沙粒和珠峰：微积分原理及运用实例

微积分是高等数学的基础，也是一切其它自然科学的基础科学。微积分学是高等数学中以函数为研究对象，并采用极限作为分析方法来研究函数的微分、积分以及相关理论和应用的数学分支，微积分学由微分学和积分学组成。

微积分的发现者：左为莱布尼茨，德国数学家、哲学家；右为牛顿，英国物理学家、数学家、天文学家、哲学家。

微积分思想的起源可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，如古希腊“穷竭法”和中国“割圆术”（割圆术的方法，详见本文置顶的评论）。17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立创建了微分和积分，经过数学家们的不懈努力，微积分最终发展成为一门逻辑严密完善的学科。

无限小的dx和dy就是微分

微分的教科书定义是，某个变化量的无穷小变化。在微积分学中，微分表示函数线性化的变化，微分的定义可描述为：当函数自变量只有一个，且在某点的一个邻域内有定义时，自变量有一个无穷小增量Δx，则称dy为函数在该点处的一元型微分。

将微分概念换成我们可以理解的语言，就是上面的函数曲线y=f(x)中，将变量x和y无限细分，变量x每增加一小份记作dx，此时dy的变化量就是对dx的微分，上述d就是微分符号，后面分别跟着变量x和y。

我们不仅可以对曲线y=(x)长度求积分，还可以对阴影部分面积求积分，都是求和的过程

积分的教科书定义是“区间内的累计变化量”，即用一个数值来表示一个变量在某一区间内的累积变化量。在数学上，积分可以用于求解曲线下面的面积、定积分可以计算函数在一定区间内的平均值以及反常积分则可以处理无限区间的值。

还是把上述官方用语翻译成我们能够理解的描述，如果我们想求得上面曲线y=f(x)的在（a，b）区间内长度，我先将曲线微分，就是分成无数小段的直线，每一段记作dx，然后将无数个小段累加求和，就得到曲线长度：

L=∫dx； x∈{a,b}

这个过程就是积分，其中∫就是积分运算符号。

同理，上图中曲线y=f(x)和x轴形成的阴影部分，沿x和y轴包含了无数个细化的微分图形，就像将阴影部分沿着y轴方向切成无数条矩形形状的细片。我们将这些细片累加求和，得到阴影部分的面积，这个过程也是一个积分，那么阴影部分的面积S为：

S=∫dydx=∫df(x)dx

从上可见，微分是细化函数或图形，积分就是对微分的求和，二者是可以互相逆运算的。比如x²的微分（准确的说叫求导）结果为2x，那么反过来2x的积分结果为x² 。微积分的计算公式很多，这里就不一一列举了。

