多参繁复一招破——2024年长沙中考数学第25题

多参繁复一招破

2024年长沙中考数学第25题

以二次函数为背景的中考压轴题，多数会含有参数，即没有明确给定各项系数和常数，这一类问题，往往成为了考生面临的难点，尤其是参数较多时，令人望而生畏。

然而无论多么复杂的含参二次函数，我们解决的方法却是一定的，包括但不限于：

1、将点坐标代入解析式；

2、联立方程求解；

3、用坐标表示线段长；

围绕以上通法，还有一些小技巧，例如分解因式、乘法公式等，这些就是我们用于解决压轴题的工具。

能否成功解决难题，最关键的是能想到用哪些解题手段，以及如何使用，思路的突破往往依靠对函数的深入理解，对各基础知识的深入理解，也就是说，解题是否成功，基本功就占了一半。

题目

解析：

01

(1)用前述“三板斧”的第一招，代入大法，将A、B两点坐标代入函数解析式：

a-b+c=-4①

9a+3b+c=4②

用②-①得8a+4b=8

化简后得2a+b=2

整体代入到2024a+1012b+3/7中，可求得结果为2024+3/7；

02

(2)“三板斧”第二招，解方程大法，将方程左边分解因式，得(a+2y1)(a+2y2)=0

可得a=-2y1，a=-2y2

即y1=y2=-a/2

接下来解读这个结果，y1和y2是点A和点B的纵坐标，于是我们可以利用图象直观描述，如下图：

若a>0时

-a/2一定是负数，则点A和点B位于x轴下方，开口向上的抛物线，经过x轴下方的两个点，则它与x轴一定有两个交点；

若a<0时

-a/2一定是正数，则点A和点B位于x轴上方，开口向下的抛物线，经过x轴上方的两个点，则它与x轴一定有两个交点；

综上，函数与x轴一定有两个交点；

03

(3)观察条件中的两个等式，将它们左边分解因式：

(a+y1)²+(a+y2)²=0

(a-y3)²+(a-y4)²=0

于是可得y1=y2=-a，y3=y4=a

所以点A和点B的纵坐标为-a，点C和点D的纵坐标为a，由于a>0，所以点A、B在x轴下方，C、D在x轴上方，抛物线与x轴一定有两个交点E、F，如下图：

接下来是“三板斧”的第三招，用坐标表示线段长；

再来解读“三角形的三个内角大小之比为1：2：3”，意思是有一个三角形，内角和是180°，三个内角分别是30°、60°、90°；显然这是个特殊直角三角形，三边之比为1：√3：2，我们只需要弄清哪条边是斜边即可；

由图象可知，AB最短，所以斜边可能是CD，也可能是mEF，分情况讨论：

若CD为斜边，则CD=2AB，mEF=√3AB，将前面表示出的线段式子代入：

此时函数的最小值为-5a/3；

若mEF为斜边，则mEF=2AB，CD=√3AB，同理可得：

此时函数的最小值为-2a.

解题思考

本题综合性较强，但解题“三板斧”下去，基本上也没什么难度了，从实际学生解题过程中，我们发现多数学生觉得难，是无从下手，面对一堆参数，不明白到底要做什么，即从阅读题目叙述中明确解题目标。

另外一个原因是本题无图，需要学生构建相应的函数图象，借用图象来理解函数性质，理解方程解的意义，才会明白题目到底需要我们做什么，才会有思路的突破。

这里每一种基本方法，都可以在平时的课堂中找到对应的出处，只是在初接触它们时，只用到了最浅显的部分，这些基本方法，在整个初中阶段的学习中，几乎都能见到，每当我们遇到它们，就是从不同角度再认识一次，加深一次，即数学概念的理解并不是一开始就能达到巅峰，而是周而复始，螺旋上升。