从无序到有序：2025年玻尔兹曼奖得主如何揭示自然界的隐藏scaling law

导语

自然界中，为何萤火虫会同步闪烁？为何不同材料的表面生长遵循相似规律？2025年玻尔兹曼奖授予Mehran Kardar和Yoshiki Kuramoto，表彰他们分别通过KPZ方程和Kuramoto模型解答了这些难题。这两个看似简单的模型揭示了非平衡系统从无序走向有序的普适规律，不仅统一解释了从界面生长到集体同步的多种现象，还为跨学科研究提供了强大理论框架，成为连接微观相互作用与宏观集体行为的桥梁。值得深思的是，这两个模型当中都存在着某种形式的scaling law。

研究领域：规模法则、标度律、统计物理学、非平衡相变、KPZ方程、Kuramoto模型、界面生长、同步现象、复杂系统、集体行为

邱仲普| 作者

https://statphys29.org/boltzmann-medal/| 来源

2025年玻尔兹曼奖：

表彰统计物理领域的杰出贡献

玻尔兹曼奖（Boltzmann Medal）是由国际纯粹与应用物理学联合会 （International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP） 下属的统计物理委员会 （C3） 评选并颁发的国际统计物理学界最高荣誉之一，与昂萨格奖齐名。该奖项以奥地利物理学家卢德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）命名，旨在表彰在统计物理和相应交叉领域作出卓越贡献的科学家。根据官方公告，2025年的玻尔兹曼奖将于2025年7月13日至18日在意大利佛罗伦萨举办的StatPhys29大会上隆重颁发，Mehran Kardar （梅赫兰·卡达尔） 和Yoshiki Kuramoto （藏本由纪） 将共同获此殊荣，以表彰他们在统计物理与复杂系统研究方面的杰出贡献。

值得一提的是，玻尔兹曼奖通常每三年颁发一次，颁奖仪式与国际统计物理大会 （StatPhys） 同期进行。按照传统规定，曾获得诺贝尔奖或曾获颁玻尔兹曼奖的学者不会再次被授予此奖。获奖者多在非平衡态统计力学、相变理论、量子统计理论等方面具有开创性研究，体现了该奖对推动统计物理核心理论与应用进展的不懈追求。

统计物理领域的众多顶级科学家 ，如Rodney J. Baxter （Baxter-Wu模型、顶点模型和Yang-Baxter方程） ，Michael E. Fisher （Fisher标度律和Fisher指数） ，Leo Kadanoff （Kadanoff块变换，重整化群理论的奠基人） ，Benjamin Widom （Widom标度律与液体的表面性质） ，E.G.D. Cohen (非平衡稳态问题) ，H. Eugene Stanley （O(n)模型） ， Kurt Binder （有限尺度标度） 都获得过这一奖项。

玻尔兹曼奖的得主有不少后来也获得了诺贝尔奖，被认为是诺奖的风向标之一：如1982年诺贝尔物理学奖获得者Kenneth Geddes Wilson （因其在重整化群理论应用于相变理论的基础性贡献） 曾在1975年获得首届玻尔兹曼奖，2021年诺贝尔物理学奖获得者Giorgio Parisi曾在1992年获得玻尔兹曼奖，2024年诺贝尔物理学奖获得者John Joseph Hopfield （Hopfield网络的提出者） 也曾获得2022年度的玻尔兹曼奖。

两位获奖者的杰出贡献

下面，让我们深入了解这两位杰出科学家的学术背景以及他们的开创性研究成果如何推动了统计物理学的发展。

Mehran Kardar：界面生长动力学的理论先驱

Mehran Kardar，来源：http://www.mit.edu/~kardar/

Mehran Kardar教授生于伊朗，现为麻省理工学院 （Massachusetts Institute of Technology, MIT） 物理学教授，在统计物理学、凝聚态物理和复杂系统领域做出了卓越贡献。他与和张翼成教授 （https://pattern.swarma.org/master/790） 于1986年共同提出的KPZ方程是其最具影响力的成果之一。这一方程描述了界面在生长过程中的动力学行为，通过随机偏微分方程捕捉了界面粗糙化的普适性质，解释了动力学标度性质（Dynamic Scaling Properties）的普适性起源。KPZ方程不仅适用于解释晶体生长、燃烧锋面传播和湍流等物理现象，还与随机矩阵理论、可积系统等数学物理领域建立了深刻联系。近三十多年来，KPZ方程已发展成为研究非平衡统计物理的核心理论框架之一，其影响力已远超物理学范畴，扩展至概率论、生物物理和材料科学等多个领域。Kardar教授的研究工作体现了物理学中简单数学模型如何能够解释复杂自然现象的强大力量。

