线性代数学与练第02讲：线性代数基础

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在中小学我们学习过自然数 、整数 、有理数 、实数 、复数 等代数方面的内容，也学习过点、线、面、立体，平面直角坐标系、空间直角坐标系等几何方面的内容，同时也学习过平面向量、空间向量的坐标描述和向量的一些基本性质、运算，比如线性运算、数量积等，另外也研究了向量的位置关系的判定，比如垂直、平行、夹角等；并借助向量给出了平面直线、空间直线与空间平面的向量描述形式和点、直线、平面的位置关系的判定.对于方程组的求解也进行了一些讨论。

这些内容是线性代数课程学习的基础，本讲的主要任务是简要回顾、稍微推广一下相关内容，进一步加深对它们的印象来帮助我们尽快地进入线性代数课程的学习状态。

【说明】文中公式在用手机阅读时如果显示不全，请用在公式上左右滑动显示完整公式

一、数域

数是数学的一个最基本的概念。历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，随着人们对客观世界认识的不断深入，大体上经历了从自然数到整数，从有理数再到实数，然后到复数的一个不断发展的一个过程。

在学习数学和应用数学解决问题的过程中，我们经常强调要注意条件，对于数的研究，最基本的条件就是其取值的范围，就如同函数的研究要注意它的定义域一样，在数的研究过程中要明确规定所考虑的数的范围。比如二次方程 有没有解，与未知量 所允许的取值范围有关。如果 只能取实数，则方程没有解；如果 的取值范围为复数，则方程有两个解，分别为 ，其中 。

在研究与数相关问题的过程中，有时候数的取值范围除了自然数、整数、有理数、实数或复数构成的集合取值范围限定之外，可能还会对数限定某些条件，而研究的问题也就仅仅在满足这些条件的数构成的集合上来进行讨论，比如偶数集、奇数集、素数集等等。

1、数域的定义

定义 1设 为由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1. 如果 中任意两个数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为 0 ）仍然是 中的数，则称 为一个数域.

【注 1】如果数集 中任意两个数做某一运算的结果仍在 中，则称数集对这个运算是封闭的。

【数域的等价定义】：集合 为数域当且仅当：

(1) 包含 ， ；

(2) 对加，减，乘、除（除数不为 0 ）封闭。

【注 2】等价定义给出了判定一个集合是否为数域的有效方法.

例1设 ，证明： 构成数域。

【思考 1】自然数 、整数 、有理数 、实数 、复数 那些是数域，哪些不是数域?

【思考 2】数域是否有无穷多个呢?

2、数域的基本性质

(1) 任意数域 都包括有理数域 ，即有理数域为最小数域。

(2) 两个数域的交集仍为一个数域. 即设 及 是两个数域，则 也构成一个数域。

【注 3】这里引入数域的概念是避免大家在阅读某些线性代数教材或参考书，尤其是进行扩展性阅读高等代数相关内容时，看到数域范围内所给出的一些定义或者结论产生困惑！其实，数域因为其定义过于广泛，没有太好的性质，在我们学习数学的过程中直接应用很少，经常用到的是它的一些子集.在咱们线性代数学习过程中，如果没有特别说明，一般就是在实数集范围内进行讨论，所以后面不加说明的话，数的取值范围都是实数.

二、向量的描述与基本性质1、向量的描述

向量也称为矢量，表示的是即有大小也有方向的量. 向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向表示向量的方向。数学上研究的向量一般是与起点无关的向量，也就是说，大小相等，方向相同，即通过平移可以完全重合的两个向量被认为是同一向量，这样的向量称为自由向量，没有特殊说明，通常研究的向量都是自由向量.

为研究的方便，在建立直角坐标系以后，一般把向量的起点都放置到坐标系的原点来研究向量，对于与起点为坐标系原点的向量也称为向径. 这样也就建立起了向量、图形点与坐标（有序对）之间的——对应的关系. 因此，在直角坐标系中，对于不指名起点的向量一般视为向径，通常也可直接用点坐标来描述. 比如对于平面上起点为原点 ，终点为 的向量 可以直接描述为 ，如下图 1. 类似，图2 中空间的任意一点 对应的向量为可以描述为 。

图 1 平面向量

图2 空间向量

记 为与坐标轴同向的单位向量，也称为基向量，则由数与向量的乘法运算法则，上面图中的向量有基向量的描述形式:

这样，向量的运算可以归结为坐标的运算. 于是平面向量与空间向量的模（大小）分别为

2、向量的基本运算

【说明】：以空间向量为例讨论向量下面的内容，平面向量结果一致，在描述形式上只要去掉空间向量的第三个分量即可得到平面向量相应的结论，也可以说空间向量的结论是平面向量相应结论的推广.

向量的线性运算：设有两向量 , ， ，则

两向量终点之间的距离即为两向量的差构成的向量的模，即

其中 表示 的终点指向 终点构成的向量. 即以任意坐标为 为起点，终点坐标为 的向量可以表示为

向量的加法与减法有平行四边形法则与三角形法则，如图 3 和图 4.

