美的几何学：从简单元素开始

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

几何学的固有规则及其描述的形式一直激励着艺术创作，并为许多艺术作品的完美创作提供了准则。让我们思考一下绘画、建筑和雕塑中使用的一些几何图形的美感。自然形态几乎总是给建筑带来灵感，通过形状、功能、材料和技术之间的深入对话来获得美感。一切都趋向于实现一个共同的目标；由于这种知识的共通性，在不同的设计选择中，形状会随着所处的历史时期而有不同的发展。不同领域之间的对话是找到最佳选择的基础，以实现在建工程的各种美感。这项工作的目的是了解如何从一个简单的几何图形（如平面多边形）出发，通过合成过程和简单的变换，获得非常复杂的三维表面。这些表面通常被描述为具有非凡美感的结构，在许多自然生长形态的配置中、在一些以完美和未来主义形状为特征的令人赞叹的建筑结构中，以及最后在一些当代精致美感雕塑的描述中都可以辨认出来，在这些雕塑中，光线被添加到形状中，以标示其美感。

1 三角形

非常简单的几何图形也能创造出具有相当美学价值的作品，这种意识令人难以置信，同时也非常奇妙。这就是我们讲故事的目的。我们将始终从一个简单的图形——多边形——出发，展示如何通过几何变换获得更复杂的图形，并通过合成过程描述自然和人工生长之美：这些现象在艺术和建筑的表现形式中都是值得欣赏的。我们可以说，我们反复出现的主题如下：一开始总是一个多边形！

让我们从边数最少的多边形开始：三角形。

这种几何图形在我们的日常生活中随处可见；想想路标，三角形在这种情况下表示危险，必须注意。在这种情况下，我们不想讨论象征或宗教方面的问题，也不想讨论各种哲学和心理含义；我们将只讨论几何图形，它是属性和原理的来源，也是高度稳定构型的代表。在三维空间中，由三角形组成、面数最少的实体是四面体；通过这些形式构建的三维表面是四螺旋体，它是一种自支撑结构，理论上可以无限延伸。

二十世纪五十年代，美国二十世纪最伟大的文化倡导者之一巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller，1895-1983 年，洛杉矶）首次对四螺旋进行了研究。他是一位建筑师、工程师、哲学家和大自然学者，他的项目灵感都来自大自然，其主要目标是造福人类，改善人类的生存环境。让我们回到三角形，记住它虽然是最简单的形状，却有着非常重要的结构，在自然界中，三角形是最稳定的形状。还要记住，通过三角形，我们还可以在平面和空间上描述许多其他形状。柏拉图在《蒂迈欧篇》中以三角形为起点解释了自然元素，为上述观点提供了佐证： “......平直的表面是由三角形构成的。所有三角形都来自两个三角形，每个三角形都有一个直角和两个锐角。那么，在这些三角形的每一边中，有些三角形的直角部分相等，由相等的边分隔；而有些三角形的直角部分不相等，由不相等的边分隔"。

我们知道，任何三角形都可以从它的一条高分解成两个直角三角形，而这两个直角三角形又可以用同样的方法分解成其他三角形。

根据柏拉图的观点，这些形体自行组合，在空间中形成曲面，这些曲面随后被命名为柏拉图实体（图 1）。

图1： “De quinque corporibus regolaribus ”柏拉图实体复原图，皮埃尔路易吉·基安达（Pierluigi Ghianda），1994 年。吉安达家族档案

柏拉图将这些多面体与自然元素联系在一起：土、空气、水、火，此外，哲学家还通过这些实体描述了宇宙的结构。多面体在艺术作品中占据了压倒性的地位；除了达芬奇的著名柏拉图实体作品、雅各布·德·巴尔巴里的卢卡·帕乔利肖像之外，我们还可以考虑阿尔伯特-丢勒的Melancolie、萨尔瓦多-达利的作品以及阿尔贝托-贾科梅蒂的立方体。

三角形是各种艺术表现形式中最广泛的形式之一。

有一些作品，甚至是近期的作品，都是以三角形的构成和变换为结构的；一个值得记住的历史性例子是我们刚刚提到的学者巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller）的多面穹顶。富勒获得了美国的穹顶专利，尽管第一个大地穹顶是在第一次世界大战结束后由卡尔·蔡司光学工业公司的总工程师沃尔特·鲍尔斯费尔德设计的，并于1922 年建成，用于容纳一个天文馆。1967年，富勒在加拿大蒙特利尔世博会上展示了他的多面穹顶；这是一种坚固、轻便、易于组装和拆卸的结构（图 2）。