值得一提的是，2021诺贝尔物理学奖获得者Giorgio Parisi与Kardar和著名华人科学家、欧洲科学院院士张翼成共同提出了Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation（即卡达尔–帕里西–张方程，它是一种描述界面生长的动力学标度的随机偏微分方程，被推测为众多模型的背后的统计场论形式）

藏本由纪 Yoshiki Kuramoto：同步现象研究的开拓者

Yoshiki Kuramoto（藏本由纪）教授是京都大学物理学家，在非线性动力学和复杂系统领域做出了开创性贡献。他于1975年提出的藏本模型 （Kuramoto Model） 彻底改变了科学界对同步现象的理解。同步 （synchronization） 是自然界中极为普遍的现象，从萤火虫集体闪光、鸟群协调飞行到人类心脏细胞的节律性跳动，都体现了独立个体如何通过相互作用实现集体行为的协调一致。Kuramoto教授通过简洁优雅的数学方程，成功描述了大量耦合振子如何从初始的杂乱无章状态，随着耦合强度的增加，逐渐实现相位同步，最终形成有序集体行为的过程。该模型之所以具有革命性意义，在于它不仅提供了理解同步现象的理论框架，还揭示了这一过程本质上是一种非平衡相变现象，存在着临界现象中普遍的scaling law。2001年，他还参与发现了嵌合体状态 （chimera state） ——一种在同一系统中同时存在同步和非同步区域的奇特现象，进一步丰富了我们对复杂系统动力学的认识。

下面，让我们从一些简单的模型和现象出发，分别简述两位获奖者主要工作的背景知识、具体内容和科学意义。

探秘KPZ方程：

从离散模型到连续世界的奇妙之旅

界面生长模型：离散世界的生长奥秘

为了描述界面的生长，人们设计了一系列统计物理的离散模型。

1. 随机落体模型

随机落体模型和黏性落体模型的规则示意图，来源：https://arxiv.org/abs/1606.06602

想象一排无限延伸的垂直柱子，每个柱子上方的方块以完全独立的方式下落 （即A,B子图所示） 。方块下落的时间间隔服从参数为1的指数分布，且下落过程瞬间完成。用hr(t, x) 表示时间t时第x列的高度，这一过程构成一组独立的泊松过程。数学上可以计算，随机落体模型的期望高度为E[hr(t, x)] = t，表明高度随时间匀速增长；其涨落特性由方差E[(hr(t, x)-t)2] = t 刻画，标准差为，与布朗运动的位移涨落相似。动态标度律进一步揭示其涨落满足2:0:1标度：

其中空间标度指数为0，说明各列的涨落完全独立，互不影响。

2. 黏性落体模型
如果随机落体模型是孤立的雨滴，黏性落体模型就是流淌的蜂蜜。

两者非常类似，核心区别只是在于引入了方块的吸附规则：下落的方块不再直达底部，而是黏附于接触到的首个方块旁。 （即C,D子图所示） 这种黏性彻底改变了界面动力学行为。用hb(t, x)表示黏性落体模型的高度函数，其平均高度E[hb(t, x)] ∝ t 仍随时间线性增长，但涨落特性显著不同 (即下图所示) 。动态标度律表明，高度涨落wb(t, x)满足3:2:1标度：

时间标度指数ϵ-3与空间标度指数ϵ-2，反映了黏性导致的协作效应——某一点的涨落会通过吸附规则向邻近区域扩散，形成空间关联。

随机落体模型和黏性落体模型的典型构型，来源：https://arxiv.org/abs/1606.06602

3. Eden模型：种子生长的随机扩张

Eden模型则展现了更复杂的生长图景。它最初定义在二维平面格点上，但其规则可推广到任意维度。用hE(t, x)表示时间t时第x列的高度，其核心规则为：

1. 初始种子：固定底边的一排格点（hE(0, x) = 0）。

2. 生长规则：每一步从所有与现有种子相邻的空白格点中，随机选择一个加入种子集合。

3. 时间定义：设N为已加入的格点数，时间定义为t := N/x，使得平均高度随时间线性增长，这一点和之前的模型是一致的。

二维随机曲线上的Eden生长，色彩表示时间。来源：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1429491.html?mobile=1

