新数论理论体系

正整数空间

——新基础数论体系

摘要：本书用初等的方法，初步探讨研究了正整数（数论）里面的一部分规律。是利用多个等差数列公式组成一组，形成一个正整数空间，获得了正整数规律的一套理论体系。并且对哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想等的证明有了结果。最后还有对正整数规律更深入研究的扩展公式。本文最核心的基本理论就是“正整数空间”的概念。

关键词：正整数空间的概念、素数分布规律、素数项公式、哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想。

引言

在这个宇宙里，有两样东西就像房屋的骨架一样重要。一个就是数，另一种就是几何图形。而数字和几何图形的相互关联，在远古人类智慧的初期就已经开始使用和研究了。比如“河图洛书”、“易经八卦”和勾股定理等等。

早在公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得就把前人使用的几何经验，总结整理上升到了理论的高度，写了一部书名字叫《几何原本》。

正整数在几千年来，人类虽然不断地研究探讨，形成了数学领域里的一门分支就是“数论”。但是始终没有一个数学理论工具用“初等的研究方法”，对正整数的规律进行理论研究和探讨，没有形成一套完整的数论体系。那就是相对的素数公式和素数在正整数中的分布规律。

近300多年来世界级的大数学家们也对正整数进行了艰难地探索，虽然有了一门古老的数学分支《数论》，就是研究正整数里面数的规律的。但是研究方法过于高深和复杂了，以至于许多问题一般人都无法学习和研究。

我这里给出一个初等的方法，研究正整数里面的规律。那就是“正整数空间”的概念及其定义。本书包括三大部分，一是新数论基础理论部分；二是理论的应用；三是对正整数空间理论发展的展望。

第一章 新数论基础理论部分

在这一章里面首先讲素数的定义和一些基础知识，其次提出数论里面的问题。为了解决这些数论里面的问题，我发现了“正整数空间的概念”。最后利用这个概念介绍了几个典型的正整数空间的性质。

第一节 数论里基本问题的提出

一、 数论几个基础概念

1. 正整数的分类是：

单位：1

素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素数的定义：一个大于1的正整数，如果它仅有的“因子”是1和它自己，这个数就是素数，反之就是合数。

2. 欧几里得用优美的证明证明了，在正整数里面的素数是无穷多的。

3 .在数论中最核心，最基础的数论问题，就是这三个问题：

1）合数与素数产生的原因；

2）有没有直接的“素数公式”？

3）素数在自然里的分布规律。

二、数论面临的问题

1、 关于素数公式的探索

数和几何图形始终是人类文明起源最核心的知识之一，而几何图形以及几何计算，人类在两千年前就已成熟了。但是正整数里面的规律，人类至今都没有形成一个好的知识体系，而被搞得复杂不堪，形不成一个完整的科学体系。主要原因就是人们费了九牛二虎之力，也没有找到素数在自然数里面的规律，就是数学家们在一直寻找那个并不存在的“素数公式”。到目前为止除了我的研究有了成果，其他古今中外的数学家，在这方面的研究都是失败的。

比如费马和梅森公式等等。

还有就是这种n^2-n+41和n^2-79n+1601 形式的公式，都是随着n的增大而出现合数。所以都不是“一般性的素数公式”。

其实“素数公式”不一定非要存在，不存在也是它自身的客观规律，没必要人为的找见它。但是有一个错误的观点，寻找素数在自然数里面的规律，有些人用“概率”的方法，其实这是严重的错误。素数在自然数里的分布不是没有规律，不是概率随机分布而是有自己特殊的规律。

用“高斯素数定理”既x/LnN，研究素数的分布规律是有局限性的。

2、 关于等差数列表示素数的问题

我们知道数学家们知道一些等差数列是可以表示素数的，知道一些等差数列含有素数。但是他们无法证明这些等差数列的性质，不知道这些等差数列里面的素数分布规律，素数是不是有无穷多的？他们也不知道这些等差数列之间的相互关系。把这个问题看成是一个高深的问题，其价值远远大于“哥德巴赫猜想”和“孪生素数对猜想”。

