数学悖论系列之七（克莱姆悖论)

数学悖论系列之七（克莱姆悖论)

在进入正文之前，先讲一个小插曲，本人2023年4月14号所的《数学竞赛与数学家的成长「前言（上）――现代数学简述」》一文中提到的“美国华盛顿大学David Baker教授”因在数学生物学领域做出了开创性的工作而被授予2024年度诺贝尔化学奖。

我在该文中“（七）应用数学研究前沿”部分的第3小节“计算与数学生物学”段落中写道：

“20世纪见证了数学应用于生物系统的革命。生态学、流行病学、遗传学和生理学等领域使用微分方程组、非线性动力系统和类似的数学结构以全新的方式量化，然后对这些系统进行数学分析，提供新的生物学见解。从对复杂群体动力学的新解释，到控制疾病爆发的方法，到许多现代定量遗传学的公式，再到对神经元等复杂生理结构的详细理解――这些见解都意义深远，其影响也是深远的：Hodgkin、Huxley和Ross等数学生物学家因其科学成就而获得诺贝尔奖。”

同在该小节还提到“美国华盛顿大学(UW, Seattle)蛋白质设计研究所所长David Baker教授所领导的团队成功开发出一套蛋白质设计软件，可使用它来创建能解决医学、技术和可持续性方面的难题又极具现代挑战性的蛋白分子”，以及David Baker教授“研究集中于蛋白质结构、蛋白质折叠机制、蛋白质-蛋白质间相互作用、蛋白质-核苷酸间相互作用和蛋白质-配体间相互作用的预测和设计。他们的方法是利用实验来理解这些问题背后的基本原理，并根据这些见解开发出计算模型，又通过结构预测和设计来测试这些模型，并努力通过在计算和实验研究之间迭代来不断改进其方法”。

七、克莱姆悖论（Cramer's paradox)

要深刻理解克莱姆悖论，需要具备代数几何、数论、解析几何、组合数学以及微分几何、矩阵分析等数学背景知识。要搞懂贝祖特曲线交点计数，还需要理解曲线的相切、尖点以及拐点这些概念，而这些又涉函数的极限导数：曲线相切——交点处的切线斜率（一阶导数）相同，切点处y值相等，且两曲线在该点附近不重合；尖点——曲线中的一种奇点，曲线在尖点时，没有自相交的情形(对于由可微分参数方程定义的平面曲线尖点是f和g的两个导数都为零的点，并且其中至少有一个改变符号)；拐点——使切线穿越曲线的点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点。

函数导数中还有一个基本工具对于计算曲线交点重数十分重要，即曲线在交点处的导数在下列情形不存在：函数不连续——导数不存在的一种情况是函数在某点不连续(交点没有切线)；函数在某点导数存在，但左右导数值不相等；尖点附近导数不存在(函数的局部变化率不明确，无法确定使用哪个切线斜率作为导数值)。

总的来说，导数不存在意味着函数在某一点没有切线，可能是由于函数不连续、导数左右导数值不相等，或者尖点附近导数不明确。

克莱姆悖论所提到的“平面曲线交点”命题(定理)中的“平面”是指复射影平面，多项式曲线既可是实函数曲线，也可是复函数曲线。同理，与克莱姆悖论密切相关的贝祖特定理不仅适用于实数域，也适用于复数域，包括含复数的多项式曲线交点。复函数中，尖点、拐点、相切点的判定方法与实函数类似，但需要考虑复数的特性。

（一）复数域相关知识

1.复数基础知识

（1）基本知识

复数z=a+bi(a,b∈R)，则复数z的模|z|=|a+bi|=√(a²+b²)，它表示复平面上一点(a,b)到原点的距离。如果z=a+bi中，当b=0，则复数z变为实数a，而复数的模也为a，与实数的大小的定义一致。而当a=0时，复数z为纯虚数bi，此时复数的模为|b|，通过|b|来比大小。如果认为复数除了大小，还有方向，即视复数为矢量，此时比较复数大小，也就是比较矢量大小。一般认为，只有相同方向的矢量能比较大小，不同方向的矢量无法比较大小。或者干脆只比矢量的数值大小，不考虑方向，即把矢量当标量看。

