法捷耶夫：量子场论和可积系统领域的先驱/奠基人

在20世纪下半叶量子场论和可积系统研究突飞猛进的浪潮中，有一位来自列宁格勒（现圣彼得堡）的学者，以其深邃的数学洞察力和对量子世界的执着探索，为现代数学物理的大厦奠定了坚实的基础。他就是路德维希·法捷耶夫（Ludvig Faddeev），一位将数学的严谨与物理的直觉完美结合的大师。

他的名字，与量子场论和可积系统这两个领域的重大突破紧密相连。他所提出的法捷耶夫方程、法捷耶夫-波波夫鬼子（Faddeev-Popov ghosts）、量子反散射方法等概念，不仅深刻地改变了我们对量子世界的理解，也为数学的多个分支注入了新的活力。

本文将沿着法捷耶夫的学术足迹，探寻他如何在量子场论和可积系统领域开疆拓土，并以此影响着几代数学物理学家的成长。

一、早年生活和教育：数学世家的物理之路

1934年3月23日，路德维希·法捷耶夫出生于列宁格勒一个数学世家。他的父亲德米特里·法捷耶夫（Dmitry Faddeev）是著名的代数学家，列宁格勒大学教授，苏联科学院通讯院士，也是列宁格勒现代代数学派的创始人。他的母亲维拉·法捷耶娃（Vera Faddeeva）同样是一位数学家，以其在线性代数数值计算方面的贡献而闻名。 浓厚的学术氛围，熏陶着法捷耶夫的成长。 父母甚至期望他成为一名音乐指挥家， “路德维希”这个名字正是为了纪念伟大的作曲家贝多芬。

然而，二战的爆发打断了法捷耶夫的音乐之路。1941年，随着德军逼近列宁格勒，法捷耶夫一家被迫撤离，辗转多地，最终在喀山落脚。 直到1945年初，他们才得以重返家园。 战火虽然阻断了他的音乐梦想，却也让他有机会接触到更广阔的世界。在中学时代，法捷耶夫展现出对数学的浓厚兴趣，同时也热衷于摄影、无线电模型和越野滑雪等多项活动。他广泛阅读，莎士比亚的历史剧让他对英国中世纪历史产生了浓厚的兴趣。

1951年，法捷耶夫从列宁格勒斯莫尔宁斯基区的第155男子学校毕业，面临着人生的重要抉择。为了走出父亲的学术光环，寻求独立的学术道路，他出人意料地选择了列宁格勒大学物理系，而不是父亲担任院长的数学系。法捷耶夫曾回忆说：“我想走自己的路。我相信，一定程度的固执和不妥协，对我成为一名学者至关重要。”

然而，命运似乎早已注定。在大学期间，法捷耶夫很快就被数学的魅力所俘获。在弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock）和弗拉基米尔·斯米尔诺夫（Vladimir Smirnov）等学术巨擘的影响下，物理系的数学教育被组织得异常出色。从大学三年级开始，法捷耶夫师从著名的偏微分方程专家奥尔加·拉德仁斯卡娅（Olga Ladyzhenskaya）。拉德仁斯卡娅没有将他局限于传统的数学物理领域，而是鼓励他阅读量子散射问题方面的论文，这为他日后的研究方向埋下了伏笔。

二、散射理论的突破：三体问题的征服者

在拉德仁斯卡娅的指导下，法捷耶夫首先研读了诺曼·莱文森（Norman Levinson）关于径向薛定谔算符势能重建唯一性的论文，随后又深入研究了库尔特·弗里德里希斯（Kurt Friedrichs）的专著《量子场论的数学方面》（Mathematical aspects of the quantum theory of fields）。这些研究，为他日后在散射理论领域的突破奠定了基础。

1959年，法捷耶夫完成了博士论文《局域势散射的S矩阵性质》（Properties of S-Matrix for the Scattering on a Local Potential），对一维薛定谔算符的反散射问题进行了深入研究。他不仅解决了直接散射问题，还给出了S矩阵的充分必要条件，并推导出了从“散射数据”重建势能的积分方程。这项工作，为他赢得了学术界的广泛认可。

