、模型指导设计”的闭环流程，对PCB电路板开展模态测试及有限元模型修正工作，可显著提升其设计质量、可靠性和使用寿命，同时优化产品开发流程，降低开发成本。

汉航NTS.LAB软件功能完备，集模态测试分析、模型修正及有限元仿真分析等功能于一体，深度融合理论与实际应用，使设计更具科学性和合理性，形成良性循环。该软件能够实现PCB多物理场耦合特性的综合评估，并为设备通过振动环境试验（如GJB 150A-2009、ISO 16750-3）提供重要支撑数据，助力产品在复杂环境下的可靠性和稳定性验证。

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