另外，关于无穷远点，复数的实部、虚部以及辐角毫无意义，∞=|∞|=∞。∞和有限复数z的运算关系：z±∞=∞±z=∞；z×∞=∞×z=∞(z≠0)；z÷0=∞(z≠0)；z÷∞=0(z≠∞)。

像∞±∞、0×∞、∞÷∞、0÷0这些运算毫无意义。

复变函数的复变量包括模值和辐角。在复平面上，一个复数z=x+yi的模值∣z∣表示该复数到原点的距离，而辐角θ表示从正实轴到该复数的角度。这两个变量共同描述了复数在复平面上的位置。在复函数中，当复变量变化时，变化的是复数的模和幅角。

三维复函数曲线通常是非平面状的。为了理解这一点，可以从以下几个方面进行探讨：.复数的表示——在复平面上表示，其中实部作为x轴，虚部作为y轴，当复函数的值随另一个复变量变化时，自然会形成一个三维结构；三维空间中的曲线——由一个参数方程给出，例如r⃗(t)=(x(t),y(t),z(t))，而对于复函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，其实部u和虚部v可以分别视为三维空间中的两个坐标分量；非平面性——即使复函数的实部和虚部都是简单的二次函数（如抛物线），其在三维空间中的图像也通常不是平面的。

考虑简单的复函数如f(z)=z^2。在三维空间中，其实部u(x,y)=x^2−y^2和虚部v(x,y)=2xy共同构成了一个双曲抛物面（也称为马鞍面），这显然不是一个平面图形。更复杂的复函数可能会产生更加扭曲和多变的曲面形状。由于复函数同时涉及实部和虚部的变化，这两者在三维空间中的联合效应通常会导致形成非平面的曲线或曲面。因此，我们可以确信地说，三维复函数曲线一般是非平面状的。

要更好理解复函数曲线形态，就要懂得运用复函数极限及导数这两个最基本工具（见图67）。

图 67

（2）与贝祖特曲线相关的复函数分支知识

要搞懂贝祖特曲线交点计数，需要具备以下复函数分支知识：

复数与复平面：理解复数的定义、复平面上的点表示、复数的模与辐角等基本概念。

复变函数：掌握复变函数的定义、全纯函数与共轭全纯函数的概念。

复变函数的积分：了解复变函数的路径积分、柯西积分定理与柯西积分公式。

级数展开：熟悉复变函数的泰勒级数与洛朗级数。

留数与留数定理：理解留数的定义、留数定理及其应用。

解析延拓与多值函数：了解解析延拓的概念、多值函数的处理方式。

在复函数中，尖点、拐点、相切点的判定方法与实函数类似，但需要考虑复数的特性。以下是对这三种特殊点的判定方法：

拐点定义：拐点是曲线凹凸性改变的点，即二阶导数符号改变的点。判定方法是通过求出函数的二阶导数，找出二阶导数等于零的点，再检查这些点两侧的二阶导数符号是否相反。

尖点定义：尖点是函数不可导的点，通常是由于函数在某点处的导数不存在。判定方法是通过计算函数的一阶导数，找出导数不存在的点——这些点可能是尖点。

相切点定义：相切点是两条曲线在某一点处有相同的切线。判定方法是通过求出两条曲线在可能切点处的一阶导数（即切线斜率），确保两条曲线在这一点处的切线斜率相等，同时验证这两条曲线在切点处的函数值是否也相等。

通过上述方法，可以有效地判定复函数曲线的尖点、拐点、相切点。在实际应用中，可能需要结合函数的具体形式和性质来进行分析。

2.复射影平面和齐次坐标

（1）复射影平面

①基础概念

要理解复射影平面相关概念，要对复射影空间有最基本的了解：复射影空间定义（见图68）

图 68

数学中，复射影平面，通常记作CP^2 ，是二维复射影空间。 它是一个复流形，由三个复坐标描述，但这里差一个整体缩放的三元组是等同的：这就是说，它们是射影几何的传统意义下的齐次坐标。复射影平面是一个二维复流形，作为一个四维实流形，它的上同调群是中间第二维的生成元由位于此平面中的复射影直线或称黎曼球面的上同调类给出。