然而，法捷耶夫并未止步于此。他将目光投向了更具挑战性的三体问题。在量子力学中，三体问题指的是描述三个相互作用的粒子系统的运动规律。由于相互作用的复杂性，三体问题远比二体问题困难。 法捷耶夫的天才之处在于，他巧妙地利用了早期对弗里德里希斯模型的研究成果，对标准积分方程中的奇异项进行分离和求和，最终得到了一组新的积分方程，即现在被称为“法捷耶夫方程”的方程组。

法捷耶夫方程的伟大之处在于，它将复杂的三体问题转化为一组可以利用弗雷德霍姆（Fredholm）理论进行分析的方程。通过对各种奇异积分的巧妙估计和计算，法捷耶夫证明了三粒子哈密顿算符的本征函数展开定理，并详细描述了S矩阵的块结构。这些块结构，反映了三粒子散射过程的多样性，包括多通道散射过程和单通道散射过程。

1963年，年仅29岁的法捷耶夫完成了他的博士后论文《三粒子系统量子散射理论中的数学问题》（Mathematical questions in the quantum theory of scattering for a three-particle system），标志着他在三体问题上取得了里程碑式的突破。他的工作，不仅在数学上具有严谨性和深刻性，也为核物理等领域的研究提供了强有力的工具。法捷耶夫方程，至今仍是研究量子三体问题的基石。

三、量子场论的先驱：规范场的指路明灯

在解决了三体问题之后，法捷耶夫将目光投向量子场论——他年轻时的梦想。在20世纪60年代，量子场论在苏联几乎被“禁止”，因为朗道（L. D. Landau）学派认为量子电动力学存在内在矛盾。然而，身处列宁格勒的法捷耶夫，远离莫斯科的学术中心，拥有了相对自由的研究空间。他潜心研读费曼（R. Feynman）和施温格（Schwinger）的经典论文，以及安德烈·利希内罗维茨（A. Lichnerowitz）关于联络理论的书籍，开始探索量子场论的奥秘。

法捷耶夫敏锐地意识到，相互作用不应被临时引入，而应由某种普遍而自然的原理来描述。他被爱因斯坦广义相对论的优美所吸引，但量子引力理论在当时仍遥不可及。1964年，他在一本旧书店偶然发现了利希内罗维茨的另一本书《联络与挠率的全局理论》（Théorie globale des connexions et des groupes d’holonomie）。他立刻意识到，书中的主丛和向量丛上的联络，正是他从费曼的讲座和其他论文中了解到的杨-米尔斯场（Yang-Mills fields）。

在那个年代，杨-米尔斯理论的意义尚未被充分认识。对于费曼来说，杨-米尔斯理论的量子化只是一个练习，为的是量子化引力理论做准备。然而，法捷耶夫却预见到了杨-米尔斯场的巨大潜力。1966年秋，他与年轻的同事维克托·波波夫（Victor Popov）合作，提出了杨-米尔斯场量子化的正确方案。他们计算了规范等价联络流形上的形式测度，引入了如今被称为“法捷耶夫-波波夫鬼子”的概念。

他们的论文，几经周折，最终于1967年发表在欧洲新创刊的《物理快报B》（Physics Letters B)上。这篇论文，起初并未引起广泛关注，直到几年后，杨-米尔斯场被温伯格（S. Weinberg）和萨拉姆（A. Salam）纳入电磁和弱相互作用的统一理论中，才逐渐显露出其奠基性的地位。法捷耶夫和波波夫的工作，为规范场论的量子化奠定了基础，也为后来特·霍夫特（Gerard 't Hooft）和韦尔特曼（Martinus J.G. Veltman）获得1999年诺贝尔物理学奖铺平了道路。

