数论，才是数学中的皇冠！几乎所有的数学资源都被用于助力数论！原因接近数学的本质！

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。而整数的基本元素是素数（也称质数），所以数论的本质是对素数性质的研究。数论被高斯誉为“数学中的皇冠”。

哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、斐波那契数列、黎曼猜想，无比引领着数学大师们前仆后继的去探索。

《证明的故事：从勾股定理到现代数学》

作者：[澳] 约翰·史迪威（John Stillwell）

译者：程晓亮 张浩

自然数 0, 1, 2, 3, 4, …是最基本的数学对象，在某种程度上每个人都能理解。它们也是数学中最古老的未解之谜的主题。例如，是否存在奇完全数？是否存在无穷多对孪生素数？然而，直到最近，数论还经常被揶揄为“各种伎俩”，对大多数数学家来说，数论没有什么用处，也无法引起他们的兴趣。

近几十年来，当世界变得数字化，数字成为其命脉，需要加密的保护，而这最终依赖于数论时，人们的态度发生了改变。所以当今的问题不是为数论辩解，而是理解它。

正如我们将在本章看到的，数论很难，因为它的证明方法几乎涉及数学的所有领域，包括几何、代数、微积分，还有一些我们还没有讨论过的领域，比如拓扑学。这是令人惊讶的，因为数论有极其简单的要素：0、把一个自然数带到下一个自然数的后继函数，以及归纳法原理——从本质上说，所有的自然数都源于 0，它们是通过反复对 0 应用后继函数得到的。

事实上，简单的要素也可以创造出极端的复杂性，这就是为什么所有的数学资源都被用于助力数论。在本章中，我们将讨论几何、代数和微积分对数论中的证明的影响，以及反过来的情况，特别是针对代数的情况。之后，当谈到证明本身的数学研究时，我们将看到是什么使数论如此复杂。

01

数论中的几何与微积分

我们现在已经看到如何通过单位圆上的有理点来理解勾股数组，反过来又通过有理函数

得到圆的参数化。此外，我们已经看到这些方程给出了一个变量替换，可以使关于 x 和的有理函数的积分有理化。

了解圆函数参数化圆的读者或许想知道它与这个故事的关系。答案是参数t 和 θ 通过等式联系起来。这可以从用于得到方程（*）的直线和圆的图中看出，见图 7.3。

一方面，我们知道

另一方面，根据正弦和余弦的定义，

那么，根据基本的几何（等腰三角形、三角形的内角和为 π ），我们发现角 OPR 为。因此，红色直线的斜率 t 是 tan 。

虽然有理函数通常比超越函数（如正弦函数和余弦函数）更受欢迎，但当我们遇到无法由有理函数参数化的曲线（如）时，后者是参数化的更好选择。为了了解如何处理这些曲线，我们回顾一下圆和圆函数在微积分中的作用。

02

圆和其他曲线的微积分

如果是一条形如的曲线，这里的是一个多项式，那么有一个令人惊讶的简单方法可以找到的参数化函数对。此外，如果，那么（f 的导数）。其想法是考虑积分

这样做之后，显然有，而且有

对于单位圆的情况，多项式，定义函数的积分是

通过替换，很容易看到这个积分是，所以，于是。最后，，于是我们得到参数化

这与由圆函数给出的通常的参数化是相同的，只不过 x 和 y 进行了对换。

03

椭圆函数和椭圆曲线

上述参数化曲线的方法只能得到我们已知的圆的参数化。该方法为曲线提供了一些新的想法。我们知道这条曲线不存在有理函数参数化，所以函数和可能是有趣的。

事实上，积分是一个椭圆积分，正如第 6.9 节所提及的，函数和被称为椭圆函数。事后来看，研究函数而不是其逆（积分）似乎是个好主意，因为研究正弦函数显然比研究反正弦积分更容易。

然而，第一个关注椭圆函数而不是椭圆积分的数学家是高斯（大约在 1800 年，未发表），这是在法尼亚诺（Fagnano 1718）和欧拉（Euler，1751 年第一次看到法尼亚诺的成果）费力地得到椭圆积分的一些性质之后才发生的。椭圆函数的思想直到 19 世纪 20年代才被发表，当时被阿贝尔（Abel）和雅可比（Jacobi）重新发现。

高斯发现积分

的反函数与正弦函数非常相似，以至于他称其为双纽线正弦函数。特别是，双纽线正弦函数具有周期性：对于某个最小的数，有高斯之所以选择字母 ，是因为它是希腊字母 的变体。不仅如此，如果我们允许 u 是复数，那么 sl 有第二个周期。我们知道，对于代数曲线，允许 x 和 y 为复数是很自然的。

这种双周期性也适用于其他椭圆函数（但不适用于正弦函数和余弦函数，即使当我们允许它们为复变量时，它们仍然保持单周期）。这导致了对它们参数化的曲线的全新解释，称为椭圆曲线。

例如，下面展示了如何用笛卡儿方程来看待曲线。具有参数方程

所以上的每一点 P 都由参数 u 的值确定。但是，对任意整数 m 和 n，由于（和）的周期性（具有相同周期），参数值确定的是相同的点。

这样， 上的每一点 P 对应于复平面中的一个点集

我们可以从顶点为的正方形中选择每个点集的一个代表元，在这种情况下，除了边界上的点外，每个点 P 在正方形中只有一个代表元。左右两边的点表示上的同一点，上下两边的点也表示上的同一点，因此，所有四个顶点都表示同一点。在图 7.4 中，左图的正方形是灰色的，左边和右边是蓝色，上边和下边是红色。

粗略地说（或从拓扑上讲），复曲线是将正方形的同色边粘贴的结果，也就是所谓的环面。因此，寻找曲线上有理点的过程不仅涉及几何学和微积分，而且涉及拓扑学。

《证明的故事：从勾股定理到现代数学》

作者：[澳] 约翰·史迪威（John Stillwell）

译者：程晓亮 张浩

数学史泰斗、旧金山大学荣休教授，“肖夫内奖”获得者，当今世界最有影响力的数学家之一约翰·史迪威全新力作！

证明是数学思想中十分重要且极具开拓性的特征之一。没有证明，就没有真正的数学！

本书从古希腊几何学时代讲起，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事，讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。我们将看到欧几里得、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。

本书不是教材，而是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。