函数的导数计算6道习题过程详解

主要内容：

1.y=(2x+cosx²)³的导数计算: 通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(2x+cosx²)³的导数计算主要步骤。

2.51y=ln(x²+56y²)导数计算:隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数51y=ln(x²+56y²)导数的计算主要步骤。

3.函数y=sin³(x²+x+2)的导数计算:用复合函数求导法则、链式求导法则以及取对数求导等方法，介绍计算函数y= sin³(x²+x+2)一阶和二阶导数的步骤。

4.7y=ln(x²-y²)导数计算:隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数7y=ln(x²-y²)导数的计算主要步骤。

5.x³+y³=2x的导数计算:通过隐函数以及函数商的求导法则，介绍计算x³+y³=2x的一阶导数和二阶导数的主要过程步骤。

6.y=(45x-cosx³)²的导数计算:通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(45x-cosx³)²的导数计算主要步骤。

函数的导数计算6道习题过程详解

1.y=(2x+cosx²)³的导数计算

主要内容：

本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(2x+cosx²)³的导数计算主要步骤。

链式求导法则

y=(2x+cosx²)³,则有：

dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2x+cosx²)',即：

dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2-sinx²*2*x).

则：dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2-2x*sinx²)。

取对数求导方法：

因为y=(2x+cosx²)³,两边取自然对数有：

lny=3ln(2x+cosx²),再对方程两边同时对x求导，有：

y'/y=3(2x+cosx²)'/(2x+cosx²),

y'/y=3(2-2x*sinx²)/(2x+cosx²),

y'=3(2x+cosx²)³*(2-2x*sinx²)/(2x+cosx²),

所以：y'=3(2x+cosx²)²*(2-2x*sinx²)。

本题函数的复合

本题由函数y₁=2x(一次函数，也为正比例函数)，y₂=x²（幂函数）,y₃=cosy₂（三角函数，也为正弦函数）,y₄=y₁+y₃（两个函数的和函数）,y=y₄³（幂函数）复合而成。

知识拓展：

导数,也称之为导函数，是函数的局部性质，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。

函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为求不定积分计算。

2.51y=ln(x²+56y²)导数计算

主要内容：

本文通过隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数51y=ln(x²+56y²)导数的计算主要步骤。

导数公式法：

51y=ln(x²+56y²),两边同时对x求导有：

51dy=(2xdx+112y*dy)/(x²+56y²),

51 (x²+56y²)dy=2xdx+112y*dy

[51(x²+56y²)-112y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[51 (x²+56y²)-112y].

构造函数导数法

设F(x,y)= 51y-ln(x²+56y²),

则F(x,y)对x求导有：

F'x=-2x/(x²+56y²),

进一步F(x,y)对y求导有：

F'y=51-112y/(x²+56y²),

所以有：

dy/dx

=-F'x/F'y

=[2x/(x²+56y²)]/[ 51-112y/(x²+56y²)]

=2x/[51(x²+56y²)- 112y]。

3.函数y=sin³(x²+x+2)的导数计算

主要内容：

本文主要用复合函数求导法则、链式求导法则以及取对数求导等方法，介绍计算函数y= sin³(x²+x+2)一阶和二阶导数的步骤。

※.复合函数链式求导计算一阶导数

由复合函数求导法则，对x求导有：

dy/dx=3*sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2)*(x²+x+2)’

=3*sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2)*(2x+1),

=3(2x+1)*sin²(x²+x+2) *cos(x²+x+2).

※.取对数求导计算一阶导数

首先对方程两边取对数，有：

lny=lnsin³(x²+x+2),

lny=3lnsin(x²+x+2),

方程两边同时对x求导，有：

y’/y=3 [sin(x²+x+2)]’/sin(x²+x+2),

y’/y=3 [cos(x²+x+2)](2x+1)/sin(x²+x+2),

y’=sin³(x²+x+2)*3[cos(x²+x+2)](2x+1)/sin(x²+x+2),

y’=sin²(x²+x+2)*3[cos(x²+x+2)](2x+1),

=3 (2x+1)sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2).

