从新定义看学生运算模型的建构

从新定义看学生运算模型的建构

站在小初高一体化贯通培养的高度看整个12年的教育经历，中考和高考是两个重要节点，尤其是后者，俗语说高考是整个基础教育的风向标，一点都没错，我们不妨先看一下几份2024年高考数学试卷的压轴题，如下图：

2024年全国新课标I卷第19题

2024年全国新课标II卷第19题

2024年北京高考数学第21题

关键词：数列、新定义、集合、函数、圆锥曲线、概率；

明确了方向，再来看中考，2024年全国各地中考题里，也有不少压轴题以新定义形式呈现；所谓新定义，考察学生理解概念并运用概念的能力，这在数学学习中非常重要，毕竟数学就是玩概念，如何把概念教学做好，也是初中数学教师应该正视的问题，从七年级开始，渗透新定义的理念，在这个阶段，学生会重新从基本运算开始，数域扩充后的运算与小学区别很大，许多在小学行之有效的学习方法例如刷题、强记等，在初中行不通，整个初中阶段，在运算上花费最多时间的，也正是在七年级有理数运算章节中，我们通过这一章的学习，究竟要学到什么？仅仅是会计算就行了吗？

个人认为，这个章节结束之后，学生应该建立自已的运算模型，不仅能够完成数字与数字之间的运算，也能够在看到式与式之间的运算后不感到惊诧莫名、手足无措，等进一步学习了代数式和整式的加减，这个运算模型就成型了，并借助这个模型，在进一步扩充至实数范围后，无疑衔接，而在高中阶段再一次扩充数域，这个经验能够用得上。

下面以海淀区七年级期中试题第26题为例：

题目

解析：

01

(1)读懂新定义是关键，对于这两个新运算，简称圈加和圈乘，圈加的意思是给两个整式分别乘以相应的系数a、b，再相加，熟悉高中数学内容的会立刻想起矩阵乘法，如下图：

在跟学生解读时，可以借助这个符号，但不必提矩阵概念；

这一小题本质上是模仿，我们多数所谓新运算题都是这个套路，给列式套上了个新定义的壳儿；

02

(2)本小题需要对新运算有着更深入的理解：

每次运算都是对前面的结果的迭代，观察前面三次运算后A的系数，由a+b变成a(a+b)+b=a²+ab+b，再变成a(a²+ab+b)+b=a³+a²b+ab+b，特点是有几个A参与运算，结果就有几项，再合并同类项，最高次项只有单独字母a，次数比项数少1，最低次项是单独字母b，并且除第一项外，各项均有因数b；

这里的难点是数运算中A的个数，n个A圈加，先拿前两个进行一次运算，还剩下n-2个A，再从剩下的拿出一个继续和前面的结果进行一次运算，还剩下n-3个A，依次类推，到最后一次运算，应该剩下0个A，对照前面a的次数即可得到结论；

然后是对最后得到的式子进行数学解读，等式右边是固定数字1，而由于n是任意正整数，因此需要让其底数为0或1才能保证结果唯一，显然a=0更符合，在得到a的值之后，b的值也随之确定，因此a=0，b=1；

03

(3)增加了A和B这两个代数式的复杂度，运算模型不变，因此继续利用前面的经验推导：

此时需要理解“不含xy项”的意义，即将上式利用分配律去年括号之后，含xy项的系数合并为零，所以我们没有必要把全部整式乘法展开，只需要盯住7xy和前面系数相乘，以及-30xy与前面系数相乘的结果；

p和q是正整数，我们可以开始尝试了，先观察右边有因数30，因此左边的运算结果中，个位数为0，则要求7乘某个数后，个位数为4，根据乘法口诀，7×2=14，即2的p+1次幂，个位数为2，而在2的乘方运算中，1次和5次幂结果个位数为2，所以p+1首先要从1和5开始试，显然p+1=1时，p=0，不符合；因此p+1=5时，p=4，左边=240，右边可求出q=3；

于是p=4，q=3.

解到此处应该算完结，但始终会存在一个疑问，p和q再取更大一点的正整数，会不会仍然成立呢？

自已试了一下，p+1=9时，左边=3600，也确实没找到相应的正整数q使等式成立，没继续寻找下去，但心里又没底，所以建议这道题最后一问改为找出最小的正整数p和q的值或找到一组存在的p和q的值.

解题思考

新定义题型对学生的数学阅读能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力都有相对较高的要求，它让学生经历了一次完整的“用数学”过程，这对于未来学习新的数学内容，就是可供借鉴的宝贵经验，我们通常所说的授人以渔，这个“渔”的含义就是数学经验；

学生在七年级阶段经历的就是一种运算模型的建构，我们在学习有理数运算法则时，学习的是如何将那些用运算符号连接的数字求出结果，而在学习整式的加减时，只当过将数字换成了整式，法则仍然不变，所以对于法则的理解，从有理数到整式，是更深了一层，其实学生在学习过程中，也很自然地发现，合并同类项本质上就是进行加法，而且属于代数和，去括号本质上就是乘法分配律，这些都在运算法则框架下，包括本题中的圈加和圈乘，依然适用于七年级学习的这些法则。

由常识可知经验的积累是一个长期过程，因此数学学习也一定是个慢过程，无论是作为老师或家长，心里需要存在一种期待。虽然我们在现实中，讲的最多的就是高效、快捷等一系列与“慢”字相反意义的词句，但这些并不矛盾，所谓的慢，是指建立模型的过程，一旦建立成功，那自然就快了，该慢则慢，该快则快，是要分场景的，不要一概而论。

所以对于我们的课堂，请尽可能“慢”下来，让数学有更多时间渗透到每个孩子的脑子里，对于每位家长，也请把心也“慢”下来，花开需要时间。