非线性动力学中Koopman算符的应用 | Koopman分析系列课程第四课

导语

科学家和工程师一直在探索如何通过有效的数学工具，从复杂系统的动态行为中提取有意义的规律，而Koopman算符作为一种强大的非线性动力学分析方法，为此提供了新的视角和解决方案。在第四节中，将由兰岳恒教授于 1月11日（周六）14:00-16:00 带领大家，聚焦 Koopman算符的数值实现与本征模态的构建，深入讲解如何通过Arnoldi算法和动态模式分解（DMD）提取复杂系统中的主导动态模式，以及如何结合本征模态揭示流体、映射等混沌体系中的关键动态特性。此次课程将帮助我们从理论到应用，进一步掌握Koopman算符在实际问题中的强大潜力和核心逻辑。

主题：非线性动力学中Koopman算符的应用

课程简介

Koopman算符用另一种方式将统计物理和动力学思想结合，将我们的注意力从单条轨道转换到状态空间的函数变化，这样非线性问题就变成了函数空间中的线性问题。我们可以借助本征值和本征函数来研究体系的性质，定义动力学模式，实现复杂问题的分解，在某种意义上获得了系统的线性化。Koopman算符实际上包含了体系的所有动力学信息，但可以用不同的观测量进行粗粒化，十分契合复杂体系的层次化特征。

本次课程将重点讲解Koopman算符的性质、数值实现和本征模态的构建过程，包括Arnoldi算法和动态模式分解（DMD）的基本原理和应用方法。课程内容涵盖如何从有限观测数据中提取Koopman算符的本征值与本征模态，并将其应用于描述复杂系统的主导动态特性。特别地，我们将讨论如何结合本征模态揭示流体湍流和混沌系统中的关键动态模式，并探索这一工具在物理学和工程学中的实际应用潜力。通过本次课程，参与者将学习如何系统地利用Koopman算符和数值工具，简化复杂非线性动力学系统的分析，并掌握相关技术在多领域中的应用，为研究和解决实际问题提供新的视角与方法。

课程目标

本次课程旨在帮助学生掌握Koopman算符在非线性动力学中的应用，特别是如何通过数值方法提取复杂系统的主导动态模式。通过本课程，学生将了解Arnoldi算法和动态模式分解（DMD）的原理，学习从有限数据中构建Koopman算符的本征模态，并分析其在系统动态描述中的作用。课程将重点介绍如何利用Koopman算符的线性化视角揭示复杂非线性系统的全局特性，探讨本征模态在湍流、混沌等现象中的应用，以及如何从中提取重要的动力学规律。通过本课程，学生将能够理解并应用Koopman算符及相关工具，为研究复杂系统提供新的方法和思路。

课程大纲

1. 引言

a. 讨论非线性动力学与统计方法中面临的挑战，以及构建有效系统描述需要考虑的关键因素；

2. Koopman算符

a. 介绍Koopman算符的数学定义及其如何在观测空间中将非线性问题线性化，从而提供新的全局系统描述方法。

b. 阐述Koopman算符通过本征模态和相空间分区揭示系统中的不变集和动力学模式。

3. 应用

a. 利用标准映射这一经典非线性动力学模型，展示Koopman算符如何分析混沌行为和不变集的结构。

b. 通过流体湍流中的实际案例，展示Koopman算符如何提取主导模态，描述多尺度动态结构，分析复杂涡旋的行为。

4. 课程总结

涉及专业术语

Nonlinear Dynamics（非线性动力学）、Dynamical Systems（动力学系统）、Strong Nonlinearity（强非线性）、Phase Space（相空间）、Invariant Set（不变集）、Morse Decomposition (摩尔斯分解)、Poisson Bracket（泊松括号）、Liouville Operator（刘维尔算符）、Koopman Operator（库普曼算符）、Spectral Decomposition（谱分解）、Eigenmodes（本征模态）、Krylov Subspace（克雷洛夫子空间）、Arnoldi Algorithm（Arnoldi 算法）、Dynamic Mode Decomposition (DMD)（动态模式分解）、Reynolds Number（雷诺数）、Turbulence（湍流）、Mixing Zone（混合区）、Resonant Zone（共振区）、Chaotic Behavior（混沌行为）、Discrete Spectrum（离散谱）、Continuous Spectrum（连续谱）、Observables（观测量）、Numerical Approximation（数值近似）

课程信息

课程主题：非线性动力学中Koopman算符的应用

课程时间：2025年1月11日（周六） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

系列课程信息

课程适用对象

1. 理工科研究生或高年级本科生：

• 对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

• 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

• 希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

1. 从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

具有探究精神的学生：

• 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

要想解开非线性动力学的奥秘并不简单，但前进的每一步，都值得我们欣喜。本系列课程，我们会进行严格的课堂管理，鼓励各位同学积极思考、讨论，希望能够通过本课程让同学们能对Koopman算符理论有深入的研究，并能进行相应的理论研究和应用实践。对于满足以下条件的同学，会发放实体证书，将选出3名优秀的同学每人赠送1件集智定制T恤。让我们共同开启一次苏格拉底式的课程吧。

课程证书发放标准：

1. 报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

2. 参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

3. 加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

4. 加分项：完成课程设置的任务；

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

2. 课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

3. 课程定价：599元

扫码付费报名课程

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5419?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

1. 途径一：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。

可参考：

1. 途径二：招募课程助理1名（已结束招募）

付费报名课程后，联系助教微信申请课程助理。经沟通，成为正式课程助理，完成课程助理任务，在课程结束后退全额学费。