如何用Koopman分析解码非线性动力学 | 新课上线

模拟地球气候中二氧化碳运动的计算机模型图示

导语

非线性动力学是复杂系统研究中重要的理论基础和研究工具，它有助于理解系统的本质特性，通过构建和分析系统的粗粒化程度不同的数学模型来解决实际问题。尽管低维非线性系统的理论已经相当完备，但如何将其用到高维非线性体系中，获取系统的关键动力学信息是一个长期困扰研究者的挑战。

好的理论和工具会大大加快科研进展，Koopman算符有望成为分析和预测动态系统的标准理论。集智学园邀请北京邮电大学兰岳恒教授开设「Koopman分析在非线性动力学中的应用」系列课程，面向致力于学习和发展Koopman算符理论的社区朋友，在6节课程时间中，通过细致的讲解，深入的互动，形成苏格拉底式课堂氛围，共同进步。欢迎感兴趣的朋友加入课程！

引入

为了描述自然界中关于变化和累积的现象，牛顿和莱布尼茨发明了微分算子、积分算子这种精确的分析方法，成为现代科学的基础工具。随着科学的发展，我们关注的视角从线性问题转移到了非线性问题的研究，需要更多的工具方法来解决解决具有挑战性的非线性问题。

在气候与地球系统科学中，需要分析和预测气候系统中的周期性和混沌现象；

在生物系统中，需要在心脏动力学和神经信号中，捕捉非线性现象的动态规律；

在工程系统中，需要在机械振动、交通流等非线性现象中，进行动态建模与优化；

在经济与金融系统中，需要分析和预测经济周期、市场波动等复杂动态过程。

这些现象背后都指向了同一个核心挑战：如何在复杂性中寻找秩序，在非线性中发现规律？

其中Koopman算符是最重要的方法之一，该理论最初由著名的数学家Bernard Koopman在1931年提出，目前已经被发展成为一种新颖的用于研究非线性动力系统的有力理论，可以用无穷维线性算子表征非线性系统的演化。在刚提出时，由于当时研究问题和计算能力的限制，这个理论并未被大规模使用。随着数据的积累、计算机算力的提升，特别是最近十几年来，相关的研究如滚雪球般增长，在流体力学、电网运行、智能建筑、软机器人、神经科学、气候等多个领域得到广泛应用。

Koopman算符以其将非线性问题转化为线性问题的能力，为复杂系统提供了一种直观而强大的分析工具，不仅能够解释物理和工程现象，还为数据驱动的科学研究和机器学习提供了坚实的理论基础。

该领域的重要学者Igor Mezić在2013年的文章中，综述了Koopman模态在流体力学中的理论与应用，该理论统一了流体力学中许多不同的概念，并提供了严格的背景；北邮兰岳恒教授在2022年的文章中，结合Koopman分析，设计了神经网络提取最简模式来实现动力系统的重构和演化；清华田洋团队在2024年的文章中，提出了一种名为Koopman神经算子的模型，该模型实现了偏微分方程或真实动力系统长时间演化的能力。

关于Koopman算符，还有很多重要的研究成果和思想值得我们学习，同时也有很多问题值得我们去解决。为此，集智学园邀请了兰岳恒教授开设相关课程，从Koopman算符的定义出发，讲述其定义、基本性质和谱特征的数值计算方法，以及在几个典型非线性系统中的应用。邀请关注这一领域发展的同学加入，共同探讨。

1. Koopman, Bernard O. "Hamiltonian systems and transformation in Hilbert space." Proceedings of the National Academy of Sciences 17.5 (1931): 315-318.

2. Mezić, Igor. "Analysis of fluid flows via spectral properties of the Koopman operator." Annual review of fluid mechanics 45.1 (2013): 357-378.

3. Li, Chufan, and Yueheng Lan. "Koopman analysis of nonlinear systems with a neural network representation." Communications in Theoretical Physics 74.9 (2022): 095604.

4. C. Zhang, H. Li and Y. Lan. “Phase space partition with Koopman analysis”. Chaos 32 (2022): 063132.

5. S. Wang and Y. Lan. “Probing the phase space of coupled oscillators with Koopman analysis”. Phys. Rev. E 104 (2021): 034211.

6. J. Hu and Y. Lan. “Koopman analysis in oscillator synchronization”. Phys. Rev. E 102 (2020): 062216.

7. Xiong, Wei, et al. "Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations." Journal of Computational Physics (2024): 113194.