我们可以通过高度涨落的均方根定义界面粗糙度：

实验发现，当系统规模x和时间t极大时，w(t, x)满足普适标度律：

其中标度指数（粗糙度指数），z≈1.7（动态指数）。人们在黏性落体模型中发现存在着类似的标度形式（即scaling law）——这似乎暗示着虽然微观规则细节不同，但是Eden模型和黏性落体模型的长期和大尺度行为，存在着某种普适性

从离散到连续：KPZ方程的诞生
1.Edwards-Wilkinson方程：近平衡态的生长

我们不禁要问：表面生长模型的空间连续形式是什么？是否存在一个统一的非平衡统计场论形式可以普适地描述诸多离散模型？

在KPZ方程提出之前，Edwards和Wilkinson提出了一个线性方程：

其中ν是扩散系数，η(t, x) 是时空白噪声。该方程描述近平衡态下的界面生长，其涨落满足Edwards-Wilkinson普适性，具有4:2:1动态标度律

Edwards-Wilkinson方程及其变体（如淬火EW方程）被认为是一类空间离散系统的场论形式：自组织临界理论中的Oslo模型、自旋系统中的XY模型 （在低温自旋波近似下） 、同步系统中的Kuramoto模型 （在强耦合自旋波近似下，我们后文还会提到这个模型） 等。

但Edwards-Wilkinson方程只能描述近平衡的线性扩散行为，如何统一地解释远离平衡的表面生长问题呢？

2.KPZ方程：远离平衡表面生长的本质

1986年发表在《物理评论快报》上的文章引入了KPZ方程，它通过建立连续化场论模型揭示了生长过程的本质。Kardar等人提出的KPZ方程为：

其中：

• 扩散项νΔh：对应线性扩散行为

• 非线性项：描述局部高度梯度对生长速度

的反馈，对应Eden模型中界面扩张或者黏性落体模型中的黏性效应

• 噪声项：η(t, x)

KPZ方程中的非线性项，来源：Zhao D. and Liping L., A brief introduction to KPZ equation and KPZ universality, Sci. Sin.-Math. 49, 339 (2019).

很容易发现，当KPZ方程中的非线性项系数λ = 0时，退化为Edwards-Wilkinson方程。

KPZ方程在一维情形下的解满足3:2:1动态标度律，与黏性落体模型和Eden模型的实验结果一致。这一方程成功统一了离散模型的标度行为，成为非平衡界面生长理论的基石。

从随机落体的独立涨落、黏性落体的协作效应，到Eden模型的界面粗糙化，这些离散模型揭示了生长过程中随机性与非线性竞争的普适规律。KPZ方程通过连续化框架，将离散世界的奥秘转化为数学语言，为理解晶体生长、细菌群落扩张等自然现象提供了核心工具。

Kuramoto Model：同步现象的本质刻画

我们在集智百科上创建了Kuramoto Model的百科词条，也欢迎大家点击学习更详细的关于该概念的介绍： https://wiki.swarma.org/index.php/Kuromoto%E6%A8%A1%E5%9E%8B

复杂系统由众多相互作用的单元组成。在动态演化进程里，这些单元彼此协调，进而涌现出集体行为模式。

同步，即两个或更多事件同时发生，是自然界极为常见的现象之一。从无意识的实体到人类，同步现象广泛存在，甚至以花样游泳、跳水等形式成为奥林匹克运动项目。同步对于生命而言至关重要，比如，起搏细胞必须同步放电，才能确保人类心脏正常跳动。

同步属于非平衡涌现形式中最为简单的一种，其本质是通过微观层面的耦合，达成系统宏观状态的一致性。对于物理学家而言，无生命系统中的同步现象极具吸引力。若将两个完全相同的节拍器放置在架于两个碳酸饮料罐上的木条上，便会观察到，这些原本用于音乐节拍校准的机械装置，其节奏能在短短几分钟甚至几秒钟内实现同步。然而，节拍器是如何“抉择”达到共同节奏的？更为关键的是，它们为何会出现这种同步行为？

同步概念的早期历史

为解答这些问题，我们需回溯至17世纪，走进克里斯蒂安·惠更斯的科学世界。惠更斯堪称荷兰历史上最为杰出的科学家之一，他不仅对天文学、光学研究满怀热忱，在数学领域也造诣颇深。1673年，惠更斯出版了《摆钟论》，这部著作在当时的科学界具有举足轻重的地位，艾萨克·牛顿更是赞誉惠更斯为“现代最优雅的作家”。实际上，摆钟正是惠更斯的发明成果。关于同步现象的科学研究，最早可追溯至1673年惠更斯对两个耦合钟摆同步现象的发现。据传，这一发现源于他在某段卧病在床、闲暇无聊的时期，利用两把椅子、两个钟摆和一个木条所开展的实验：