四、可积系统的奠基人：经典与量子的和谐统一

20世纪70年代初，法捷耶夫的研究兴趣转向了可积系统。在1970年新西伯利亚的一次研讨会上，弗拉基米尔·扎哈罗夫（Vladimir Zakharov）向他介绍了美国应用数学家加德纳（C. S. Gardner）、格林（J. M. Greene）、克鲁斯卡尔（M. D. Kruskal）和缪拉（R. Miura）关于KdV方程（Korteweg–de Vries equation）积分的开创性工作。KdV方程，是描述浅水波和等离子体物理中非线性波动的偏微分方程。他们的发现令人震惊：如果在每个时刻t，将KdV方程的解与一个以t为参数的一维薛定谔算符的势能相关联，那么其散射数据的时间演化可以用非常简单的公式来描述。这被认为是傅里叶变换方法的非线性推广，其中反散射问题扮演着反傅里叶变换的角色。

法捷耶夫与扎哈罗夫的合作，催生了一篇具有里程碑意义的论文。他们证明了KdV方程是一个无穷维完全可积的哈密顿系统。这是一个划时代的成果，因为在此之前，哈密顿力学中的可积性似乎是一种非常罕见的现象，而且没有非平凡的具有无穷多个自由度的可积例子。法捷耶夫和扎哈罗夫的论文，首次给出了这样一个非平凡的例子，开启了哈密顿方法在可积方程理论中的应用。

随后，法捷耶夫又将目光投向了量子场论中的一个非线性版本的克莱因-戈登方程（Klein-Gordon equation）——正弦-戈登方程（sine-Gordon equation，SG）。这个方程最初出现在常负曲率曲面的研究中，后来又在非线性光学和超导理论中得到了应用。 法捷耶夫与他的学生列昂·塔赫塔江（Leon Takhtajan）合作，将反散射方法应用于SG方程，证明了SG方程是一个完全可积的无穷维哈密顿系统。他们得到的哈密顿量和总动量的显式公式表明，除了经典的相对论性大质量粒子外，还有具有不同质量和非平凡拓扑荷的孤子，以及代表孤子和反孤子束缚态的粒子。在经典谱的层面上，这是第一次由一个非线性自相互作用场产生多种粒子的例子，实现了爱因斯坦在追求统一场论时的一个梦想。

法捷耶夫对哈密顿形式情有独钟，并将这种热情传递给了他的学生。在列宁格勒数学问题物理实验室，法捷耶夫和他的学生库利什（P. P. Kulish）、尼古拉·列舍季欣（Nicolai Reshetikhin）、雷曼（A. G. Reyman）、谢苗诺夫-天山斯基（M. A. Semenov-Tian-Shansky）、斯克利亚宁（E. K. Sklyanin）和塔赫塔江等人，共同发展了可积方程的哈密顿方法，他们的成果总结在法捷耶夫和塔赫塔江的专著《孤子理论中的哈密顿方法》（Hamiltonian methods in the theory of solitons）中。

然而，法捷耶夫始终关注着量子场论。他从一开始就意识到，可积方程具有丰富的量子化潜力。他坚信，SG方程的量子版本将是一个具有丰富粒子谱的相对论性量子场论的例子，这些粒子包括基本粒子、孤子及其束缚态，都由一个单一的场产生。1978年初，法捷耶夫提出了将反散射方法推广到量子领域的问题。结合经典的反散射变换和巴克斯特（Baxter）求解统计力学中八顶点模型的方法，并利用斯克利亚宁和法捷耶夫的早期工作，法捷耶夫、斯克利亚宁和塔赫塔江提出了一种新的方法，即量子反散射方法（Quantum Inverse Scattering Method，QISM），并用它精确求解了量子SG模型。

QISM的关键要素是现在著名的杨-巴克斯特方程（Yang-Baxter equation）和代数贝特拟设（Algebraic Bethe Ansatz）。QISM及其组成部分，杨-巴克斯特方程和代数贝特拟设，变得非常流行，并被广泛应用于各种领域。法捷耶夫和塔赫塔江将QISM应用于海森堡自旋1/2各向同性反铁磁链模型，发现其基本激发——自旋子（spinon）的自旋为1/2，而不是凝聚态物理学界普遍认为的1。

QISM为新的数学结构和概念奠定了基础。斯克利亚宁引入的经典r矩阵的概念，促使。类似地，德林费尔德和神保道夫（M. Jimbo）将量子李群和李代数作为QISM中具体代数结构的抽象。

