线性代数学与练第04讲：矩阵的定义与基本运算

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在前面利用高斯消元法求解线性方程组的过程中容易发现，整个消元、回代过程仅仅是各未知数的系数与常数项在发生改变，而且在高斯消元法的规范描述中，这个过程就相当于由系数与常数项构成的一个数表在发生变化，对于由线性方程组的所有系数构成的数表，所有常数项构成数表也就是咱们要研究的矩阵.

在数学中，矩阵 (Matrix) 是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合. 这一概念由 19 世纪英国数学家阿瑟 凯利首先提出，他也被公认为矩阵论的奠基人。矩阵最早也确实来自于方程组的求解，它就是用来表示方程组的系数及常数项的. 作为求解线性方程组的工具，矩阵形式在我国东汉前期的《九章算术》中就已经出现并使用，《九章算术》中用分离系数法表示线性方程组，得到了它的增广矩阵，并且在消元过程中所使用的方法也就相当于是矩阵的初等变换.

中文中出现矩阵概念最早是1922年，1922 年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为 "纵横阵"， 1935 年，在当时的审定的《数学名词》中，"矩阵"作为译名首次出现. 1993 年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，"矩阵"被定为正式译名，并沿用至今.

本讲的主要任务是在给出矩阵的概念，介绍几个常见的特殊矩阵基础上，讨论矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、减法、矩阵与数的乘法，矩阵的转置及一些基本的运算性质.

一、矩阵的定义

定义 1由 个数 ; 排成 行 列的矩形数表

称为行 列矩阵，简称为矩阵. 为把它作为一个整体的研究对象进行研究，通常给它加一个圆括号或者方括号括起来，并用大写字母，或加粗的大写字母或加粗的小写字符表示, 记作

咱们通常用方括号的描述形式来表示矩阵. 简记为 ，或 ，或 ，其中 称为矩阵 的第行第列元素.

例如， ，表示一个 2 行 3 列的 的矩阵，其中元素 5 是它位于第 2 行第2列的元素.

元线性方程组

的每个方程（ 个）的未知数（ 个）按照相同的顺序前后排列，将每个方程中的所有未知数的系数（不包含的未知数的系数取为 0 ）从左到右排成一行，再将每个方程的系数行按照方程的上下顺序排列，可以组成一个 行 列的矩阵

该矩阵称为上面的线性方程组的系数矩阵; 将每行对应的方程右边的常数项加到对应方程的系数行的右侧，则全部系数与常数项一起可以组成一个 行 列的矩阵

该矩阵称为上面线性方程组的增广矩阵. 对于所有未知数按照方程组的排序上下放置，方程组右侧的所有常数项也通常按照方程上下顺序排列放置，分别可以构成一个 行 1 列未知数矩阵和 行 1 列的常数项矩阵，并记作

例如，对方程组 ，按照末知数 排序，有

【注】(1) 的矩阵 通常直接就等于数 .

（2）元素全部是实数的矩阵称为实矩阵，全体 实矩阵的集合，记作 ；元素是复数的矩阵称为复矩阵，全体 复矩阵的集合，记作 .

（3）在线性代数课程的学习过程中，没有特别说明的话，一般讨论的数域为实数域，也就是通常讨论的矩阵为实矩阵，如果矩阵为复矩阵，一般都会专门说明.

最典型的，最贴近生活的矩阵描述对象就是保存在电脑、手机中的数字图像，如图1.左边是一幅 的 JPG 格式的图像，表示横向由 560 个像素点，纵向由 390 个像素点构成，每个像素点中存放的就是由 、 、 三个颜色分类所占比例构成的数组，将它们分割后可以拆分为 （红色）分量、 （绿色）分量、B（蓝色）分量构成的三个 的取值在 范围内的实数矩阵，它们共同描述了这幅图像. 将三个颜色的数据分离出来为三个矩阵，则三个矩阵表示图像如图 2.

图1 图像在计算机中的保存方式

图2 三个分量矩阵 R、G、B 矩阵所描述的图像

正因为数字图像的实数矩阵描述形式，所以，利用矩阵的运算可以实现对图像的运算，比如图像的裁剪、变亮、变暗、融合叠加、遮罩等操作.

二、几个特殊的矩阵

1、方阵：行数与列数相等的矩阵称为方阵，这也是矩阵中最主要的研究对象之一。 方阵也简称为阶矩阵，。如果矩阵 为 阶方阵，一般可记为 。方阵中从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元素 称为对角元.

2、零矩阵：所有元素都为 0 的矩阵称为零矩阵，记为 .

3、行矩阵：只有 1 行 (即 ) 的矩阵称为行矩阵，又称为行向量，即

也记作 .

4、列矩阵：只有 1 列（即 ）的矩阵称为列矩阵，也称为列向量，即

5、三角矩阵：主对角线下 (上) 方的元素都为 0 的方阵称为上 (下) 三角矩阵，即

矩阵 为上三角矩阵，矩阵 为下三角矩阵. 即

j), b_{i j}=0(i < j), i = 1,2, \cdots, n, j=1,2, \cdots, n ">

6、对角矩阵：主对角线以外的元素都为 0 的方阵称为对角矩阵，即

常用 表示，即对角矩阵的元素

主对角线上的元素可以为 0 ，也可以不等于 0 .

