菲尔兹奖得主广中平祐：能够给人带来美感的数学是简单明了的

作为一名数学家，我经常提醒自己也要这么做。“伟大的数学”是什么呢？其实，我也不知道如何回答这个问题。但是，我认为有简单明了的理论是其中一个必不可少的要素。能够给人带来美感的数学也是简单明了的。说起来容易做起来难，但至少我对数学一直抱有这样的追求。

在解决问题时，我经常告诉自己要再简单明了一些。关于这一点，我想到了冈洁老师（1901—1978，日本数学家），他曾针对奇点解消问题给予我宝贵的启示。下面我来具体聊一聊“简单明了”的话题。

第一次见到冈洁老师是我在京都大学读研的时候。当时，冈洁老师在奈良女子大学任教，他所创立的理论在法国等地得到了广泛的应用。我在京都大学听了一场冈洁老师的专题讲座。我已经不记得冈洁老师当时具体讲了什么。坦白说，我对老师讲的内容并不感兴趣。首先是因为他讲的内容过于深奥，听起来像天书一样，而且与我当时研究的数学课题没有什么关系。其次是他讲的内容过于抽象，不知道他是在讲数学，还是哲学，还是宗教学。

我记得冈洁老师曾说想要解决数学问题，闷头解方程式是无济于事的，倘若到达佛的境地，那么无论什么难题都会迎刃而解。我不太确定他的原话是不是这么说的，但确实表达了这个意思。

对于冈洁老师讲述的那些深奥的哲理，参加讲座的其他学生似乎听得如痴如醉。的确，冈洁老师的讲座是大家从未听过的内容。或许是因为冈洁老师的知名度太高，大家看老师的眼神里充满了崇拜和敬仰。

我也参加了后半节的讲座。老师依然慢条斯理地讲述着高深的哲理。

不过，我听到一半就从教室里溜了出来，因为我认为他的观点对学数学没有什么指导意义。

总之，冈洁老师指出，从事数学研究工作必须超越技术层面。我听说现在只要有学生前来拜师，冈洁老师就会带他们到禅寺盘腿打坐，让他们诵读道元的《正法眼藏》，通过这种方式向学生灌输“不超越技术层面就无法在数学上取得成就”的思想。

我们在各个领域里都能听到“超越技术层面”这句话。例如在剑道领域，一位资深的老师曾说：“拘泥于技术是不行的。必须不断磨炼自己的心性和意志。”无论是体育界，还是艺术界，到达一定境界的人似乎都有这样的共识。

但是，“超越技术层面”这句话只有那些已经完全掌握技术的人才有资格说。本垒打大王王贞治精通所有击出本垒打的技术，冈洁老师的讲座在某些方面无异于王贞治让高中棒球运动员从上面击球，以击出本垒打。掌握一定击球技术的运动员如果按照王贞治所说的去做，或许能击出大量的本垒打，但高中棒球队的运动员可能只会击出内场滚地球。

因此，从那以后，我就再没去听冈洁老师的讲座了，因为我不想让老师所讲的内容慢慢渗透到自己的思想中。另外，我也对自己说，相比去听高深的讲座，阅读数学的专业图书对现在的自己更重要。于是我熟读了高斯的数论专著。

人类是拥有遗忘能力的动物。人会不断遗忘自己的经历和体验。辛苦学习技术的体验同样会随着学术水平的提升而一点一点被遗忘。但是，那些已经步入超越技术层面境界的人，就像到达顶峰的攀登者，他们面向山脚下的登山人大喊，让他们跳上自己所站的地方。这是多么荒唐啊。即使有人鼓起勇气纵身一跃，想必也会落个失足跌倒的下场。

如今的我认为数学中确实有哲学的一面。从出发点上讲，数学也是人所研究的学问，所以其背后常常存在模糊不清的哲学问题。如果没有哲学，就不会产生伟大的数学。从这一点来说，现阶段的我能在一定程度上理解当时冈洁老师所讲的内容了。

但是，数学终究不是哲学。无论数学中哲学的一面起了多大的作用，我们也不能称之为数学成就。数学具有明显的技术性。或者说，数学具有独一无二的技术特性。虽然哲学不可或缺，但脱离技术的框架是无法构筑数学殿堂的。

从这层意义上讲，我认为数学是不能超越技术层面的。

不过，冈洁老师对我后来的研究课题带来了宝贵的启发。他果然是一位伟大的数学家。

1963 年，我在布兰迪斯大学任教期间，有一次回日本，受日本数学会之邀，在例会上作了专题演讲。

当时演讲的专题还是奇点解消。虽然当时这项课题已经进入最后阶段，但仍然有一个难关未过。由于这是我倾注心血最多的研究领域，所以我还是选了它作为演讲主题。

很久没有回国，面前又都是日本大名鼎鼎的数学家，我当时着实有点兴奋。该如何介绍奇点解消的理论呢？在演讲前我用了很长时间来整理自己的演讲思路。我思考得很认真。

当时冈洁老师坐在第一排，认真听了我的演讲。老师看起来老了许多。

演讲内容篇幅较长，在此我就不做介绍了。在演讲结束后的互动问答环节中，冈洁老师第一个站了起来。

他斩钉截铁地说：“广中，你用的这个方法不行。你把问题看得太简单了。以你现在的态度是解决不了问题的。”