惠更斯的实验示意图，Courtesy: Frederique Swist/IOP Publishing

在科学研究领域，现象观察与实验研究往往先行一步。惠更斯虽然观察到了钟摆通过木条的耦合而趋于频率一致，但关于同步的理论研究却滞后。直到20世纪初，这一领域才迎来重大突破。这是由于动力系统理论的建立，人们开始考察微分方程的渐进和长时行为，从意识到了极限环的概念。

极限环作为非线性耗散动力系统中一类典型的时间振荡解，本质上和吸引子一样，是动力系统不变集的一种。令人惊奇的是，众多看似毫无关联的系统，其时间振荡竟都能用极限环加以描述。由此，人们逐渐意识到，在形形色色的同步行为背后，极有可能潜藏着共通的物理机理。诸如萤火虫同步闪光、蟋蟀齐声鸣叫，乃至脑电波的节律变化，这些现象背后或许都受同一物理规律的支配 。

可解模型的曙光
1.Winfree模型：星萤错落同明灭

下一个重大突破在1967年。这一年，美国生物数学家Winfree，根据萤火虫的同步闪烁现象，提出了Winfree模型——这一模型的核心洞见在于：在同步问题中，极限环相互作用的关键自由度是相位，因此通过研究耦合的相位振子模型，就能揭示同步现象的动力学本质。

该模型的动力学方程为：

其中，θi 表示第 i 个振子的相位，ω 是振子的自然频率，服从某个单峰对称分布，概率密度函数为g(ω）。X(θj) 被称为相互作用函数，用于描述振子间相互作用的机制；Z(θi） 则是相位响应函数（Phase Response Curve，PRC） 体现振子相位对外界作用的响应特性。当振子自然频率的分布较窄时，振子之间会出现相互同步现象。

萤火虫的同步闪烁现象 来源：https://swarma.org/?p=37648

这一模型的价值在于：上述不同物理背景、不同体系中的现象，都能借助耦合相振子系统的同步动力学得到解释。但这个模型实际上是不可解的，这是其科学意义上的局限性。那么，到底该如何从理论层面上彻底刻画和解析同步现象的涌现的过程呢？

2.Kuramoto的突破性贡献

1975年，日本物理学家藏本由紀 （Yoshiki Kuramoto） 在非线性动力学领域已积累深厚研究基础。他1970年于京都大学取得理学博士学位，师从Kazuhisa Tomita与Hajime Mori，早期钻研相变统计力学，后因对Ilya Prigogine等学者的耗散结构研究产生思考，转而深入非线性动力学领域。

正是在这样的学术探索历程中，他以化学振荡现象为切入点，构建了意义重大的藏本模型 （Kuramoto model） 。该模型突破传统，采用最简形式的相位差正弦函数描述振子耦合，既精准捕捉物理核心，又为后续数学分析搭建了有效框架。

和Winfree模型类似，Φj和Φi分别是个体j和个体i的相位，表示个体i相位随时间的变化率，ωi表示个体i的自然频率，K是耦合强度。

这个方程可以进一步写成平均场形式：

其中

。 这里Δ是序参量，表征系统的同步程度。

Kuramoto模型的三种状态的示意图（a，b，c）和序参量与耦合强度的关系，来源：Acta Physica Sinica, 69, 080502 (2020)

在Kuramoto模型中，耦合强度是驱动振子群体演化的核心控制参量。（i）当耦合强度为K=0时，大量振子因自然频率不同，相位均匀散布于区间[0,2π]，通过序参量R表征，呈现R=0完全无序状态。

(ii)随着耦合强度K逐步增加，系统内的同步机制开始显现：更多振子开始实现同步，其平均频率趋向统一，相位相互靠近并维持固定 (称为锁相群体)，分布均匀性被打破，序参量R脱离零值。这一过程的关键阈值是临界耦合强度Kc：当K≤Kc，系统维持无序，R始终几乎为0；当K≥Kc，同步被触发，R非零，振子间形成有序的同步集团，进入部分同步态。

(iii)在强耦合条件下，振子相位高度聚集，形成整体同步态，这本质上属于非平衡相变现象——大量耦合振子通过相互作用，克服自然频率差异引发的无序，最终涌现出完全同步的有序态。