看图片一和图片二。

比如数列5N+2这是一个含素数数列，它可以是2、7、12、17……里面是有素数的，但是无法判断这些素数是不是无穷多的，无法判断它与其它数列之间的关系。比如数列里面的7可以用N+7、2N+5、3N+4等等无穷多的数列形式来表示，这是混乱的，毫无价值的。只有我们把5N+2数列放进“多维正整数空间”5N+A中，这个数列才会有意义。

自然数空间5N+A可以有五个数列一组，代表着全部自然数，如下表（图三）

从表格中我们不用证明就会看到，含素数数列5N+1、5N+2、5N+3、5N+4四个数列中的素数都是有无穷多的。

第二节、正整数空间概念的出现和它的意义

一、正整数空间概念的出现过程和定义

1、正整数空间出现的过程

2001年我从国企下岗了。2002年上半年没去打工，而是关在家里写科幻小说。幻想着靠写科幻小说喝碗稀粥养活自己就行了。既然要写科幻小说就必须读科普读物。中学时期我对自然和数理化就感兴趣，大学期间也读过《数论》，没看懂就把书扔了。平时也读了不少科普书籍和科幻小说，参加工作后也买了不少这方面的书籍看着玩，当时重新拿出来阅读想寻找写作的灵感。

许多科普书里都提到了“数论”里面的问题，我立马又被这些问题所吸引了。我想不论“哥德巴赫猜想”、“孪生素数对猜想”、“勒让德猜想”，什么“费马大定理”等等，数学家们都是在“自然数的内部”来试图解决问题。我想是不是应该到“自然数的外部”去观察自然数有什么规律？如果找到了这个“规律”，这些问题不就好解决了吗？我们搞工科的有一个实践经验，那就是“干什么活必须要有什么专用的工具”。数学也一样，一些难题解决不了，往往是缺少“理论工具”，必须首先找到这个理论工具才行。

关于什么是“自然数外部”和“自然数内部”？一些人恐怕不好理解，因为没有这个概念。数学就是一种思想，就是一种思维方式，就是“数学思维”能力。这些牵扯到了哲学和逻辑，关系到个人的思维方式问题。

什么是“自然数内部”和“自然数外部”？我试着解释一下，也可能会“言难达意”，我尽力吧。

我们用“第三视角”观察问题，就是在事物的外面看事物的全貌。数学也一样，数学家们都是在“数学内部把正整数看成是一个整体”，他们在研究正整数的“局部问题”。如果你在“正整数的外部”把正整数看成是一个整体，而找正整数的整体规律，这就是在正整数的外部。这也是在正整数的内部和外部之分。

站在正整数的外面寻找正整数的规律，我几乎冥思苦想了三天三夜，终于有一天夜里，看着墙上的瓷砖得到了灵感。请看图四。

这个灵感似乎来自“高维空间”，就是在我眼前出现一个“亮点”，越来越大：“所有的正整数都可以用1、2、3三个等差数列一组来表示”。

自然数空间的概念就是这样得到的（图五、图六）。

2、正整数空间的定义

为了研究问题的方便，我们不再使用等差数列的教科书的形式，而采用KN+A的形式表示等差数列。其中只要K与N互素，这个等差数列就是“含素数数列”，数列所含的素数都是无穷多的。

正整数空间的定义：

全部正正整数1、2、3……可以用一组，若干个等差数列来表示。这样每一个正整数，包括素数与合数都会有一个项数N与之相对应。这样一来素数就有了自己固定的位置而不是随机出现的。看下面的图七