图2：蒙特利尔的生物圈(加拿大)，1967年

其构造原理是将正二十面体（有二十个三角形面的多面体，在柏拉图实体中为等边三角形）投影到球面上。多面体的每个面（即三角形）都被分割成更小的三角形面，例如分割成四个或九个面等，然后投影到球面上。面被分割的次数称为大地圆顶的“弧系数”或“频率”。蒙特利尔穹顶的频率为16！二十面体被分割成的所有三角形都接近球面。显然，频率越高，与球面的近似程度就越高。此外，三角形的内在刚度也保证了结构的超强稳定性。大地圆顶是上世纪中叶提出的最重要的建筑解决方案之一；它以最小的表面容纳最大的体积。

应该记得，1967 年，富勒为斯波莱托市建造了一个大地圆顶，他称之为 Spoletosfera（如图）（图 3）。

图3：意大利斯波莱托的大地圆顶，1967 年

受富勒建筑原则的启发，近代以来，许多建筑都应用了同样的原则，特别是在屋顶方面；其中两个例子是Fuksas在米兰博览会上设计的“帆船”和诺曼·福斯特在伦敦大英博物馆和图书馆设计的“大法院”（图 4）。

图4：马西米利亚诺·福克萨斯（Massimiliano Fuksas）在米兰博览会上的作品“航行”和诺曼-福斯特（Norman Foster）在伦敦大英博物馆和图书馆的作品“大宫廷”。L. Caruzzo 档案馆

2 一个特殊的多边形：黄金矩形

两个全等的直角三角形有一个公共斜边，可以在平面上描述一个矩形。我们将讨论黄金矩形。

高为底的黄金分割的矩形称为黄金矩形。或者，如果我们愿意，大底和小底之间的比值就是黄金数，它用希腊字母 ϕ 表示，其值约为 1.618......，具有无限而非周期性的数位。

黄金分割是黄金数的倒数（黄金数与黄金分割的比值等于 1）；其值约为0.618......但是，众所周知，黄金分割和黄金数都只能通过无理数以完美形式表示。

我们需要记住，我们也发现这个概念在欧几里得的《几何原本》(XI命题，第二册)中以如下形式描述:“根据极端和中间比例划分给定的直线末端”。

我们在第六册问题X命题XXX中也以另一种形式认识到:“……矩形面积等于建立在最大部分上的正方形的面积”。

黄金矩形之所以重要，是因为除其他无限元素外，它始终是描述美的元素。事实上，许多艺术家过去相信，现在仍然相信，在所有矩形中，最“赏心悦目”的是底和高都符合黄金比例的矩形。我们不再赘述黄金分割和斐波那契数字之间的已知联系。但是，在继续我们的故事之前，我们应该记住，许多艺术作品（建筑、绘画和雕塑）都是在尊重黄金分割法则的基础上创作出来的，这是真正的美的典范[3]。

在众多例子中，让我们考虑一下雅典帕台农神庙的研究、皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡对《鞭打基督》的研究，以及蒙特城堡的建筑研究等（图 5）。

图5：蒙特堡(安德里亚)的门户。

不要忘记，勒·柯布西耶本人（本名查尔斯·爱德华·让纳雷特·格里斯，1887-1965年）就是受黄金分割和斐波那契数字的启发，设计了他的Modulor，目的是提供“一系列和谐的尺寸，以满足人的维度，普遍适用于建筑和机械事物”。勒·柯布西耶在他的作品《Le Modulor》中写道“数学是人类为了解宇宙而想象的高超建筑。绝对与无限、可把握与不可捉摸在这里交汇。在它们面前耸立着高高的围墙，在围墙前，你可以毫无结果地走过又走过；有时会遇到一扇门；你打开它，进入它，你就来到了另一个地方，神灵所在的地方，伟大系统的钥匙所在的地方。这些门就是奇迹之门。穿过其中一扇门，工作的不再是人：而是同一个人在任何地方接触到的宇宙。在他面前，无限组合的巨大地毯被展开并照亮"。黄金矩形是可以迭代的，也就是说，你可以从第一个矩形开始，构建出无数个永远是黄金色的矩形。要迭代黄金矩形，只需将较小的边投影到较大的边上，从而将矩形分成两部分：一个正方形和一个矩形，而后者仍然是黄金矩形。通过多次重复构建，然后进行迭代，就可以得到“无限”的黄金矩形。(图6)

