已知x^2-y^2=87xy,求(x+y)/(x-y)的值

已知x^2-y^2=87xy,求(x+y)/(x-y)的值

主要内容：

介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法，计算代数式(x+y)/(x-y）在x^2-y^2=87xy条件下具体值的步骤。

思路一：正比例替换

设y=kx,代入已知条件得：

x^2-(kx)^2=87x*kx，

(1-k^2)x^2=87kx^2，

1-k^2=87k，则：

k^2+87k-1=0,由求根根式得：

k=(-87±√7573)/2;

代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=(2±√7573)/87。

思路二：二次方程求根公式法

x^2-y^2=87xy,

y^2+87xy-x^2=0,将方程看成y的二次方程，

由求根公式得：

y=(-87±√7573)x/2,代入代数式得：

代数式

=[x+(-87±√7573)x/2]/[x-(-87±√7573)x/2]

=(2-87±√7573)/(2+87∓√7573)

=(2±√7573)/87。

思路三：结论换元法

设(x+y)/(x-y)=k,则：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x^2-y^2=87xy,将y代入已知条件得：

x^2-(k-1)^2*x^2/(k+1)^2=87*x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)^2-(k-1)^2=87(k^2-1),

87k^2-4k-87=0,

k=(2±√7573)/87。

思路四：中值替换

设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,

(m+n)^2-(m-n)^2=87*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=87(m^2-n^2)

87m^2-4mn-87n^2=0,由二次方程求根公式得，

m=(2±√7573)n/87。

则代数式=2m/2n

=m/n=(2±√7573)/87。

思路五：三角换元法

设x=cost,y=sint,则：

(cost)^2-(sint)^2=87*costsint,

2cos2t=87sin2t，即tan2t=2/87,

由万能公式得：

tan2t=2tant/(1-tan^2t)=2/87,即：

(tant)^2+87tant-1=0,

tant=(87±√7573)/2。

代数式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(87±√7573)/2]/[1-(87±√7573)/2]

=(2+87±√7573)/(2-87∓√7573)

=(2±√7573)/87。