史上最接近上帝的方程！神秘的数字4.669，目前没有人能解开这个谜语......

上帝指纹

统治世界？

春节假期综合征还没有缓过来，清明三天假又结束了！

实不相瞒，超模君想鸽的心蠢蠢欲动，费了好大劲才摁住！为了不鸽，连夜翻了个墙，明明刚开始还在认认真真看论文，等超模君回过神已经到了油管。

来都来了，不逛逛实在是不合理！结果这一逛，还真让超模君发现了好东西。

先问个问题，要是有人告诉你人口的繁衍、水龙头的滴水速度、大脑神经元的活动和热对流等等都可以由一个简单的方程式连接，你会不会觉得他疯了？

但是数学真的比小说更神奇！下面的内容小学生都能看懂，你可不要半路跑了啊！

种群繁衍

兔子是小学生做数学题的好朋友，今天我们再辛苦一下它！先拿它开个路：

假如对兔子种群进行建模，设明年的兔子数量为Xₙ₊₁，而今年的兔子数量为Xₙ，可以列出一个简单的公 式：

Xₙ₊₁=rXₙ

但有一个问题，兔子的数量不可能永远成倍增长，它受到一定的约束，所以我们需要在方程式中添加（1-X）项以表示环境的约束。

在这里，我们想象X是理论上最大种群数量的百分比，于是公式就变成了：

Xₙ₊₁=rXₙ（1-Xₙ）

Xₙ是介于0和1之间的数，表示在第n年的物种数目。 r是正整数，是根据繁殖和饿死率而得出的数 。

这是单峰映射（logistic map），如果用Xₙ₊₁对Xₙ绘制图，则会得到下图。图真的在动~

在此图中，使用t代替n

资料来源：Wikimedia Commons

当把这个图更细致化后：

我们拆解来看：

首先，当r小于1时，平衡总体保持为0。但是，当r大于1时，平衡总体不断增加。

单值均衡人口

并且，r超过3时会发生一些有趣的事情：

当我们保持r = 3.4时，平衡总体保持在0.84和0.51之间波动。在那之后，如果永远不稳定到一个恒定值，它就会在两个值之间来回振荡。一年数量增加，第二年数量减少，再一年又增加......

随着时间的流逝，均衡总体将分为4个值，种群在4年周期后重复。

均衡种群的值在两个值之间不断波动

简单来说：

令r为3.4，起始数量Xₙ为0.3（最大种群数量的30％）。经过计算，我们得到0.714，因此第一年数量从0.3增加到0.714，这是一个巨大的增长。但是，如果我们将0.714作为今年的数量（Xₙ），则明年的数量将是0.694。同样，第二年将是0.722，.......

几年后，种群数量一直保持在0.451和0.842之间波动。除此之外，它并没有真正改变。

当增长率为2或接近2时，种群数量几乎保持不变。由于“孩子”会需要一定时间取代父母，所以在一定时间后数量几乎变得恒定。

比如：

我们可以看到，几年之后，它不会增加或者减少很多，几乎固定为0.57，即最大可能数量的57%，种群数量达到平衡。

由于周期的长度增加了一倍，因此称为周期倍增分叉。随着r的增加，将导致周期为8、16、32，而当r达到约3.57时，则是完全混乱。这样，种群数量根本就不会稳定下来。

均衡人口价值的混乱

人口只是变得随机。它是如此随机，以至于这是在计算机中生成随机数的主要方法之一。这样，确定性机器给出了不可预测的答案。尽管没有重复，但是如果你知道初始值，则可以计算给定值。因此，它实际上是伪随机的。

但当r = 3.83时，附近的图形呈现“退回”趋势，数量在3年后再次出现，周期为3年。随着r越来越大，周期分裂成6、12、24，然后又变得混乱。

物流分叉图

资料来源：Wikimedia Commons

现在，即使我们更改了初始种群，迟早还是会达到平衡，平衡数仅取决于r的值。如果r较低，则平衡总体将降低；如果r小于1，则总体早晚将变为0。

你可能在想，它看起来像是一个分形。

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

事实上确实如此。

最著名的分形可能就是被称为“上帝指纹”的曼德布罗集。

Mandelbrot集

资料来源：Wikimedia Commons

而上面的那些“分叉图”确实也是曼德布罗集的一部分。

曼德布罗集合（Mandelbrot set）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家本华·曼德博的名字命名。曼德博集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。

曼德布罗集

曼德布罗集基于简单的等式：Zₙ₊₁=Zₙ²+ C

选择一个C，在复平面上的任意数字，然后从Zₙ = 0开始计算Zₙ₊₁，一次又一次地迭代此方程…………

如果数字爆炸到无穷大，则该数字（我们假设为C）不属于曼德布罗集。但是，如果该数目在无限次迭代后仍然有限，则它是曼德布罗集的一部分。

举个简单的例子：

如果C = -1，则在第一次迭代后，Zₙ₊₁ = -1。在第二次迭代之后，Zₙ₊₁ = 0。在第三次迭代之后，Z 1＝ -1。在第四次迭代之后，Zₙ₊₁ = 0再次。Zₙ₊₁的值在-1和0之间振荡。因此，-1是曼德布罗集的一部分。