7、数(纯)量矩阵: 主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数(纯)量矩阵，即

也记作

8、单位矩阵: 主对角线上元素都为 1 的数量矩阵称为单位矩阵. 单位矩阵常用 表示，有些教材或参考书中也用 表示. 阶单位矩阵可表示为

即 的 位置的元素 为

9、对称矩阵: 方阵 中，如果 ，则称矩阵为对称矩阵，对称矩阵以主对角线为对称轴，各元素对应相等. 如 阶对称矩阵可表示为

10、反对称矩阵: 方阵 中，如果 ，则称矩阵为反对称矩阵. 反对称矩阵主对角线上的元素全为零，位于主对角线两侧对称的元素反号. 如 阶反对称矩阵可表示为

三、矩阵的加减运算

定义 2行数与列数分别相等的两个矩阵称为同型矩阵，如 与 为同型矩阵. 如果两个同型矩阵各位置的元素分别相等，则称两个矩阵相等，记作 ，即

例1已知 且 ，求 的值.

【解】：两矩阵相等，对应位置的元素分别相等，故直接可得 .

定义3设 是两个同型矩阵，令

称矩阵 为矩阵 与 的和，并记作 ，即

类似，有矩阵 与 的差

【注】两个矩阵相加、减要求两个矩阵为同型矩阵；矩阵相加、减后得到的矩阵是原来两个矩阵同型的矩阵，两个矩阵的和、差矩阵的元素为原两个矩阵对应位置的元素分别相加、相减.

例 2设 , ，求 和 .

【解】：由矩阵相加、相减的定义，结果为对应位置的元素分别相加减，得

设矩阵 ，记 ，称 矩阵 的负矩阵. 可知

设 都为同型矩阵，则矩阵的加法满足以下运算律:

(1)交换律: ；

(2)结合律: ；

(3)零矩阵: ；

(4)负矩阵: .

【注】矩阵的减法可以视为是对负矩阵的加法，即 ，故一般只需讨论矩阵加法的运算律.

四、矩阵与数的乘法

定义 4设 为一个数，令

称 为数与矩阵的乘积，简称数乘，记作 或 ，即

即一个数与矩阵相乘所得矩阵等于用这个数乘以矩阵中的每个元素.

【注】当 时，得 矩阵的负矩阵，即 ，同样可得 0 乘以矩阵得零矩阵，即 .

设 都为同型矩阵， 为数，则矩阵与数的乘法满足以下运算律:

(5) ，故 当且仅当 或 .

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，并且可以统一表述为

其中 为数， 都为 的同型矩阵.

例 3已知 ，其中 , , 求 .

【解】由 得 ，因此

利用矩阵的线性运算可以简单地实现图像的融合、遮罩等效果.

例如，设图 3 中的日出照片对应的矩阵为 ，心形图案对应的矩阵为 .

图3 两矩阵对应的图像

对两个矩阵分别执行线性运算，效果如图4.

图4 两图像矩阵运算后的结果

五、矩阵的转置

定义 5将矩阵 的行换成同序数的列所得矩阵称为矩阵 的转置矩阵，简称 的转置，记作 （有些教材或参考书中也记作 ）. 设矩阵

则它的转置矩阵

即以主对角线为对称轴镜像调换元素位置所得的矩阵，主对角线上的元素不发生变化.

矩阵的转置满足以下运算律:

(3) ， 为数.

【注】(1) 方阵 为对称矩阵当且仅当 .

(2) 方阵 为反对称矩阵当且仅当 .

(3) 数乘对称矩阵仍为对称矩阵，同阶对称矩阵的和仍为对称矩阵.

(4) 行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵，为描述的方便，经常将列矩阵描述为行矩阵的转置，即

对于图像而言，转置图像矩阵所得的图像相当于将原图像旋转镜像得到的图像，效果如图 5 所示.

图5 图像矩阵转置后的图像效果

练习题

1、判断正误，并说明理由.

(1) 元素全为 1 的矩阵是单位矩阵.

(2) 是一个 2 阶反对称矩阵.

(3) 在方阵 中，当 时有 ，则 为上三角矩阵.

(4) 任意两个矩阵相加，则它们的和所得矩阵的元素为两个矩阵的元素之和.

(5) 矩阵的转置主对角线上的元素不发生变化.

2、分别写出线性方程组 系数矩阵与增广矩阵.

3、矩阵 ，其中 , ; ; 写出该矩阵.

4、编号为 的四个城市之间火车情况如图所示（单箭头表示只有单向车，双箭头表示有双向车)。从第 个城市到第 个城市有火车直通就用 1 表示，否则， 0 表示. 试用矩阵表示出四个城市之间的交通情况（约定：每个城市到本城市无火车交通）.

5、设 , , 计算 .

6、设 , , 且 , 求 .

7、证明：任意一个 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

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