馅→0，包子=馒头；馅→+∞，包子=肉丸

能带来改变的知识，才是真知识，否则就是累赘。

用包子、馒头和肉丸解释微积分

就算你有再多的知识，如果不能转化为行动，带来改变，都是无用的知识，甚至是累赘。

学以致用。有用即是真理。

不瞒你说，在学以致用这方面，我就是一个经典的反面教材。

大学里面，虽然算不上学霸，但线代、概率论、微积分咱也都80分以上一次性通过，考研数学，咱也120多分拿下。

随便拿出一道微积分，咱也能如数家珍一样，头头是道地在纸上解出来。

虽然但是，然并卵。大学刚一毕业，所有这些就还给了老师，然后跟高数失联。

她可能‍在梦里给我写过信‍，但我从来没收‍到过。不知道是因为我忘记做梦了，还是我忘了她。

如果不是今天写这篇文章，高数我俩，大概已经有20年没见过面了。

‍自我印象里，我还是一个非常念旧的人‍。‍

不说了，一首陈奕迅的《好久不见》送给你，高数，好久不见。

所以，正是基于这样一种心情，当今天看到下面这个数学梗时，让我想起了她。

有人在网上分享了一个用包子解释极限的例子：

图：秃头崽崽/小红书

就是这两个极限等式：

出自《三大算法》一书，用日常生活的例子，解释极限的概念。

翻译成大白话就是，给包子求极限，当馅无限趋于（→）0，包子就变成了（=）馒头；当馅无限趋于（→）正无穷（+∞）时，包子就变成了（=）肉丸。

学过微积分的人，都知道这个例子的含金量。

通俗易懂极了。虽然有人说极限的概念很好理解，但是饱汉子不知饿汉子饥，很多人，就是因为无法理解“极限”这样的基本概念，而被微积分拒之门外，无缘牵手。

这才是我想要的教材

显然饱 汉子不知饿汉子饥。

有人说要是当年信息这么发达不至于补考高数：

有人说数学就应该通俗易懂：

有人说要是当年这么学，能学不会吗：

有人说死去的记忆复苏了：

有人说这么解释一下子就明白了：

有人说秒懂：

有人说这才是想要的教材：

有人终于懂了，并发出由衷的赞叹：

有人推荐国外初高中的微积分教材：

有人借机求通俗易懂的教材：

有人相见恨晚：

有人感叹这世界变化快：

有人说一学高数就感觉被喂饱：

有人比较幸运：

有人建议重编数学书：

有人说这次像说人话了：

当然还有严谨的考究派，指出这个例子的不足：

不够严谨：

馅儿无限趋于负无穷，才是馒头，趋于零，只是空心包子：

有人说应该给馅/面求极限，否则会出现一个充满宇宙的大包子：

有人说第二个极限应该皮无限趋于零：

有人说用生活语言解释初等数学还行，高等不行：

还有人借机玩梗：

有人借题发挥，头脑风暴，被灵感击中：

有人说如果所有知识都这么有趣，就好了：

还有人说，写得太通俗易懂，人人都靠650，有人不同意：

我记忆深处的碎片告诉我，当年学高数这些东西，一开始也没那么简单。

尤其是有些概念太抽象，既没有背景知识，也没有人给出通俗易懂的指点，只能似懂非懂地蒙混过关。

所以，我开始有点理解，之前网上流行的“反自学”教材梗了。

我甚至开始有点相 信阴谋论：有的书，可能并不是不可以写得更通俗易懂，真的是为了防止自学。

所以呀，微积分同学，虽然我忘了你，一忘就是20年，但这事也不能完全怪我绝情呀。

极限的来历和含义

既然聊到极限、聊到微积分，咱们就多聊点，虽然很可能有点无聊。

极限是微积分中的核心概念，其历史和发展反映了数学在追求严谨性和实用性方面的演变。

极限概念的现代形式主要由19世纪的数学家奥古斯丁-路易·柯西（1789-1857）和卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）正式化。

图：卡尔·韦尔斯特拉斯/维基百科

柯西提出了较为正式的极限定义，例如“当变量的值无限接近某个固定值时，其差可以小到任意程度”，而魏尔斯特拉斯进一步发展了著名的ε-δ定义，使极限成为微积分严谨的基础。

然而，极限思想的根源可以追溯到更早。

古希腊数学家欧多克索斯（约公元前408-355年）提出了“穷竭法”，用于计算面积和体积，这被认为是极限概念的雏形。

阿基米德（约公元前287-212年）进一步发展了这一方法，例如计算球体和圆柱体的体积，使用的思路类似于现代极限。

图：卡尔·韦尔斯特拉斯/维基百科

17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨独立发展了微积分，他们虽然没有明确使用“极限”一词，但通过无穷小量（infinitesimals）处理导数和积分，实际上隐含了极限的思想。

图：牛顿/维基百科

有趣的是，18世纪的让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert，1717-1783）首次提出应以极限而非无穷小为基础来构建微积分，这为后来的柯西和魏尔斯特拉斯奠定了理论基础。

由此可见，极限并非某一个人的发明，而是数学家在几个世纪中逐步完善的结果。

极限也不是凭空产生的，极限的出现，有着深厚的背景。

极限概念的背景，是解决早期微积分中逻辑上的漏洞。

牛顿和莱布尼茨的微积分依赖于无穷小量，但这种方法在18世纪受到广泛质疑。

例如，哲学家乔治·贝克莱在1728年发表的《分析家》（The Analyst）中批评无穷小缺乏明确定义，称其为“幽灵般的实体”。这种批评促使数学家寻求更严谨的替代方案。

19世纪，数学界进入“严谨化”阶段，柯西和魏尔斯特拉斯等人通过极限概念消除了无穷小的争议。

极限允许我们描述函数在接近某点时的行为，而无需依赖模糊的“无限小”概念。例如，导数的定义可以通过极限表达为：

这不仅解决了逻辑问题，还为微积分的应用提供了更坚实的基础。

极限到底有什么用？

极限的发明是为了满足微积分中两个核心问题的需求：一是计算函数在某点的瞬时变化率（导数），二是计算曲线下的面积或体积（积分）。

这些问题在物理和工程中有重要应用，例如：

计算物体的速度和加速度需要导数，而导数的定义依赖于极限。

计算抛物线下的面积需要积分，而积分本质上是无限多个小面积的和，其严谨性也依赖于极限。

此外，极限还帮助处理函数在某些点可能不定义的情况，例如分母为零时。通过极限，我们可以研究函数的渐近行为，例如

这在分析无穷大或无穷小的行为时，非常有用。

极限有着非常广泛的应用。

极限是微积分的基础，广泛应用于多个领域：

一个意想不到的细节是，极限在计算机图形学中有重要应用。

例如，在渲染逼真的3D场景时，极限用于处理像素的渐进行为，确保图像在远距离时的平滑过渡。

此外，极限还出现在数论和拓扑学中，例如研究数列的收敛性或拓扑空间的极限点。

极限概念的演变体现了数学从直观到严谨的转变。

从古希腊的穷竭法到牛顿、莱布尼茨的微积分，再到柯西和魏尔斯特拉斯的正式化，极限成为现代数学分析的核心工具。

其应用不仅限于传统科学，还扩展到工程、经济学和计算机科学，显示了其广泛的影响力。

当然，以上说了这么多，我的目的并不是希望你记住这些微积分知识。

而是希望你能发现更有趣的方式、方法，去学习新的、旧的知识，进而把这些知识，应用到实际工作和生活里面去，进而带来改变。

能带来改变的知识，才是真知识，否则就是累赘。