小乐数学科普：泰迪熊-羊宝宝定理——关于半代数集和纳什映射——译自AMS美国数学会专栏

我们已经看到，半代数泰迪熊和半代数羊宝宝都是一个四维球的像。它们会是彼此的像吗？

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作者：Ursula Whitcher（AMS数学评论）2025-4-1

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-4-1

我的名字Ursula的意思是“小熊”，与大熊星座（Ursa Major）同根同源，因此从小我就收藏了大量泰迪熊。在本月的特色专栏中，我想告诉大家一个定理，它利用泰迪熊为一个基本问题提供了一个新的视角：多项式能有多奇怪？

典型的预科微积分课程将直线视为最简单的函数，紧接着是二次或更高次的多项式。基于这种早期教育，我们大多数人认为多项式并不复杂。但我们最了解的多项式次数很低，并且只依赖于1个变量（未知数）。

次数较高的多变量多项式可能会表现出令人吃惊且违反直觉的行为。现代数学中一些最著名的未解问题，包括计算机科学中的P vs NP 问题https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/ 和霍奇猜想https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/ ，都要求对多项式及其解的怪异程度进行具体度量。

我们今天的主题是实代数几何。换句话说，我们感兴趣的是研究系数为实数的多项式及其在ℝⁿ中的解。这些是你在第一堂代数和微积分预备课程中遇到的多项式类型。

但即使是最简单的实多项式也迫使我们处理复数中不会出现的替代场景和特殊情况。例如，我们总是可以使用二次公式来找到 x²+bx+c=0 的两个（可能相同）复数解。但如果我们想要实数解，也许是不可能的！

考虑由多项式切出的区域意味着什么？一种选择是只考虑多项式方程的解。例如，单位圆由平面中 x²+y²-1=0 的解给出。对于许多问题，单位圆盘的性质（包括圆的内部）同样重要。

为了处理这些情况，真正的代数几何学家经常研究半代数集（semialgebraic set）。半代数集是区域之间的有限次数的并集和交集，这些区域由形式为 P(x₁, ..., x_n)=0 或 P(x₁, ..., x_n)>0 的有限多个方程组定义，其中 P 是多项式。

换句话说，我们同时允许多项式方程和多项式不等式。在这个框架中，单位圆盘由 x²+y²-1=0 和 -x²-y²+1>0 的解的并集给出。

圆环（annulus，两个圆之间的区域）是半代数集的另一个简单示例。我们可以使用它的边对应的线性方程来切出凸多边形，或使用构成其面的平面来切出多面体。如果我们有艺术感，我们也可以制作更复杂的形状。

平面上的一些半代数形状

填充形状包括环形、五边形和多角星

半代数集相对于实多项式方程解的一个优势是，半代数集可以很好地与我们熟悉的函数配合使用。例如，考虑ℝ²中由 xy-1=0 描述的双曲线。如果我们在由 π(x,y)=x 给出的投影映射 π: ℝ² → ℝ 下取双曲线的图像，我们会得到除 0 之外的所有实线。

我们不能将此集合写成实多项式方程解的有限并集，因为每个单变量实多项式都有有限个解，而我们的集合有无限个点。但是，因为我们可以将其写成 x>0 和 -x>0 解的并集，所以双曲线的投影是半代数集。

双曲线 y=1/x

双曲线 xy-1=0

图片使用Desmos制作 https://www.desmos.com

去掉原点的实数轴

双曲线在x轴投影下的图像。

塔斯基-赛登伯格（Tarski-Seidenberg）定理以二十世纪数学家阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901 - 1983）和亚伯拉罕·赛登伯格（Abraham Seidenberg，1916 - 1988）的名字命名，该定理指出，相同的模式在任何维度上都成立：半代数集的投影π: ℝⁿ⁺¹ → ℝⁿ 始终是半代数集。

与许多数学家一样，塔斯基是一名移民：他在1939年德国和苏联入侵前夕离开了祖国波兰，定居在美国，直到第二次世界大战结束后才再次见到妻子和孩子。

一群西班牙数学家，包括José F. Fernando、José Manuel Gamboa和Carlos Ueno，一直在深入研究半代数集的图像。他们的工作提供了一些策略，可以将我们最初提出的关于奇怪多项式的问题转化为精确的数学陈述。