数学上，黎曼球面是一种将复平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义

1÷∞

它由19世纪数学家黎曼提出而得名。也称为复射影直线，记为CP^1和扩充复平面，即记为

C∪{∞}或者CP^2

从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。

确实，三维以上的复变量函数无法直接在二维的复平面上完整展示，因为复平面仅能表示两个维度的信息（实部和虚部）。然而，我们可以通过一些方法来间接地理解和可视化这些高维复函数的性质。以下是常用的一些方法：

切片法——选择一个或多个特定的复平面（例如，固定实部或虚部的值），在这些平面上绘制函数的图像；

降维技术——使用主成分分析（PCA）或其他降维算法将高维数据映射到低维空间，但这种方法可能会丢失一些信息；

等值面和等值线——对于某些具有特定对称性的函数，可以构造等值面或等值线图，这些图形在三维空间中表示函数值相等的点集；

颜色编码——使用颜色的深浅或色调来表示不同的函数值，这样可以在二维平面上通过颜色的变化来传达额外的维度信息；

动画——制作一系列的二维图像，每个图像代表在不同参数下的函数形态，然后通过播放这些图像序列形成动画，从而展示函数的整体行为；

交互式可视化工具——利用现代计算机图形技术和数学软件，可以创建交互式的界面，允许用户动态地探索不同参数下的函数表现；

散点图和向量场——对于复函数的实部和虚部，可以使用散点图来显示点的分布情况，若涉及导数或梯度，则可以用向量场来描绘方向和强度。

②复射影平面的构造

复射影平面：这是一个几何对象，可以看作是复平面加上一个无穷远点。在这个平面上，每一对不同的复数（除了零和无穷远点）都对应一个唯一的点。

下面用通俗语言来简单介绍一下，如何构造一个复射影平面(图69)。

图 69

将复平面嵌入到黎曼球面的赤道面上，从而构成复射影平面。以下是对这一过程的详细解释。

复平面：复数z=x+iy可以在二维平面上表示，其中x是实部，y是虚部。这个平面通常被称为复平面或Gauss平面。

黎曼球面：黎曼球面是一个扩展复平面的概念，用于包括无穷远点。可以想象它为一个三维球体，其中北极点被用来代表复射影平面上的无穷远点。

嵌入过程：映射到单位球面——将复平面上的每个点z映射到一个单位球面上。这个映射可以通过公式 “Z →(2z/(1+∣z∣^2)，(1−∣z∣^2)/(1+∣z∣^2))”来实现，其中，(x,y)是复平面上的坐标，而映射后的坐标是球面上的三维坐标。

赤道面的选择：黎曼球面的赤道面是与球心距离等于半径的平面切割球面所得到的圆。在这个情境下，选择赤道面意味着我们关注那些在球面上恰好位于“水平”位置的点。模小于1的复数位于普通的复平面（即黎曼赤道面）的单位圆内。这个单位圆可以看作是黎曼球（或扩展复平面）上的一个大圆，它将球分为南半球和北半球。

构成复射影平面：当我们将复平面通过上述映射嵌入到黎曼球面时，原本复平面上的所有点（包括无穷远点）都会出现在球面上。每一条直线（包括无穷远直线）都对应于球面上的一条球大圆，而赤道面恰好是这些球大圆中的特定一个切割而形成的。

通过这种嵌入方式，复平面不仅扩展到了包括无穷远点的黎曼球面，而且其赤道面为我们提供了一个直观的几何表示，即复射影平面。在这个平面上，几何性质和代数结构得到了紧密的联系，这在复分析、代数几何以及物理学中的许多领域都是非常有用的。

在复球面上，可以更容易地探讨和分析曲线的全局性质，如对称性、周期性等。这有助于理解贝祖特曲线在不同尺度或方向上的行为。但相比复平面，复球面上的计算可能更为复杂，涉及更多的数学工具和技术，需要对球面几何和相关的数学概念更有深入的理解。

