“生日悖论”：为什么23个人中就可能有两人同一天生日？

在一个只有23人的房间里，至少有两个人同一天生日的概率是50%。

这听起来像个悖论，对吧？

为什么说这是悖论呢？我们知道，一个人和另一个人生日相同的概率只有1/365。而我们大多数人可能认识的朋友远远超过23人，却很少遇到生日相同的情况。这不禁让人质疑：这个说法怎么会成立呢？

其实，这种逻辑存在一些问题。首先，这里并不是问“有没有人和你同一天生日”，而是“是否有任意两个人生日相同”。这种可能性比你想象的要大得多。

为了更好地理解这一点，我们可以通过计算机模拟来验证“生日悖论”的真实性。

模拟就是用计算机或模型去重现现实情况的一种方法，既高效又经济。比如，用风洞测试飞机模型的气流表现就是一种模拟。

在这里，我们通过Python编程语言模拟“生日悖论”。模拟的核心是：随机选择人并记录他们的生日，直到有两个人的生日相同为止，然后统计需要多少人才能发生这种情况。

以下是模拟实验的具体步骤：

1. 随机选择一个人的生日。
2. 检查之前是否有人有相同的生日。
3. 如果没有重复，则继续选择下一人，重复步骤1和2，直到找到生日重复的人。
4. 统计询问人数，并将其记为结果。

以下是模拟该实验的单个实例的代码：

def collect_until_repeat(dist = np.ones(365)/365): # dist is the distribution of birthdays. If it is not known # it is assumed uniform # We'll use this variable as the stopping condition repeat = False # We'll store the birthdays in this vector outcomes = np.zeros(dist.shape[0]) # n will count the number of people we meet. Each loop is # a new person. n = 0 while not repeat: # add one to the counter n += 1 # simulate meeting a person with a random birthday outcomes += np.random.multinomial(1,dist) # check if we got a repeat if np.any(outcomes > 1): repeat = True return n

重复以上步骤多次，我们可以得到一个关于“多少人需要满足生日重复”这一问题的概率分布。

通过一百万次实验的结果，我们得到了如下统计分布图：

• 水平轴表示需要询问的人数（n）。
• 垂直轴表示发生相应n值的概率。

实验结果显示，当房间里有23个人时，至少两人生日相同的概率确实达到了50%。这个结果验证了“生日悖论”的真实性。

有人可能会问：现实生活中，生日并非完全均匀分布。比如，12月25日和12月31日的出生人数明显偏低。如果我们用真实的生日分布数据来做实验，结果会有所不同吗？

答案是：不会！

我们通过实际的美国1994至2014年间的出生数据进行模拟后发现，无论是否考虑真实分布，“生日悖论”都成立。

如果你对“近似生日”（比如前后相差1天）也感兴趣，那么所需人数会更少。比如，当允许1天的容差时，只需要大约20人就几乎可以保证找到一对“接近生日”的人。