基础数学讲义：开启数学思维之旅

【遇见数学】为大家整理了《基础数学讲义》第一章的精华要点，感兴趣的朋友可以一览概况。书籍作者是英国著名的数学家与科普作家伊恩·斯图尔特，其实他的每一部著作都深入浅出、引人入胜。

第一章 数学思维

1. 数学是人类活动，基于人脑经验，有优势也有不足。
2. 人类可进行逻辑思考，包括理解形式数学证明每一步背后逻辑以及从全局角度理解整个论证过程。
3. 全局理解需将想法融入数学整体规律并与其他领域类似想法联系，为未来学习打基础，且能在发现错误方面发挥重要作用。例如，分步证明中可能难以察觉的错误，从全局看若得出与大方向相悖结论，则能提醒错误存在。
4. 学生需掌握分步理解和全局理解两种思维方式，才能完全理解学科并有效运用知识。
5. 全局理解难度较大，需从大量独立信息中找逻辑规律，且新信息可能与既有规律相悖，导致需要更新旧的理解。
6. 结合全局与分步理解有助于发现错误。
7. 例如在计算中，可能出现错误结果或错抄结果，第一个错误可能需重新计算发现，而第二个错误可通过算术规律轻松找到。说明全局理解和分步理解结合能更好地发现错误。
8. 学生应掌握这两种思维方式，分步理解可通过单独拿出每一步多练习实现，全局理解则需从大量信息中找逻辑规律。

1.1 概念的形成

1. 理解人类学习新思想的过程对思考数学很重要。
2. 当面对基础性问题时，我们会重新思考自认为了解的思想，这过程中可能会感到不安，但大部分人都有类似经历。
3. 即便是老练的数学家也曾一步步学习数学概念，遇到问题或新概念时，需在脑海中思考回忆类似情况，直到找到条理，形成定义和证明。
4. 以“颜色”概念形成类比数学概念形成。
5. “颜色”的科学定义难以直接教给孩子，需通过展示具体物体并告知颜色名称来让孩子逐步理解颜色意义。
6. 先教具体颜色，孩子通过观察不同物体建立对颜色的认知，之后可引入“深蓝”“浅蓝”等概念。重复过程可建立不同颜色概念，当孩子能回答新物品颜色时，说明其脑海中已形成“颜色”概念。
7. 数学概念形成类似，以读者已有的数学理解为基础，用生活例子引入新概念，不断完善和扩展，逐步建立更复杂的数学概念。
8. 公理化构建数学体系对初学者较难。
9. 虽然可以用公理化方法从空集构建数学体系，但对不了解该体系的人来说难以理解，如同无字天书。
10. 专业人士可能能从逻辑构造中猜出概念，但外行难以理解。定义新概念需用足够例子解释其含义和用途。

1.2 基模

1. 数学概念是系统认知即“基模”。
2. 心理学家将数学概念这种系统认知称作“基模”。例如，孩子通过学习数数，从“一二三四五，上山打老虎”过渡到理解“两块糖”“三条狗”，最后意识到不同事物中的共通点，建立数字的基模。
3. 基模的建立与发展过程。
4. 孩子通过自身经验，如两只手、两只脚、看到的动物以及学过的顺口溜等，将许多信息归并到一起形成概念或基模。
5. 接着学习简单算术，发现其精确性质，如“3 加 2 等于 5，那么 5 减 2 等于 3”，逐渐建立整数算术基模，可回答“5 减 2 是多少”等问题。
6. 基模随新概念变化及学习中的困惑。
7. 当遇到新问题，如“5 减 6”，孩子最初觉得无法计算，学习负数后则能回答“-1”，这是因为“减法”基模为适应新概念发生了变化。
8. 在看到温度计刻度或了解银行业务后，对“减法”概念的理解需改变，过程中可能会有困惑，但最终能得到满意解释。
9. 学习过程就是让现有的基模变得更复杂以应对新概念，这个过程会伴随疑惑，了解困惑成因很重要。困惑可能源于作者疏忽或读者需修正认知，这是一种建设性的困惑，标志着进步。解决困惑后会有成就感，数学挑战也能满足审美需求。