2023年，Fernando和Ueno使用包括球体和半球体、椭圆体、圆柱体和四面体在内的“砖块”在ℝ³中构造半代数集 https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short ，这些半代数集可以实数化为 ℝ⁴ 中单位球的多项式图像。

其中一个是半代数泰迪熊，另一个是半代数羊宝宝。以我自己用聚合物粘土制作的模型来说明。

半代数熊和绵羊的粘土模型

这是玩具熊的照片，以及用聚合物粘土制成的粗糙球形和椭圆形的形状。

Fernando和Ueno用德语昵称“Bärchen”和“Schäfchen”来指代熊和羊（例如，在一位德国教师的视频 https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww 中就曾纪念过这两个词）。而我喜欢用英语的“Teddy”（泰迪）和“Lambkin”（羊宝宝）。

从数学上讲，这些形状具有一些特殊性质。它们是ℝ³的紧子集（compact subset）。换句话说，它们是封闭的（它们包含所有边界点）和有界的（它们处于有限半径的球体内）。Fernando和Ueno还施加了技术条件，即他们的砖块必须沿解析路径连接。

我们已经看到，半代数泰迪熊和半代数羊宝宝都是四维球的像。它们会是彼此的像吗？

安东尼奥·卡博内（Antonio Carbone）在特伦托大学的博士项目中研究了这个问题，该项目由费尔南多（Fernando）指导。2024年，卡博内和费尔南多发表了 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 ，证明答案是肯定的——如果我们愿意使用正确的函数类型。

我们讨论的函数是纳什映射（Nash maps），以多才多艺的数学家、诺贝尔经济学奖获得者约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash Jr.，1928 - 2015）的名字命名。让我们分两个阶段来定义它们。

设 f: ℝᵐ → ℝⁿ 是一个函数。如果f的图像 {(x,y)∈ℝᵐ⁺ⁿ ∣ y=f(x)} 是一个半代数集，我们就称f为半代数映射（semialgebraic map）。我们可以使用塔斯基-赛登伯格定理得出以下结论：半代数映射的图像通过投影到最后n个坐标上，就是半代数集。

如果半代数映射也是光滑映射，则称为纳什映射。我们在这里使用“光滑”一词，其含义与多变量微积分相同，其中我们要求每个点的偏导数矩阵具有满秩。

特别是，当源维度和目标维度相同时，每一点的偏导数矩阵都是方阵，我们只需要它是可逆的。直观地说，光滑映射不会引入尖锐的折痕或过于尖锐的部分。

我们现在准备陈述Carbone和Fernando的Bärchen-Schäfchen定理，或者，我喜欢称之为Teddy-Lambkin（泰迪熊-羊宝宝）定理。

泰迪熊-羊宝宝定理

令 ⊂ℝᵐ 是维度为d的半代数集，令 ⊂ℝⁿ 是由维度为e的解析路径连接的紧半代数集。假设 e≤d。则存在一个纳什映射 f: ℝᵐ → ℝⁿ，使得 f()=。

在我们的半代数泰迪熊和半代数羊宝宝的例子中，我们有 d=e=3，所以有一个从熊到羊的纳什映射，还有另一个从羊到熊的纳什映射！

所讨论的映射不必是一一映射，因此可以进行更激烈的变换。我们可以使用纳什映射将半代数咖啡杯形状转换为泰迪熊，或者用填充的（果冻？）甜甜圈制作小羊羔。实多项式的领域——这不是开玩笑——非常非常奇怪。

进一步阅读

Antonio Carbone 和 José F. Fernando。半代数集之间的满射纳什映射Surjective Nash maps between semialgebraic sets. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 。数学进展，第438卷，2024年2月，109288。

José F. Fernando 和 Carlos Ueno。论封闭球的多项式像。On polynomial images of a closed ball

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short J. Math. Soc. Japan 75(2): 679-733 (2023年4月)。DOI：10.2969/jmsj/88468846

参考资料

https://wordpress.com/reader/blogs/202620863/posts/2336

https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/

https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/

https://www.desmos.com

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short

https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310

https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short

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