复平面与复球面的对应关系称为测地投影。从复平面的原点指向复平面上的点的方向与复平面的x轴有一个夹角，这个夹角可以用来表示复数。复数在复球面上的位置由其模和辐角共同决定。模为有限的复数对应复平面上的有限远点，模为无限的复数（无穷远点）对应复球面上的北极点。无穷远点的辐角是不确定的。y=±ix：当x→∞时，表示两条曲线在复射影平面上相交于二个无穷远的虚点。这个点是所有趋向于无穷的、斜率为±i的直线的公共极限点。

（2）齐次坐标

齐次坐标是一种用于数学和计算机图形学中的特殊坐标系统，主要用于处理几何问题，尤其是在透视空间中。齐次坐标是通过在笛卡尔坐标（x, y）的基础上增加一个变量 z，形成新的坐标系统（x, y, z）。对于任意非零实数 z，齐次坐标可以表示为（x/z, y/z, z）（图70）。

图 70

齐次坐标允许在透视空间中表示无穷远点。例如，齐次坐标中的点 (1, 2, 1) 在笛卡尔坐标中可以表示为 (1, 2)；齐次坐标中的点 (1, 2, 0)表示复射影平面上无穷远的点。齐次坐标的变换具有对称性，即如果两个齐次坐标表示同一个点，那么这两个坐标是等价的。

在计算机图形学中，齐次坐标用于处理仿射变换，如平移、旋转和缩放。齐次坐标的引入使得图形学中的变换更加方便，因为许多变换可以通过矩阵乘法来实现，这在齐次坐标中是标准的。齐次坐标中的点与欧氏空间中的点相对应，其中齐次坐标中的第三个分量 z 表示点在 z 方向上的投影，当 z 为 0 时，表示无穷远点。

齐次坐标是一种用于投影几何的坐标系统，具有以下主要作用：

处理无穷远点——在欧氏空间中，平行线无法相交，但在透视空间中，两条平行线可以相交于一点。齐次表示隐式地处理无限远处的点。例如，当计算两条线的交点时，我们通常需要检查它们是否平行，以避免被零除。使用同质表示，这种需要被消除，因为表示可以在结果中表示这种情况。在进行透视分割以恢复最终点时需要小心，但是这些检查只适用于最终步骤，而不是每个中间转换。

简化几何变换——齐次坐标允许平移、旋转、缩放及透视投影等操作表示为矩阵与向量相乘的形式，这比传统的笛卡尔坐标更为简单和对称。

增强图形学应用——齐次坐标使得三维空间中的点和向量的表示更加方便。

区分向量和点——一个点可以表示为多个齐次坐标，而一个向量则通常表示为两个齐次坐标。

表达直线与平面的交点——可以用两个点的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线，也可以用两条直线的叉乘表示它们的交点。

更简单的公式——在齐次坐标下，所有讨论的变换都变成线性映射，可以用一个矩阵表示。通过预乘变换矩阵和仅将每个点乘以最终乘积矩阵，一组点可以更有效地经历一系列变换。其他事情也变得简单了。两个向量的叉积。它实现起来更便宜，因为它消除了除法运算。如果使用整数运算，可以精确地表示交点。

概念的统一与延伸——所有的线性变换和仿射变换都统一在射影变换的概念中。圆、椭圆、抛物线和双曲线之间的区别消失了，它们都变成了同一条曲线的实例，即非退化的圆锥曲线。

（二）克莱姆悖论

1.克莱姆悖论定义

在数学中，克莱姆悖论或克莱姆-欧拉悖论是平面中两条高阶曲线的交点的数量可以大于定义一条这样的曲线通常需要的任意点的数量。它是以日内瓦数学家加布里尔·克莱姆的名字命名的。

n阶曲线一般由n(n+3)/2个点决定。所以圆锥曲线由五个点决定，而三次曲线需要九个点。但是麦克劳林-贝祖特定理(Maclaurin-Bézout)说两条n次曲线相交于n^2点，所以两条三次曲线相交于九个点。这意味着n(n+3)/2点并不总是唯一地决定一条n阶曲线。斯特林公布了这个悖论，普吕克作了解释。