法捷耶夫、列舍季欣和塔赫塔江将QISM的基本代数形式（杨-巴克斯特方程和量子单值矩阵的交换关系）作为系统定义量子李群和李代数的基础。这种方法，被称为法捷耶夫-Reshetikhin-Takhtajan形式，如今被广泛应用于量子群理论及其应用中。

五、数学物理的哲学：无穷科学的探索者

法捷耶夫对数学和物理学的关系有着深刻的思考。他认为，物理学是研究物质基本结构的科学，而数学是呈现这些真理的通用语言。他常说，基础物理学只有一个终极问题，一旦解决，就意味着“物理学的终结”，而数学有无穷多个问题，并将永远持续下去。法捷耶夫相信，数学，以及理论物理，是由公式表达的，而公式真实性的终极标准是其美感。

法捷耶夫将自己定位为一名数学物理学家，他的主要兴趣在于量子理论。他认为，数学物理的目标是利用数学直觉在基础物理学中取得原创性成果。他将数学物理和理论物理视为竞争者，尽管他承认这两种学科可以使用不同的方法。

法捷耶夫坚信，物理学解决了化学中的所有理论问题，从而“终结”了这门科学。他相信，数学将创造出“万有理论”，并“终结”物理学，这在当时是一个相当激进的观点。他认为，物理学越是使用数学方法，就越具有基础性。他还声称，物理学中只有一个最重要的未解决问题：物质结构的微观描述。他说，当引力、相对论和量子力学的理论被整合到一个坚实的理论中时，物理学对他来说就“完成”了。法捷耶夫认为，数学物理是一门普遍的科学，理论数学的所有部分，以及概率论的数值方法和应用，都用于寻找其问题的解决方案。

法捷耶夫曾说：“数学是第六感，但不是每个人都有。数学是一门虚构的科学，是抽象推理的产物，与其他科学不同，它与通常的世界没有任何关系。特殊的直觉和对其内在逻辑和和谐的理解对数学很重要。”

六、学术领导：列宁格勒学派的缔造者

法捷耶夫不仅是一位杰出的科学家，也是一位卓越的学术领袖和组织者。1976年，他当选为苏联科学院院士，并担任斯捷克洛夫数学研究所（Steklov Institute of Mathematics）列宁格勒分部（PDMI RAS）主任，直至2000年。1988年至1992年，他创立了欧拉国际数学研究所（Euler International Mathematical Institute），该研究所现已成为PDMI RAS的一个部门。

法捷耶夫还担任过国际数学联盟（International Mathematical Union，IMU）副主席（1983-1986）和主席（1986-1990）。在IMU任职期间，他与和让-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）建立了深厚的友谊。

法捷耶夫最显著的遗产之一，是他培养了一大批杰出的学生，形成了所谓的“列宁格勒学派”。他的学生遍布世界各地，在数学物理的各个领域都取得了卓越的成就。其中，亚历山大·伊茨（Alexander Its）是法捷耶夫的学生之一，现为印第安纳大学-普渡大学印第安纳波利斯分校的杰出教授，他的研究领域集中在可积系统，与法捷耶夫的研究方向一脉相承。伊茨还担任了《少体系统》（Few-Body Systems）纪念法捷耶夫专刊的客座编辑之一，这进一步体现了法捷耶夫学派的传承。他的其他著名学生还包括弗拉基米尔·布斯拉耶夫（Vladimir Buslaev）、尼古拉·列舍季欣（Nicolai Reshetikhin）、萨姆松·沙塔什维利（Samson Shatashvili）、叶夫根尼·斯克利亚宁（Evgeny Sklyanin）、列昂·塔赫塔江（Leon Takhtajan）和弗拉基米尔·科列平（Vladimir Korepin）等。

为了纪念法捷耶夫在少体物理学领域的奠基性贡献，欧洲少体问题研究委员会和美国物理学会少体物理专题组于2016年设立了“法捷耶夫奖章”，用于表彰在少体物理学领域做出杰出贡献的科学家。