图6：黄金矩形的迭代

3从黄金螺旋到螺旋面

让我们参考一个黄金矩形和它的迭代当我们考虑正方形和新的黄金矩形分离和连接它们的点时，我们可以描述一条曲线，称为黄金螺线，它是一种特殊的对数螺线。这种螺旋是许多生物形态生长的基础，包括动物(例如鹦鹉螺)和植物(如向日葵)(图7) [2]。

图7：黄金矩形中的黄金螺旋

如果我们现在想象将螺旋绕轴旋转和平移，就会得到一个锥形螺旋体（这是 Turritella 和许多其他贝壳的形状）（图 8）[6]。

图8：锥形螺旋体是 Turritella 和许多其他贝壳的形状

螺旋形是建筑结构中最古老、最迷人的形式之一，尤其是在楼梯、塔楼以及用作装饰和点缀的扭曲柱子中。一些被称为“螺旋”楼梯的例子可见于巴塞罗那圣家堂的塔楼，以及罗马巴贝里尼宫内贝尔尼尼和博罗米尼的两座楼梯。在乌尔比诺，连接 Mercatale 广场和 Sanzio 剧院的螺旋楼梯；锡耶纳建筑师弗朗切斯科-迪乔治-马尔蒂尼的作品，以及最后在 Certosa di Padula（南澳大利亚）的螺旋楼梯，该楼梯采用自支撑白色大理石，可通往图书馆（图 9）。

图9：Certosa di Padula(SA)中的自立式白色大理石螺旋楼梯。l .库尔希奥档案

关于塔，伊拉克的萨马拉尖塔（公元 851 年）、哈里发穆塔瓦基尔大清真寺的螺旋尖塔马尔维亚（Malwiyya）等都是例子，经常被误认为是传说中的巴别塔。事实上，许多关于巴别塔的艺术表现形式都受到了这种形式的启发。我们要讨论的最后一个例子是弗朗切斯科-博罗米尼（Francesco Borromini）设计的罗马圣伊沃-阿拉-萨皮恩扎（Sant'Ivo alla Sapienza）教堂的灯笼。博罗米尼对自己的作品充满信心，他回答校长说，他无意逃避这一义务，而是想增加这一义务，只要按照他的要求完成委托工程，他的继承人也将承担这一义务。今天，我们仍然可以欣赏到辉煌的 Lanternino。

如今，塔楼的演变已经变成了螺旋形状的摩天大楼；扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）在米兰设计的斯托尔托（Storto）实际上就是一个螺旋体，但其他建筑，如多伦多的玛丽莲-梦露塔和阿布扎比的 DNA 塔也是螺旋体，后者的灵感来自 DNA 的螺旋形状（图 10）[1]。

图10：弗朗切斯科·博罗米尼(1599–1667)圣伊沃阿拉萨皮恩扎(Lanternino)——罗马。扎哈·哈迪德“Lo Storto”，米兰。玛丽莲·梦露大厦，密西沙加—多伦多—2012—MAD有限公司和Burka建筑师事务所。l .卡鲁佐档案馆

说到螺旋和螺旋线，最后我想回顾一下几年前发生的一件有趣的教学事件，当时蒙扎 Maxi-Experimental 艺术学院（即今天的 “南尼-瓦伦蒂尼 ”艺术高中）的班级和教师参与了这一事件。

在这一交流过程中，对形状进行了分析，通过将不同大小的四边形组合在一起（一个叠在另一个上面）来描述螺旋形，从而通过也是一个叠在另一个上面的假金字塔形树干来描述螺旋形。接下来是对不同类型外壳形状的描述，最后是在实验室中制作三维模型。这里有一些段落。这一次，我们从一个不规则的四边形开始，在小底边上绘制另一个以第一个四边形的小边为大边的四边形，重复操作几次，我们注意到结构有点弯曲(图11)。