这个表格中横向的每一组等差数列都可以代表全部正整数，从1至无穷。

3、三个重要的定理

在正整数空间定义的基础上，我们初步获得了三条定理。

定理1 、正整数1在正整数空间N+1中是素数。

证明：

在正整数N+1空间里，我们使用一维空间的数轴“合数项数列”Sn+K ，S是一素数，所以1也是素数。

这个问题下面我们有详细地介绍。这个定理是为后面证明“哥德巴赫猜想”做的准备。

定理2、在正整数空间里KN+A 只要K与A互素，这个等差数列就是含素数数列。并且素数都是无穷多的。

证明：

因为任取一个空间KN+A后，都包括了全部的正整数，其中必然也包括了全部素数。数学家们已经证明了正整数中的素数是无穷多的，所以KN+A空间内的所有含素数等差数列中的素数必然也是无穷多的。

只要取定一个正整数空间K数字，就会有两种情况出现，K是奇数或偶数。而A是数列序数，按1、2、3……的顺序取值。当K为奇数时，只要A不是它的因子，数列中都会含有素数。当K为偶数时，只有A是奇数并且不是K的因子，等差数列就是含素数数列。

推论，其中不论K是奇数或偶数，只要是KN±1的等差数列形式，都是含素数数列，并且素数都是无穷多的。

证毕。

定理3、在自然数中，任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个素数。即，对任意正整数n，存在素数p，满足n^2 < p < (n+1)^2。（勒让德猜想）

这个证明在第二章理论应用给出。

二、正整数空间具有的意义

1、 正整数空间N+1 的意义

1）合数项数列与合数、素数产生的原因

正整数空间N+1，表格如下

这样数列N+1就代表了全部正整数。并且每一个正整数，包括素数和合数都有一个项数N相对应。

注意在用等差数列研究正整数的规律时，必须首先注明是在哪一个“正整数空间”里研究，只有这样这些等差数列才具有真实的指向和现实的意义，否则等差数列都是混乱和无效的。

利用项数N我们可以写出按次序无数多的合数项数列，如下

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

这些合数项数列公式可以写成，Sn+K 的形式。

S是一个素数，n是系数,取值范围0、1、2…… ，K是合数出现的初项位。

注意，这里的1n+0 其中的1是一个素数。还有就是合数出现的周期数，就是前面第一个素数本身的数字。

0代表着无，1代表着有。从0到有，就是从0到1不是仅仅有唯一的路径，它可以有无穷多的路径。0到1的一维空间；0到平面1^2的二维空间；0到立方的1^3的三维空间……，以及0到n维空间，就是1^n。

是不是在自然界中存在“多维数”，这个问题我没有探讨。

我们看3n+2 合数项数列。

当n=0时，合数项数列3n+2=2.注意这个2是项数,代入n+1数列，得3。后面都是以3为周期的合数。6、9、12……

我们是可以把正整数1、2、3……看成是一个等差数列，为何不直接使用“合数数列”而是使用“合数项数列”？

就是增加了一个项数N就与过去的研究方法有了天壤之别，现在我们研究的是“正整数空间”里面的N+1空间。

看这些合数项公式，我们发现所谓的素数和合数是我们人类自己区分的。不论有没有人类，自然数都是按次序1个1个逐渐增多的（这种增多可以在多维空间里进行），我们这里主要探讨的是在一维的数轴空间上的情况，我们人类把那些不含其它因子的数（1除外）称作“素数”。

通过上面的表格和合数项数列，我们可以看到素数与合数产生的原因。

0是无，1是有。出现了1就像在数轴上形成了一个“空间”，是在桌面上铺上了一张无边的以1为单位，带格子的宣纸，然后在纸上写字。

2就是素数，就是第一个字，它有规律满足公式2K+1而写下去。而第三格，不满足公式K+0和2K+1必须就要写第三个字，也就是素数3……，依次下推至无穷。

这就是素数与合数产生的原因。

数2、3、5……素数就是开始写字的第一笔，而这个第一笔都是出现在没写过字的空白里。字可以有连续的规律，而出现字的空白处也有规律，但是这个规律不是连续的，不能用我们常规的函数公式来表示。