在数学中，更准确地说在代数几何中，克莱姆悖论（以加布里埃尔·克莱姆的名字命名，但麦克劳林已经注意到）指出，两条同阶(高阶)曲线的交点数量可以大于满足定义这些曲线之中的一条所需的点数。这个悖论源自两个定理，贝祖特定理，表明两条曲线的交点数量等于它们次数的乘积；以及克莱姆提出的定理，断言次数为 n 的曲线由 n(n+3)/2个点决定。一旦n大于或等于3，这两个值显然是矛盾的：

n^2÷［n(n+3)/2）］=（n+n）÷(n+3)≥1

这种现象显得自相矛盾，因为交点无法唯一地定义任何曲线（它们至少属于两条不同的曲线），尽管它们数量很大。这是天真的理解或误用两个定理的结果：贝祖定理指出在满足某些必要条件的情况下，两条代数曲线的交点数量等于它们的次数的乘积；克莱姆定理指出，次数曲线由点决定，同样假设在某些条件下成立。因此，对于三阶或更高阶，认为两条曲线的交点将有足够的点来唯一地定义任意一条曲线，这似乎太天真了。然而，由于这些点属于两条曲线，因此它们并没有定义该次数的唯一曲线。

2.克莱姆悖论由来及解决方案

加布里尔·克莱姆和莱昂哈德·欧拉在18世纪中期都写过关于方程理论的重要著作。在他们出版前的几年里，他们进行了友好而富有成效的通信。他们讨论的一个话题是麦克劳林首先注意到的一个悖论:九个点应该足以唯一确定一条三阶曲线，然而两条不同的三阶曲线可以在多达九个不同的地方相交（图71）。这种情况被称为克莱姆悖论。

图 71

欧拉曾写下“从这里就很容易理解，每当两条三阶曲线相交于 9 个点时，这些点就不能完全确定一条三阶曲线，而在一般方程中，经过一个将其应用到这九个点上，系数将保持未确定状态，因此，在这些情况下，不仅会存在两条三阶曲线，而且会存在无穷多个三阶曲线，它们都可以由这九个点来描述”。除图71外，下面的图72、图73也可证明欧拉的判断是正确的。

图 72

图 73

要看懂图72、图73的内容，首先要搞明白克莱姆悖论的解决方案（见图74）：

图 74

从图74中可得出二条结论：

（1）两条d次代数曲线相交点有d^2点，它们过平面上任何一组d(d+3)/2-1点的话，则也必定过这组相关联的（d-1)(d-2)/2从属点；

（2）m次和n次曲线(m＞n)的mn个交点中，只有mn-(n-1)(n-2)/2可以独立选择。

而克莱姆悖论是平面中两条高阶曲线的交点的数量可以大于定义一条这样的曲线通常需要的任意点的数量。这个悖论源自两个定理，贝祖特定理，表明两条曲线的交点数量等于它们次数的乘积；以及克莱姆提出的定理，断言次数为 n 的曲线由 n(n+3)/2个点决定。一旦n大于或等于3，这两个值显然是矛盾的。

从（1）可知两条d次代数曲线相交点有d^2点，它们过平面上任何一组d(d+3)/2-1点的话，则也必定过这组相关联的（d-1)(d-2)/2从属点。从这点可知只有d大于或等于3，（d-1)(d-2)/2才不为0。换个话说，直线由1×(1+3)/2=2个点决定；二次曲线由2×(2+3)/2=5个点决定，比如椭圆由5个点(其中任意3个不共线)就可确定，还有双曲线、抛物线等其他二次曲线也由5个点决定。但圆作为特殊二次曲线，却只需3个不共线点就可以确定(见图75)。

图 75

欧几里得给出了一种方法来概括两个不同点决定一条直线的结果。这个结果也确认三个非共线点能够构造唯一的一个三角形。以此作为推论：平面上的三个非共线点决定一个唯一的圆（图75）。