※.二阶导数计算

本处根据函数特征，采取取对数计算导数，

首先对函数两边同时取对数，有：

lny’=ln3(2x+1)sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2),则：

lny’=ln3+ln(2x+1)+2lnsin(x²+x+2)+lncos(x²+x+2),

对方程两边同时对x再次求导，

y’’/y’=2/(2x+1)+2[sin(x²+x+2)]’/sin(x²+x+2)+

[cos(x²+x+2)]’/cos(x²+x+2),

=2/(2x+1)+2cos(x²+x+2)(2x+1)/sin(x²+x+2)-

sin(x²+x+2)(2x+1)/cos(x²+x+2),

=2/(2x+1)+2(2x+1)ctg(x²+x+2)-(2x+1)tan(x²+x+2),则：

y’’=3(2x+1)sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2)[2/(2x+1)+2(2x+1)*

ctg(x²+x+2)-(2x+1)tan(x²+x+2)],

=6sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2)+6(2x+1)²sin(x²+x+2)*

cos²(x²+x+2)-3(2x+1)²sin³(x²+x+2),

=3sin(x²+x+2)*sin(2x²+2x+4)+6(2x+1)²sin(x²+x+2)*

cos²(x²+x+2)-3(2x+1)²sin³(x²+x+2)。

4.7y=ln(x²-y²)导数计算

主要内容：

本文通过隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数7y=ln(x²-y²)导数的计算主要步骤。

导数公式法：

7y=ln(x²-y²),两边同时对x求导有：

7dy=(2xdx-2y*dy)/(x²-y²),

7(x²-y²)dy=2xdx-2y*dy

[7(x²-y²)+2y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[7(x²+y²)+2y].

构造函数导数法

设F(x,y)=7y-ln(x²-y²),

则F(x,y)对x求导有：

F'x=-2x/(x²-y²),

进一步F(x,y)对y求导有：

F'y=7+2y/(x²-y²),

所以有：

dy/dx

=-F'x/F'y

=[2x/(x²-y²)]/[7+2y/(x²-y²)]

=2x/[7(x²+y²)+2y]。

5.x³+y³=2x的导数计算

主要内容：

本文主要通过隐函数以及函数商的求导法则，介绍计算x³+y³=2x的一阶导数和二阶导数的主要过程步骤。

※.一阶导数计算

对曲线方程两边同时求导，有：

3x²+3y²*y'=2，

即：y'=dy/dx=(2-3x²)/3y²。

※.二阶导数计算

对y'按函数商求导法则有：

d²y/dx²=(1/3)*[(-6x)*y²-2*(2-3x²)y*y']/y⁴

=(2/3)*[(3x)*y²+(2-3x²)y*y']/y⁴ ,将上述所求的y'代入。

=-(2/3)*[3x*y²+(2-3x²)y*(2-3x²)/3y²]/y⁴ ,

=-(2/3)*[(3x)*y²+(2-3x²)²/y]/y⁴ ,

=-(2/3)*[3x*y³+(2-3x²)²]/y⁵ 。

6.y=(45x-cosx³)²的导数计算

主要内容：

本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(45x-cosx³)²的导数计算主要步骤。

链式求导法则

y=(45x-cosx³)²,则有：

dy/dx=2(45x-cosx³)*(45x-cosx³)',即：

dy/dx=2(45x-cosx³)*(45+sinx³*3*x²).

则：dy/dx=2(45x-cosx³)*(45+3x²*sinx³)。

取对数求导方法：

因为y=(45x-cosx³)²,两边取自然对数有：

lny=2ln(45x-cosx³),再对方程两边同时对x求导，有：

y'/y=2(45x-cosx³)'/(45x-cosx³),

y'/y=2(45+3x²*sinx³)/(45x-cosx³),

y'=2(45x-cosx³)²*(45+3x²*sinx³)/(45x-cosx³),

所以：y'=2(45x-cosx³)*(45+3x²*sinx³)。

本题函数的复合

本题由函数y1=45x(一次函数，也为正比例函数)，y2=x³（幂函数）,y3=cosy2（三角函数，也为正弦函数）,y4=y1-y3（两个函数的和函数）,y=y4²（幂函数）复合而成。

知识拓展：

导数,也称之为导函数，是函数的局部性质，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。

函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为求不定积分计算。