Kuramoto 借助统计物理学方法与自洽方程，通过在临界点处进行泰勒展开，成功求解临界耦合强度Kc，并揭示Kc附近序参量R的临界行为（即在临界区域 称为同步相变的临界指数——这其实是大自然中普遍存在的scaling law的又一体现)，首次从理论层面系统阐释了集体同步现象的复杂物理机制。

模型的拓展与应用

以Kuramoto模型为代表的耦合随机自然频率振子系统，也已成为同步研究领域的范式性模型。在这一框架下，振子通过相互作用克服自然频率异质性，实现从无序到有序的同步相变，其物理本质与非平衡统计力学中的相变机制高度契合。随着研究的深入，模型的应用边界不断拓展，已渗透至物理学、生物学、工程学等多个领域。

后续的研究者通过调整模型参数与结构，成功刻画了现实世界中纷繁复杂的同步现象。例如，通过引入不同的耦合函数（如类正弦函数、余弦函数、脉冲耦合等） ，模型能够描述神经脉冲同步、萤火虫发光节律等生物现象；改变耦合网络的拓扑结构（如小世界网络、无标度网络、多层网络和高阶网络） ，则可揭示电力系统振荡、社交网络意见传播等集体行为的动力学规律。值得关注的是，模型在强非线性条件下呈现的玻璃态同步、时滞效应引发的行波/驻波态，以及惯性、阻挫、相移和外场等物理效应的引入，均为理解凝聚态物理、激光阵列、集群运动等实际系统提供了理论工具。

Kuramoto模型的科学价值不仅在于其广泛的适用性，更在于其及以后的变体模型引发的方法论层面的创新。自洽性方程的提出首次实现了同步相变的理论解析，主稳定函数（MSF）为复杂网络同步能力评估提供了普适框架，而OA拟设（Ott-Antonsen Ansatz）、WS变换（Watanabe-Strogatz Transformation）与重整化群方法的引入，则为处理高维非线性系统开辟了新路径。这些理论工具的发展，使Kuramoto模型成为连接微观个体行为与宏观集体秩序的桥梁，为理解自然界从细胞代谢节律到星系旋转等跨尺度同步现象提供了统一的动力学视角。

近年来，这一领域与多个学科交叉，产生了一些系列新模型、新概念和新方法，如从统计物理视角，对同步相变的临界性质的进一步探索，即考察临界维数、除序参量外其他临界指数与普适类 （Daido,1988PRL; Hong等, 2007PRL; Qiu等, Unpulished） ；引入新的内禀自由度——D维 Kuramoto模型 (Chandra等，2019PRX；Dai等，2021PRL；Zou等，2023PRL) ，发现了其行为发现了其行为对D的奇偶性的新颖依赖性；同步与集群的交叉领域——集群振子模型(O’Keeffe等，2017NC) 等。它们与诸多领域深度融合，进一步加深了我们对于同步现象和理论的理解。

这部分关于集群振子和Kuramoto模型的扩展的一些内容，会在集智俱乐部正在组织的上做一些专题解读和介绍，欢迎大家加入读书会一起来交流。

结语

KPZ方程描述的界面生长与Kuramoto模型刻画的振子同步，前者揭示了开放系统在噪声驱动下自发形成复杂结构的普适性，后者则证明无序个体通过简单规则实现同步相变的涌现机制。这两个看似迥异的物理图景，却都存在着某种形式的标度律（scaling law）。事实上，从纳米尺度的量子涨落到星系尺度的结构形成，从神经网络训练中的参数涌现到多智能体系统的集体决策，人们都发现若干简单的标度指数可以概括描述不同规模的系统行为。这展示了统计物理学理论在解释复杂系统行为方面的强大能力，我们或许因此触碰到了自然界最深邃的奥秘——复杂系统的动力学多样性背后，存在着超越具体物质载体的普适性法则。这种抽象法则不仅是涌现现象背后深刻的数学结构的曲折呈现，更是作为从数学实在到真实物理世界的映射方案的物理规律，在跨越不同层次时编码的基本语法。

作为人类的一分子，科学家们居然能够认知到世界如此底层的规律。于是，我们不得不感叹：

人，是宇宙的意义分泌器官。

本文为科普中国-创作培育计划扶持作品 作者 | 邱仲普 审核 | 樊京芳（北京师范大学系统科学学院教授） 出品 | 中国科协科普部 监制 | 中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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