欧几里德的证据完全是几何的。解析几何发明后，用代数来解决这个问题成为可能。圆心为 （h，k）且半径为 r 的圆满足方程：（x-h）^2 + （y-k）^2 = r^2。因此给定三个非共线点坐标，将它们代入方程，求得三个未知数 h 、k 和 r 的值从而得一个唯一圆方程（几何意义上说，圆是唯一的）。

即使在复射影平面上，也只需不共线的3个点就可以确定一个圆，且方程是一样的：圆心Zo=h+ki，圆上轨迹上点z=x+iy，半行为r，则方程仍为（x-h）^2 + （y-k）^2 = r^2；但r变得无穷大时，其必过(1，i，0)以及(1，-i，0)这两个无穷远虚点——此时的圆只是一条直线(只需二个点就所以确定了) 。

一旦d大于或等于3时，两条d次代数曲线相交点有d^2点，它们过平面上任何一组d(d+3)/2-1点的话，则也必定过这组相关联的（d-1)(d-2)/2从属点(不为0)(这两个数的和为d^2)。也即：m次和n次曲线(m＞n)的mn个交点中，只有mn-(n-1)(n-2)/2可以独立选择，而(n-1)(n-2)/2为从属点(不为0)(这两个数的和为mn)。——这就解释了克莱姆悖论为什么“平面中两条高阶曲线的交点的数量可以大于定义一条这样的曲线通常需要的任意点的数量”。

悖论的解决方案是定义曲线所需的点数的界限仅适用于一般位置的点。在某些退化情况下，点不足以唯一地确定曲线。两条曲线的交点将有足够的点来唯一地定义任意一条曲线。然而，由于这些点属于两条曲线，因此它们并没有定义该次数的唯一曲线。

对于三次曲线，任意八个点都有一个从属点。考虑d = 10次的代数曲线很有意思。在这种情况下，对于任何给定的64个任意点的集合，有36个从属点，使得通过原始64个点的任何10次曲线也通过36个从属点，这样两条10次曲线的交点总共100个。

下面用几个实平面(复平面)两条代数曲线交点构造图作为例子来“证朋贝祖特定理”——图76、77、78、79。

图 76

图 77

图 78

图 79

贝祖特定理适用于普通的多项式函数曲线，但如果含有分数指数幂，就不一定适用了——见图80、81。

图 80

图 81

显式构建一个由两条相交于8^2 = 64个点的八次曲线组成的示例将是很有趣的事：这两个八次曲线用作两条10次曲线相交的10^2 = 100个点的基础——看不出为什么36个从属点一定是两条6次曲线的交点，但考虑一下这种情况是否会发生是很有趣的。换句话说，是否存在一对八次曲线导致一组36个相关点(对于10次曲线)是两条六次曲线的交点？这将是一个很好的“毕达哥拉斯”分割(与3^2 + 4^2 = 5^2成比例),将10次曲线的100个交点分割成6次和8次曲线的交点。(与三角形数字10的联系，即神圣的tetraktys【四元体】，也吸引了毕达哥拉斯学派。)

两条八次曲线相交于64个点（在复数域内考虑）。这些交点的坐标满足两条曲线的方程，因此也满足这两个方程所确定的10次曲线。10次曲线：给定这些64个交点，我们可以构造一个10次曲线穿过这些点（使用拉格朗日插值法或其他构造方法）。另外二条六次曲线相交于36个点，要使这36个点也被同一个10次曲线穿过(一般情况下很难)，这些点必须满足如下特定的几何和代数条件。

（1）条件分析

这36个点需要“嵌入”到原先由二条八次曲线确定的十次曲线的图像中。这通常意味着这些点不能随意分布：它们必须以一种特定的方式与八次曲线的交点相关联。

（2）特定情况下的可行性

对称性或其他几何特性：如果这36个交点具有某种特殊的对称性，或者它们以某种方式与八次曲线的交点相协调，那么可能存在一个10次曲线同时穿过这两组点。

代数构造的可能性：从代数的角度来看，如果可以通过调整六次曲线的方程来确保它们的交点满足已有的十次曲线，那么这种情况也是可能的。这通常涉及到复杂的代数操作，包括多项式的因式分解、系数调整等。