同理，如果C＝ 3，则在第一次迭代之后，Z＝ 3。在第二次迭代之后，Zₙ₊₁＝ 12。在第三次迭代之后，Zₙ₊₁＝ 147。无限次迭代后，Zₙ₊₁将为无穷大。因此，3不会成为曼德布罗集的一部分。

曼德布罗集的图片仅显示了导致迭代方程爆炸的数字与导致迭代方程爆炸的数字之间的边界。曼德布罗集没有显示的是这些方程如何保持有限。因此，当迭代了数千次方程，并在迭代实际用到的z轴上进行了绘制。结果发现，曼德布罗集的侧视图实际上是分叉图。

分叉图的混沌部分发生在曼德尔布罗特针组的针上

就问你吓着了没有？！

这个方程式（它不仅是一个方程，它是分叉图和费根鲍姆常数），就这样决定了一个物种的种群，特别是在实验室条件下。不仅如此，该等式还适用于各种不同的科学领域，并且通常那些科学领域是彼此无关的。

Albert J. Libchaber在流体动力学方面的工作首先证实了这一方程。他的实验包括一个内部装有汞的矩形小盒子。然后，他使用一个小的温度梯度来引发对流，仅在盒子内部有两个反向旋转的圆柱体。他在名为“汞的周期加倍级联，一种定量测量”的论文中发表了他的发现。

“ Libchaber使用一个简单的笔式绘图仪来记录温度，该温度由嵌入顶表面的探针测量。在第一次分叉后的平衡运动中，任一点的温度或多或少保持稳定，并且笔记录一条直线。随着更多的加热，更多的不稳定性开始出现。每个辊上都会出现一个扭结，扭结稳定地来回移动。此摆动显示为温度变化，在两个值之间上下波动。现在，笔在纸上画出一条波浪线。”

Libchaber用盒子顶部的探针测量了内部流体的温度。他看到温度周期性升高。这类似于逻辑方程收敛到单个值时。但是随后，随着温度升高，可以在那些滚动汽缸上以原始频率的一半看到摆动。温度峰值也在两个不同的高度之间来回移动。他不断提高温度，一次又一次看到周期翻倍。

Libchaber的测试结果

资料来源：汞的倍增级联，定量测量

不仅如此，在许多其他实验中都可以看到周期倍增，例如我们的眼睛对闪烁的灯光的反应。再比如生活中常见的水龙头滴水，一开始，也许你一次只能看到一个水滴。然后一次两滴。然后是四个……你只需调节旋钮，即可从滴水龙头中获得混乱的行为。

到了这一步，你有没有觉得“分叉图”有点恐怖的意味了？更恐怖的还在后边！

物理学家Mitchen Feigenbaum将每个分叉部分的宽度除以下一个。这个比例接近于一个数字，是4.669。

数字4.669现在称为费根鲍姆常数。越到后面，分叉出现的越来越快，但比率始终接近此固定值4.669。

没人知道这个常数怎么来的，因为它跟任何已知的物理常数无关，所以它本身就是自然基本常数。更疯狂的是，它不只出现在前面我给你看过的公式中，任何单驼峰的公式，如果你对它一次又一次地迭代，最终都会出现分叉。甚至这些分叉发生的比率将相同，为4.669。

这种普遍性确实令人惊讶，可是，这一切到底是为什么呢？为什么它会如此普遍？

在1976年，生物学家罗伯特·梅在《自然》杂志上写了一篇关于这个特别公式的论文，人们对这个东西很兴奋。在这篇论文中，他请求大家，要教导学生关于这个简单的公式，去发现简单的东西，简单的公式，可以引导出相当复杂的表现。

在我们今天的课堂上，我们教简单的公式，简单的结果，因为这样很简单，很有道理。也许我们应该至少教一些，让更多的人知晓费根鲍姆常数，在这一领域进行更多的研究，只有这样，我们才能发挥其真正的力量，解开这个“上帝的指纹”之谜。

怎么样？是不是一点都不难，是不是觉得数 学好神奇？小学生绝对能看懂！

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简介：超模君，数学与交叉科学教育自媒体博主，中大数学博士，有俩崽崽和一洁癖的太太。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育、提升幸福感的产品打call。著有《芥子须弥·大科学家的小故事》、《数学之旅：闪耀人类的54个数学家》、《漫画数学：闪耀人类的54个数学家》、《一份钟数学》（已售罄）、《薛定谔的猫：漫画大科学家的小萌宠》（已售罄）、超模君幽灵魔方、超模君丙烯马克笔等广受大人与孩子们喜爱的作品。

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