图3向量减法的三角形法则

图4 向量加法的三角形法则与平行四边形法则

3、向量的数量积与夹角

向量的数量积：设 ，定义它们的数量积为

其中 为向量 与 之夹角，且规定. 向量 与 的数量积又叫点积或内积，也通常记作 ，有些教材中也直接用圆括号表示，比如 。

如果 为非零向量，则可得两向量夹角的计算公式

向量的方向余弦: 记 为向量 与 三个坐标轴的正向的夹角，也即向量 与三个基向量 的夹角，称它们为向量关于三个坐标轴的方向角， 称为它的方向余弦。方向角确定了向量的方向，如图 5 所示.

图5 平面向量与空间向量的方向角

根据向量夹角的计算公式，或者直接由图 5 可得，

其中 . 故三个方向余弦构成的向量

是与向量 同向的单位向量，它确定了向量的方向，并且有

对于任意向量 ，有

这个过程也称为向量的单位化.

3、向量位置关系的判定

设 则

• 存在非零实数 ，使得 存在非零实数 ，使得 .

• ，即两个向量的夹角为 。

• 任意两个向量共面.

• 三非零向量 共面 存在非零常数 ，使得 存在不全零常数 ，使得 。

• 如果 是不共线的两个平面向量，那么对于该平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使得

• 如果 是不共面的三个三维向量，那么对于任意三维向量 ，有且只有一对实数 ，使得

一般地，一个 元有序对(数组)的集合记作 。即

元数组与 维空间中的点、与 维向量——对应，它们都记作 。 中任意点 对应的 维向量的模为

点 到 的 维向量定义为

故两点 与 的距离定义为

它的方向由方向余弦 定义为

设 是 维空间 中的两个向量，则它们的数量积 （或内积）定义为

类似也有如下结论:

• 设 ，则有

• (也称两向量正交) ，即两个向量的夹角为 .

• 存在非零实数 ，使得 存在非零实数 ，使得 .

• 记 , , , ，则 构成 向量 的基向量，并且

位于平面直角坐标系中的直线的方程通常描述形式:

(1)两点式方程: 当 时， ，其中 是位于直线上的两点;

(2)点斜式方程: ，其中 为直线上一点， 为斜率；

(3)斜截式方程: ，其中 为直线在 轴上的截距， 为斜率.

(4)一般式方程: ，其中 .

两直线的位置关系也可以通过两直线方程构成的方程组

来研究. 如果方程组有唯一解，则表示两直线相交；如果方程组有无穷多个解，则表示两直线重合；如果方程组无解，则表示两直线平行. 如图6所示.

图6 二元一次方程组的几何意义

2、空间平面及其方程

类似平面直线的构建与位置关系研究，可以构建空间平面的方程与进行位置关系的判定.

例：设空间中不共线的三点 , , 确定的平面为 ，则该平面的方程可以描述为三元一次方程:

其中 , ， .

此题的结果说明，空间的任意的平面可由三元一次方程

确定. 由向量的数量积可知，该方程可以改写为

其中 为平面上的任意点 和平面上定点 两点的连线确定的向量，所以是位于平面 上的向量，而 是与 无关的常数，改写后的表达式表明向量 是与位于平面 上的任意向量垂直的向量，也即表明，只要点 位于平面上，则它与平面上一点构成的向量必与向量 垂直，当然，不位于平面上的点与平面上一点的连线构成的向量就不会与向量 垂直.

称向量 为平面 的法向量，通常记作 ，方程

也称为该平面的点法式方程，即过定点 且与向量 垂直的平面可以用方程

来描述. 化简变形后得到的方程三元一次方程

该方程称为平面的一般式方程，其中 . 也就是说，空间直角坐标系 中的任意一个平面可以用一个三元一次方程

来表示；任意一个三个系数不同时为零的三元一次方程在空间直角坐标系中表示的图形是一张空间的平面.

3、空间平面的位置关系

设有两个平面，它们的方程为

它们的法向量依次为 , . 它们的位置关系可能为: 平行（不重合)、重合、相交. 依据平面与法向量的位置关系，对应的关系表示为两个平面方程构成的方程组

中的系数和常数满足:

(1)平行: ；

(2)重合:

(3)相交: 与 不存在比例关系，如果 ，即

则两个平面垂直. 如果两个平面相交，则相交的点构成一条直线，两个相交平面的方程构成的方程组

表示过两个平面的直线，该方程组也称为空间直线的一般式方程.

三个平面 ; ;

之间的位置关系有 6 种可能，如图 6：可能为三平面平行、两平面平行与第三平面相交；三平面两两相交与两条直线；三平面相交于一条直线、三平面重合、三平面相交于一点. 三平面相交也可以转换为研究三元一次方程组

解的存在性，具体如图 7所示.

图7 二元一次方程组的几何意义

练习题

1、试问下列数集是否构成数域? 说明理由.

(1) 无理数集.

(2) 纯虚数集.

(5)

2、求向量 的夹角 ，其中

3、已知平面中三点 形成的向量 之间的夹角为 ，求 的值.

4、已知空间中点 到 与到 的距离相等，求 的值.

5、已知两点 和 ，求向量 的模、方向余弦与方向角.

6、已知向量 和 共线，求 的值.

7、求同时垂直于 和 的单位向量.

8、空间中过点 和 的平面的方程为 ( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

9、写出空间中过点 和 的平面的方程.

【注】这部分内容也可以参考如下的三个高等数学课程推文进行扩展的学习：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

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