课程主题：

Koopman分析在非线性动力学中的应用

课程简介

• 怎样从时序数据获取非线性系统的动力学特征？

• 怎样确定系统的重要结构和运动模式？

• 怎样确定系统特征的定性变化？

• 怎样建立表达系统特征的简化模型？

这些都是复杂系统研究的基本问题，需要有一套系统的分析方法。

Koopman算符理论直接从可观测量出发，考察定义在状态空间中相关函数的演化，从而将一个非线性问题转化为无穷维函数空间中的线性问题。所以，我们只需要选择合适的函数空间，就可以用一个高维的线性问题来近似原有的非线性问题，并保持相关的低频时空特征不变。目前这一理论被用于各种模型和数据的分析，产生了一批有重要意义的结果，潜在应用包括复杂系统时间序列分析、重要动力学模式的提取、动力学模型的重构、以及机器学习的时空数据预处理等。

其中还存在很多值得研究的问题，包括如何选择合适基函数进行最有效分析？如何从Koopman谱分解中确定重要的本征值和本征向量？对于有限时间长度和有限空间范围的数据，提取的特征可以反映系统的什么性质？

在本系列课程中将从Koopman算符的定义出发，讲述其定义、基本性质和谱特征的数值计算方法，以及在几个典型非线性系统中的应用。

课程大纲

节序

课程大纲

简介

1

复杂系统和非线性动力学

1. 复杂系统及其特征

2. 动力学系统与相空间

3. 非线性动力学研究的机会与挑战

4. 各类分岔现象及其描述

复杂系统都是高维非线性体系，具有层级结构和涌现动力学，能够学习和适应环境变化。研究复杂系统，首先要熟悉非线性动力学的理论及其研究的常见工具。这里介绍非线性动力学的几何描述方法和参数变化下各类动力学的产生-分岔现象。后面可以看到，在Koopman算符的帮助下，这些工具可以应用到高维体系的分析中。

2

局部和全局线性化

1. 非线性系统的线性化

2. 关于线性化的问题与思考

3. 两个案例

线性方程由于其解具有可叠加性，可以通过求解本征问题获得完美解决，所以，非线性问题如果能够转化为线性问题，即能够进行线性化，问题就大大简化了。可惜的是，大多数非线性动力学问题仅仅能够进行局部线性化，全局的线性化非常困难或者不可能。但某些时候我们可以在较大范围内或者在特定涵义下（Koopman分析）进行线性化，从而窥得解空间之结构。

3

动力学与统计

1. 统计物理原理

2. 最大熵原理和能量景观

关于高自由度非线性体系的分析，物理学家早就努力进行了，也发展出一些有力工具，这就是统计物理，包括平衡和非平衡统计，着眼点从单个的状态走向状态集合。这里我们强调统计物理和动力学的联系，看看从动力学到经典统计物理需要的简化假设，介绍一下动力学的测度理论思想。讨论统计物理框架是否能够涵盖非哈密顿体系，关注最大熵原理和能量景观。

4

Koopman算符和动力学模式

1. Koopman算符

   1. 噪声和SRB测度

   2. 特征值与特征模式

   3. 重要的案例

2. 动力学模式分解

Koopman算符用另一种方式将统计物理和动力学思想结合，将我们的注意力从单条轨道转换到状态空间的函数变化，这样非线性问题变成了函数空间中的线性问题。我们可以借助本征值和本征函数来研究体系的性质，定义动力学模式，实现复杂问题的分解，在某种意义上实现了系统的线性化。Koopman算符实际上包含了体系的所有动力学信息，但可以用不同的观测量实现粗粒化，十分契合复杂体系的层次化特征。

5

Koopman算符在符号动力学的应用

1. Logistic图的符号划分

2. Hénon 图中的分区

一个重要的应用就是在符号动力学中的应用。符号动力学是非线性轨道的一种严格拓扑描述，用不同符号描述动力学的不同部分，轨道可以用符号序列来表示，因而也是联系信息理论的重要工具，在智能时代具有特殊的意义。其中最大的困难是动力学不同部分怎样划分，Koopman算符方法提供了一个全新的做法。

6

Koopman算符的更多应用

1. 网络上的Kuramoto模型

2. 哈密顿动力学中的应用

3. 气候问题研究

4. 系列课程总结

Koopman算符有很多的其它应用，特别是在分析复杂系统动力学方面。这里我们还会列举几个：1. 网络上Kuramoto振子模型同步相变点的确定（复杂系统中相变的识别）；2. 高维相空间中定性性质不同轨道的搜寻（非线性运动模式的确认）；3. 气候学的研究等等。

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

课程信息

课程适用对象

1. 理工科研究生或高年级本科生：

   1. 对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

   2. 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

2. 对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

   1. 希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

   2. 从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

3. 具有探究精神的学生：

   1. 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

要想解开非线性动力学的奥秘并不简单，但前进的每一步，都值得我们欣喜。本系列课程，我们会进行严格的课堂管理，鼓励各位同学积极思考、讨论，希望能够通过本课程让同学们能对Koopman算符理论有深入的研究，并能进行相应的理论研究和应用实践。对于满足以下条件的同学，会发放实体证书，将选出3名优秀的同学每人赠送1件集智定制T恤。让我们共同开启一次苏格拉底式的课程吧。

课程证书发放标准：

1. 报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

2. 参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

3. 加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

4. 加分项：完成课程设置的任务；

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

2. 课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

3. 课程定价：原价599，早鸟价449，早鸟优惠截止到2024年12月21日中午12点。

扫码付费报名课程

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5419?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

1. 途径一：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。

可参考：

1. 途径二：招募课程助理1名

付费报名课程后，联系助教微信申请课程助理。经沟通，成为正式课程助理，完成课程助理任务，在课程结束后退全额学费。