图11：从四边形开始的螺旋表示法

通过同样的结构和其他四边形，我们注意到，图形趋向于卷入自身，假定了一个真正的对数螺旋过程，即使很明显，这个过程的离散性只允许用多边形来近似曲线。

我们可以在三维空间中重复刚才在平面图中看到的结构，这次从一个假金字塔主干开始，然后在小基座上添加另一个假金字塔主干，将其作为大基座（图 12）。

图12：通过组装金字塔的主干来表示外壳

通过不断重复这个过程，可以得到一个自我滚动的三维结构，在这个结构中可以认识到壳体形状的生成原理。

罗伯托·迪·马蒂诺（Roberto Di Martino）使用 Cabri II 软件在一个教育项目中完成了所有的构造，该项目显然比上述例子要广泛得多，可以在参考文献[5]第 5 点中的文章中阅读到。

最后，Cinzia Tresoldi根据描述在实验室制作了一些壳体的三维模型。

在照片中，我们提出了两个用金属和树脂玻璃板建造的外壳模型(图13)。

图13：在车间制作的外壳模型

总是从多边形出发，得出“美”。

在故事的最后，我们要介绍一种不同类型的艺术品：艺术家用任何多边形创作的奇妙雕塑。

保罗·马祖费里（Paolo Mazzuferi）是一位当代艺术家，他凭借精湛的几何知识开始创作；事实上，他从正多边形开始，通过几何变换，在正多边形的基础上建立螺旋体，螺旋体沿着整个雕塑展开，由于显而易见的原因，雕塑结束了，但它可以继续无限生成，同时仍然保持形状。

我们应该通过一些简单的段落来理解上述内容，例如，从一个简单的正方形是如何生成螺旋形的[4]。

如果我们将正方形纸片堆叠起来，就会得到一个平行六面体；然后，如果我们将纸片围绕中心轴旋转，作为直线段的侧边就会变成环绕形状的螺旋（图 14）。

图14：用方形薄片堆叠而成的平行六面体。平行六面体旋转后得到的螺旋体。

在平行六面体和这种新形式之间，存在着许多超乎想象的相似之处。两种形式的生成正方形保持等价和全等，但最重要的是，平行四边形的侧边可以描述为半径等于零的螺旋。因此，产生这两个实体的运动是平移和旋转，但如果在平行六面体中用半径为 r 的螺旋线代替侧边，我们将得到螺旋线本身不再具有包围性的形式。因此，产生这些实体的运动将是平移和摆动，其形式范围非常广泛，这也是由于它们可以扩展到所有棱柱形式；我们强调，平移和旋转平移是作为特例配置的。艺术家将垂直于棱柱轴线的部分定义为 “prisma elicoforo”（带来螺旋形的棱柱），这些部分被转化为四边形，失去了全等，但保持了等价性（图 15）。

图15：带螺旋边的棱镜

多边形再次发挥了核心作用，正如我们已经说过的那样，多边形保留了等价性。美国数学家爱德华-卡斯纳（Edward Kasner，马丁·加德纳的叔叔）在 20 世纪初首次研究了由这些操作产生的新多边形，并将其称为 “中点多边形”（“The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons”，《美国数学月刊》，1903 年 3 月）。

我们所描述的就是我们在以下照片中展示的雕塑背后的原理。在下面的例子中，所产生的雕塑具有越来越复杂的缠绕，其中一个雕塑的多边形产生形式非常明显。

作者以这些形式为基础，使其成为一种艺术语言的元素，抓住不断创新的几何程序所提供的机会，并将其转化为有关自然形式起源的叙述。尽管这些作品的结构异常复杂，但充斥在这些雕塑中的光线成为了观赏者的绝对主角，给人一种惊人的统一感和简洁感（图 16）。

图16：保罗·马祖费里的雕塑。T. Pelucchi 档案馆

参考文献

1. Alati M, Curcio L, Di Martino R, Gerosa L, Tresoldi C (2005) From natural forms to models. Nexus Netw J 7(1)

2. Cook TA (1979) The curves of life. Dover, New York

3. D’Arcy Wentworth Thompson (1992) Crescita e forma, Bollati Boringhieri

4. Gamwell L (2016) Mathematics and art. Princeton University Press, Princeton

5. Glaeser G, Polthier K (2009) Bilder Der Mathematik. Springer, Spektrum

6. Mazzuferi P (2012) Forme elicoidali, Centro Internazionale di studi Urbino e la prospettiva

7 Liliana Curcio, The Geometry of Beauty

青山不改，绿水长流，在下告退。

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