1.3 一个例子

1. 数学概念发展史说明新观念产生过程。
2. 负数的引入曾遭反对，认为“不可能比一无所有更穷”，但如今在金融领域，借记和信贷概念使负数融入日常生活。
3. 复数的发展也充满争议，数学家都知道正数和负数平方都是正数，所以当 -1 的平方根 i 出现时，引发困惑和不信任。莱布尼茨认为 i 具有神秘性质，既不是正数也不是负数。
4. 复数的接纳与推广性质的变化。
5. 复数无法轻易融入大多数人关于“数”的基模，学生初次接触也常感抗拒。现代数学家通过用平面表示复数，扩展了基模，使复数得以被接纳。
6. 特殊情形推广为一般情形后，部分性质保留，如复数加法和乘法的交换律；部分性质改变，如实数顺序的性质在复数基模中不存在。
7. 数学系统变化带来的困惑与不同反应。
8. 这种现象普遍存在，当数学系统发生根本性变化时，如引入负数或复数，会让人感到困惑。有人能接纳新知识，有人则抗拒，19 世纪末期的一个著名例子改变了 20 世纪和 21 世纪的数学。

1.4 自然数学与形式数学

1. 数学起源与发展历程。
2. 数学起源于计数和测量等现实活动，古希腊人建立的欧氏几何和质数理论与现实相关。
3. 牛顿的微积分基于古希腊几何和代数，是现实中算术运算的推广。
4. 从自然数学到形式数学的转变。
5. 19 世纪末，数学研究焦点从对象和运算性质变为基于集合论和逻辑证明的形式数学。
6. 这一转变带来视角的彻底改变和对数学思维的深刻洞见，对中小学到高等教育阶段的数学学习转变至关重要。

1.5 基于人类经验建立形式化概念

1. 中学到形式数学的教学方法反思。
2. 从中学数学过渡到形式数学，从零开始学习形式化定义和推导并不明智。
3. 20 世纪 60 年代的“新式数学”基于集合论和抽象定义教学，以失败告终，因为学生需要连贯的知识基模理解定义和证明。
4. 正确的学习方法与建议。
5. 如今我们应从实际研究中吸取教训，鼓励读者仔细思考文字含义，建立紧密数学关联，养成自我解释习惯。
6. 学习数学基础要逐步学习新概念，而非一开始就消化严密定义。在学习过程中，对概念的理解将愈发复杂，有时会用严谨语言重新阐述之前不明确的定义。
7. 本书将从中小学知识开始，逐步构建数轴、介绍集合论和逻辑、探讨数系公理化结构，最终得到实数系统的公理，证明实数可以用数轴上的点表示。

1.6 形式化系统和结构定理

1. 形式化系统的优势。
2. 从公理构建形式化系统有巨大优势。形式化定理在任何满足公理的系统中都成立，不会过时，也适用于新系统，无需重新验证观念。
3. 结构定理的作用。
4. 形式化系统推导出的某些定理可证明系统性质能以特定方法图形化和符号化，如完备有序域有唯一结构可用数轴上的点或小数表示。
5. 这为形式化证明带来新功能，融合了形式化、图形化和符号化运算，结合了人类创造力和形式化方法的精确性。

1.7 更灵活地使用形式数学

1. 数学第四章会介绍群论和从有限到无限的两种扩张。
2. 讨论群论以及从有限到无限的两种扩张方式。一种是将元素个数概念从有限集推广到无限集，若两个集合元素一一对应则具有相同基数，但无限基数的减法和除法无法唯一定义，一个无限基数的倒数不是基数。
3. 另一种是将实数扩张到更大但不完备的有序域，存在大于所有实数的元素 k，它与无限基数有很大区别，如存在倒数。
4. 数学发展的特点与启示。
5. 表明一个无穷的数在不同系统内性质不同，数学不断发展，新的概念可能在合适公理下成立。
6. 菲利克斯·克莱因指出数学发展如树，从对应人类正常思维水平的点开始，根据科学和兴趣要求，向不同方向进展。
7. 本书将从学生已知知识开始，逐步深入挖掘基本思想，构建形式结构并应用到更多结构上，最后讨论基本逻辑原理发展，支撑读者未来数学成长。

新书上市

《基础数学讲义：走向真正的数学》

作者：(英) 伊恩·斯图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔

译者：姜喆

数学畅销书作家伊恩•斯图尔特 X 数学思维发展和教育家戴维·托尔合力打造高等数学入门经典巨作。

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