七、个人生活和性格：坚韧不拔的探索者

法捷耶夫的个人生活，如同他的学术生涯一样，充满了坚韧与热情。他与安娜·米哈伊洛夫娜·韦谢洛娃（Anna Mikhailovna Veselova）结为连理，她是他在大学的同学，也是一位理论物理学家。她的父亲米哈伊尔·格里戈里耶维奇·韦谢洛夫（Mikhail G Veselov）是列宁格勒大学物理系的教授，专攻量子力学和量子化学。她的母亲伊丽莎白·尼古拉耶夫娜·尤斯托娃（E N Yustova）也是一位物理学家，从事色彩科学研究。法捷耶夫和安娜育有两个女儿，埃琳娜（Elena）成为了一位数学家，玛丽亚（Maria）则追随父母的脚步，成为了一名理论物理学家。他们还有四个孙辈和四个曾孙辈，家庭生活幸福美满。

除了学术研究，法捷耶夫还热爱体育运动。他曾担任物理系赛艇八人队的主力划手长达七年，同时也是越野滑雪队的一员。滑雪和徒步旅行是他一生的爱好。他对文学也有着浓厚的兴趣，弗拉基米尔·纳博科夫（Vladimir Nabokov）的《阿达》（Ada）是他最喜欢的小说之一。晚年，他更偏爱俄罗斯经典文学，尤其是19世纪俄罗斯古典小说家尼古拉·列斯科夫（Nikolai Leskov）的作品，以及当代俄罗斯作家维克多·佩列文（Victor Pelevin）的作品。

法捷耶夫的音乐品味无可挑剔。他以自己的音乐收藏和音响系统为傲。除了巴赫（Bach）这位他认为“超凡脱俗”的作曲家之外，他的最爱集中在19世纪的和谐音乐上，从爱德华·格里格（Edvard Grieg）的《培尔·金特》（Peer Gynt）到理查·施特劳斯（Richard Strauss）的《玫瑰骑士》（Der Rosenkavalier）。他也喜欢爵士乐和流行音乐。他曾说：“对我来说，流行音乐止于披头士乐队。我听披头士和滚石乐队，但听不下去平克·弗洛伊德。那是虚构的、空洞的音乐，就像拉赫玛尼诺夫。在古典音乐中，我止步于巴托克，我不理解他，还有斯特拉文斯基，但我喜欢普罗科菲耶夫和肖斯塔科维奇的音乐。”

法捷耶夫的性格中，既有科学家的严谨和执着，也有艺术家的热情和浪漫。他坚信自己的学术判断，即使面对权威的质疑，也从未动摇。他乐于接受新的思想，勇于探索未知的领域。他是一位富有远见的学者，他的工作不仅推动了当时的科学发展，也为后来的研究开辟了新的道路。

八、结语

路德维希·法捷耶夫的一生，是与量子世界不懈对话的一生。他以数学为笔，以物理为墨，在量子时空中书写下一系列不朽的方程。他的工作，不仅深刻地改变了我们对量子力学、量子场论和可积系统的理解，也为数学的多个分支注入了新的活力。他所提出的法捷耶夫方程、法捷耶夫-波波夫鬼子、量子反散射方法等概念，已经成为现代数学物理的基石。

法捷耶夫不仅是一位杰出的科学家，也是一位卓越的学术领袖。他培养了一大批优秀的数学物理学家，形成了影响深远的“列宁格勒学派”。他的学生们，继承了他的学术传统，继续在数学物理的前沿领域探索，将他的思想发扬光大。

2017年2月26日，法捷耶夫在圣彼得堡逝世，享年82岁。他的离世，是国际数学物理学界的巨大损失。然而，他的学术遗产，将永远铭刻在科学史册上，激励着一代又一代的学者，去探索量子世界的奥秘，追寻数学与物理的和谐统一。正如《少体系统》（Few-Body Systems）纪念专刊的客座编辑亚历山大·伊茨和尼古拉·列舍季欣所言，法捷耶夫对数学物理多个领域做出了根本性的贡献，他对整个学科有着独特的理解，他的工作涵盖了现代数学物理的众多不同分支，反映了该领域的最新进展。他的思想，将继续在量子时空中回响，指引着未来的探索之路。

在法捷耶夫逝世8周年之际，谨以此文纪念。