所以数学中没有直接的素数公式。

2）合数项公式与素数项公式

我们可以在数列N+1中建立一个“合数项”公式，就是

Nh=a(b+1)+b （公式1.1）

这个公式必须配合数列N+1的表格使用，否则是无效的和无意义的。

其中，Nh是合数项，a、b都是项数，取值范围是0、1、2、3……

比如，我们取a=1 b=5 Nh= 11 代入N+1这个合数就是 11+1=12 。

我们取a=3b=4 Nh= 19 N+1=20

我们有一个相对的素数项公式，

Hs=N-Nh （公式1.2）

如果我们遇到一个很大的数字，如何判定是合数还是素数？

K=(N-b)/b+1 （公式1.3）

把项数N代入判定式后，方程如果有整数解就是合数，无解就是素数。当然数字很大时人工计算几乎是不可能的，可以写程序用计算机进行。

以上就形成了一个“新数论理论体系”，就有了“素数在正整数中分布的规律。也使《数论》具有了自己的灵魂。

第三节、几个主要正整数空间的简介

1、 正整数空间2N+A

用“2N+A”空间代表全部正整数。如果没有这一条，这一组两个等差数列都是无效的，毫无意义的。做表格如下，

分析这个表格的性质。

1） 用等差数列2n+1和2n+2表示全部正整数。

2） 数列2n+1是奇数列，但是它包含了除2以外正整数里面的全部素数。

3） 数列2n+2是偶数列，它包含了正整数里面的全部偶数。

4） 我们看到任何一个偶数，都是奇数列两个数的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

看上面的表格，数列组2N+A 里面的“合数项公式”是

Nh=a(2b+1)+b （公式1.4）

这个空间里也有一个素数项公式，

素数项Ns=N-Nh （公式1.5）

这个公式说明性质与合数项公式相同，而变化趋势相反。随着项数N的增大，素数在自然数里减少的。但是必须注意在局部区间内数量减少，而在整体上素数的数量上还是增加的。

这个空间可以证明哥德巴赫猜想，后面的章节里我们还要讲到。

2、正整数 4N+A 空间

看下图（图10），

4N+A数列组空间，素数在4N+1、4N+2和4N+3里分布着。这个空间由三个合数项公式组成一组的方程，这里不再讲述。

3、正整数6N+A空间

看下图（图11）

可以变形为（图12）

这个空间比较特殊，正整数中的素数除了2、3以外，全部包含在数列6N±1中。这个空间可以解决一些数论里面的古老问题，所以在后面我们专门有一节对它的理论进行详细的介绍。

正整数 7N+A空间（图13）

正整数8N+A 空间（图14）

这个空间可以做一个平面直角坐标系，素数都在四个坐标轴上。可以用同心圆表示，与化学的元素周期表上的原子核核外电子数有一定的关联。

正整数10N+A空间

这个空间的意义在于用这十个数列一组可以表示全部正整数，十个数列的平方数列就是全部正整数的平方。它的价值在于同一数列上的尾数都一样。后面有一节专门介绍它。

未完待续

作者：李铁钢

2025年3月1日星期六

注：我先把这部分发出来，后面两章“理论的应用”和“新数论发展展望”以后再整理吧。确实我是年纪大了，感觉很吃力了。就是这点东西希望不要被压制，应该让它传播出去，起码这是对中华民族的贡献。

作为一个业余数学爱好者，我做到这一步也是不容易了，我也满足了。一个在数学圈外的人做到这一步，你们体会不到我所受到的压力和屈辱。因为我确实不是骗子，不是低级的“民科”。当自己的劳动成果被讽刺和谩骂时，我真的很恼火，但是也无可奈何。其实二十多年前我就放弃了想当数学家的念头，也够宽怀大量，就不要骂我是“臭民科”了。真的我既不拿国家的经费，也没挣国家的工资，现在我已经老了我最大的愿望就是不要被压制，能把这些东西传播出去，就是完成了我的使命。

欢迎大家的转载、剽窃、抄袭。我希望它能传播出去，让它具有社会价值。

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