下面以圆和圆球，举四个实例来描述微积分的运用。

1-圆的周长公式

把圆分成无数个小的三角形是微分，对小三角形的短边微分求和就是积分，就能计算出圆的周长

在二维几何平面上，对于以原点为圆心，如圆C半径为R，在笛卡尔坐标下，整圆角度2π（注意，π在这里是弧度，换算成角度就是180度）。

我们将整圆分成n份，每一份接近一个三角形，其顶角弧度为θ ，当n足够大时，或者说n趋近于无穷大时，θ足够小趋近于零，此时：

sin(θ/2)=θ （式1）

那么每个小三角形靠近圆弧的短边长度，记作da。

根据式1可得：

da=dRsin(θ/2)=dRθ

那么计算圆周长C的积分，即无数个短圆弧累加求和：

于是C=∫dθ =∫Rdθ；

其中θ∈{-π,π}

C=∫Rdθ=[π-(-π)]R=2πR

这就是我们熟悉的圆周长公式：C=2πR

2-圆的面积公式

先微分将圆分成无数个小三角形，然后积分将这些小三角形面积想加，就能得到圆的面积

还是和上面求周长一样的图形，圆C的内部圆盘为：

S = {(x, y) | x² + y² ≤ R² }

在平面极坐标下，圆盘S可以被分割为无数的 “小扇形 ”，每个小扇形的面积近似等以弧长 da= Rdθ为底，以半径R为高的三角形面积，则根据三角形公式：

ds =1/2Rda=1/2R*Rdθ

=(R²/2)dθ

这些ds全部加起来，就是对ds积分的过程，于是整圆面积S：

S=∫ds=∫(R²/2)dθ；

其中θ∈{-π,π}

S=∫(R²/2)*Rdθ

=[π-(-π)]R²/2= πR²

这个结果就是全部小扇形的面积之和，即整圆S的面积公式：

S = πR²

3-球的表面积公式

先微分，通过相似三角形求得QP长度；然后QP旋转一圈求出其表面积；对该表面积积分，就能得到球的表面积

O点为球体中心，过中心O的半径上点R做一直角三角形⊿QPR，同时半径交与⊿QPR交于点A，点A在x轴的垂足在点B。

由于⊿AOB和⊿QPR的三条边互相平行或垂直，根据相似三角形的原理我们可以得出结论，⊿AOB∽⊿QPR，即二者为相似三角形。

令直线QP=ds，当QP这个微元很小时，可以认为直线QP的长度等于点Q、P之间的圆弧长度，直线OA等于球的半径r。

根据上面相似三角形性质，可得：

AB/OA=PR/QP （式2）

令AB=y，PR=x,

又因OA=r，QP=ds，故式2可以写作：

yds=rdx (式3)

微元绕x轴旋转ds，扫出的形状可以认为是一个圆柱体，其侧面积为ds=2πyds

对该微元球积分，即无数个微元累加求和，同时根据式3，所以球体表面积的积分为：

S=∫2πyds=∫2πrdx；

其中x∈{-r,r}

于是可得：

S=2πr[r-(-r)]=4πr²

最终得到半径为R的圆球的表面积公式为：

S = 4πR²

4-球的体积公式

先微分，将球切成无数个片；再求出每一片的体积；最后将全部片体积相加，就是球的体积

已知球体半径R，将球就像切西瓜一样切成一片一片的薄片，设距离球心距离z处的取一个厚度为dz的圆盘，dz足够小时可将该圆盘认为是一个圆柱体，它的半径：

Rg=sqrt(R²-z²) (式4)

sqrt为平方根符号

根据圆盘（圆柱体）公式，其体积为：

dv=πRg²dz

代入式4：

dv=π(R²-z²)dz (式5)

累加式5，将无数个圆盘累加求和，就是计算积分，球的体积：

V=∫dv=∫π(R²-z²)dz；

其中z∈{-R,R}

于是：

V=πR²[R-(-R)]-π/3[R^3-(-R)^3]

=4/3πR^3

注：R^3表示R的3次方

最终我们得到半径为R的圆球体积公式为：

V=4/3πR^3

从以上四个实例中还可得出，圆的面积πR²的求导(类似于微分)结果就是其周长2πR；同样，对球的体积4/3πR^3的求导结果就是其表面积4πR²。

因此，微分在几何空间上的意义近似于降维，积分类似于升维：线连成面、面组合成三维即升维；反之就是降维。

不仅理工科必须要学习微积分，文科也要需要应用微积分，比如经济学和统计学

其实微积分在设计和工程中的实际运用，比上述实例要复杂的多，这些留给不同专业的技术人员去考虑，我们只要知道微积分的原理就足够了。微积分的在各专业领域应用非常广泛，它在天文学、力学、数学、物理学、化学、生物学、工程学、医学、以及社会科学等各个领域都发挥重要作用。

对于微积分我们可以打两个比方：微分就像是经过流水和风化侵蚀的作用，一块巨石可以变成无数极细小的沙粒；积分就是经过地质运动和造山运动，无数块巨石可以磊成一座珠峰。

加乌拉山口有世界上唯一可以观赏5座8000米级雪峰的观景平台，远处最高的就是珠峰

我们通过对微积分基础知识的简单了解，即使工作和生活不运用它，但是至少对个人的逻辑思维能力，也是一种提高。