我来解释一下冈洁老师所说的“这个方法”。最初我设定了一个最理想的问题形式，并打算以某种方式解决这个问题，但后来发现一下子很难实现这个目标，所以当时认为只要加上一些条件后以某种形式解决问题就可以了。然而，尝试之后发现这一点仍然很难做到，于是设定了更加具体的条件。如此降低要求之后，如果能够解决问题，那么这个理论在某种程度上就会发挥作用。

但是，冈洁老师说我用的这种方法不行。虽然当时我表面上波澜不惊，但其实很生气。老师可能是一位有许多学术成就的伟大数学家。但是，放眼全世界，当时几乎没有哪个学者像我这样在奇点解消问题上投入那么多的时间和心血。另外，我在这个问题上还是取得了一些成就的，这也让我有些不服气。但是不管怎样，他毕竟是一位了不起的老师，我还是默默地低下头以示尊敬。

冈洁老师接着说：“从具体的问题中抽取出相关概念，最终形成最理想的形式对问题来说非常重要，这与你的做法完全相反。只要问题进入理想状态，它就能迎刃而解。”老师的原话可能与此有些出入，但大致是这个意思。

我虽然低头说了句“谢谢您的忠告”，但压抑不住内心的愤怒。说实话，我当时真的认为他是在胡说八道。

但是，在这个问题上，冈洁老师的话是正中要害的。

回到美国以后，我稍微改变了一下对问题的思考方法，尝试将问题调整为理想的形式。经过数月的努力，我最终找到了全面解决问题的方法。

正如老师所言，如果给问题加上各种各样的限制条件，往往会看不清问题的本质。反之，若把问题精简成理想的形式，其本质就会变得一目了然。

不光学术界是这样，其他领域也是如此。

例如，在创办一家公司时，如果把目标局限于从某地赚取利润，那么在大多数情况下这种经营理念不会让公司走得太远。因为这种商业宗旨迷失了创办公司的本质，公司当前的运营方式变成了权宜之计。如果转变观念，尝试把公司打造成一流企业，将市场拓展到日本全国乃至全球，就抓住了公司的本质，成功的概率也会大幅提高。

要先把问题简化成理想的形式，或者说，把问题提炼成最纯粹的形式，然后着手解决。这种做法对创造而言同样重要。

为什么说它重要呢？因为它能在解决问题的方法论上发挥作用。另外，若想创造出简单明了的理论，就要事先进行这种删繁就简的工作。

我认为，不仅仅是数学领域，在其他学问中，最根本的理论也都是言简意赅的。

以伽利略创立自由落体定律为例，伽利略为了推导出“在真空条件下，所有物体从同一高度自然落下的速度相同，下落速度与物体的形状、性质、大小、重量等因素无关”这一结论，做了各种各样的实验。他曾观察过各种物体在水银中下落的情形，结果发现很多物体是不下沉的。他接着又把水银换成水进行实验，结果发现大部分物体会下沉。而且，只要是金属物体，就都会下沉，但依然是重的物体下沉速度快。于是，他开始思索如果在空气中进行实验会是什么结果。他尝试让各种物体从高处落下，结果发现在空气中仍然是重的物体下落的速度快，不过不同物体下落速度的差距大幅缩小。

然后，伽利略设想了非常极端的情况，开始思考物体在真空状态中自由下落会是什么结果。最终，他得出了任何物体的下落速度都完全相同的推论。

这的确是一个简单明了的原理。这种思考方式与牛顿发现万有引力定律的逻辑思考过程十分相似。

作为一名数学家，我经常提醒自己也要这么做。“伟大的数学”是什么呢？其实，我也不知道如何回答这个问题。但是，我认为有简单明了的理论是其中一个必不可少的要素。能够给人带来美感的数学也是简单明了的。说起来容易做起来难，但至少我对数学一直抱有这样的追求。

我有这样的追求与我无论如何也要在美国以数学家的身份出人头地的目标密不可分。美国的数学界重视理论的简洁性，这一点与尊崇复杂费解的日本完全相反。姑且不论孰优孰劣，既然美国数学界就是这种学术风向，那么我即使反感也要努力让理论变得简单明了。

人与人之间的交流也是如此。大多数日本人之间的交流说好听一点叫含蓄，说难听一点就是不够简单直接。

例如，日本人开会时从不表明自己的意见，喜欢说些“虽然自己这么认为，但是某某对此表示反对，他说的也有道理”这样的话来兜圈子。这种说话方式在美国是行不通的，如果用这种方式对美国人说话，对方就会问：“你到底是赞同还是反对某某的观点呢？”

如果把相同的情境换到美国人身上，他们会直接说自己反对某某的意见。如果被问到为什么反对，他们就会直言不讳地把反对的理由列出来。

日美两国在交流方式上的差异同样体现在两国的学风上。

我再重申一遍，我并没有说这两种方式哪个更好。但是，我认为在美国这种崇尚简单明了的学风中学习数学还是不错的。若想简单明了地把自己的观点传达给对方，就必须对自己的观点负责。数学也是如此。若想创造出自己能真正负责的理论，就必须付出相应的努力。而且，理论本身也必须是简单明了的。这个理念在我解决奇点解消问题上发挥了巨大的作用。

作者：[日]广中平祐

译者：逸宁

菲尔兹奖、日本学士院奖、日本文化勋章得主 日本数学大家——广中平祐 亲笔自传

讲述数学学习的心得感悟，探索创造性思维的本质与根源

记录从数学启蒙到“菲尔兹奖得主”的人生经历

呈现数学家观察事物的独特视角与思考方式